计算电磁学建模：使用哪个模块？

我们一直都问的一个问题是：“哪些COMSOL产品应用于建模特定的电磁设备或应用？”乐动体育app无法登录In addition to the capabilities of the core package of the COMSOL Multiphysics® software, there are currently six modules within the “Electromagnetic Modules” branch of our product tree, and another six modules spread throughout the remaining product structure that address various forms of Maxwell’s equations coupled to other physics. Let’s take a look through these and see what they offer.

注意：此博客文章最初于2013年9月10日发表。此后已更新其他信息和示例。

计算电磁学：麦克斯韦方程

麦克斯韦的方程式与电荷密度相关联，\ rho;电场，\ Mathbf {e};电气位移场，\ Mathbf {D};和当前\ Mathbf {J};以及磁场强度，\ mathbf {h}，以及磁通密度，\ mathbf {b}：

\ nabla \ cdot \ mathbf {d} = \ rho	\ nabla \ cdot \ mathbf {b} = 0
\ nabla \ times \ mathbf {e} = - \ frac {\ partial} {\ partial t} \ mathbf {b}	\ nabla \ times \ mathbf {h} = \ mathbf {j} + \ frac {\ partial} {\ partial t} \ mathbf {d}

为了求解这些方程，我们需要一组边界条件以及与\ Mathbf {e}到\ Mathbf {D}字段，\ Mathbf {J}到\ Mathbf {e}领域和\ mathbf {b}到\ mathbf {h}场地。在不同的假设下，在Comsol产品套件中的不同模块中求解了这些方程，并与其他物理学耦合。

注意：此处介绍的大多数方程式以缩写形式显示，以传达关键概念。要查看所有管理方程式的完整形式，并查看所有可用的构成关系，请咨询产品文档。

让我们从一些概念开始……

稳态，时间或频域？

在求解麦克斯韦的方程式时，我们会尝试做出合理和正确的尽可能多的假设，以减轻我们的计算负担。尽管麦克斯韦的方程式可以针对任何任意的时间变化输入来求解，但我们通常可以合理地假设输入和计算的解决方案是稳态或正弦的时间变化。前者通常也称为直流（直流）情况，后者通常称为AC（交流电流）或频域的情况。

如果磁场在及时没有变化，或者如此无关紧要，则稳态（DC）的假设存在。也就是说，我们要说的是，麦克斯韦方程式中的时间衍生术语为零。例如，如果您的设备连接到电池（可能需要花费数小时或更长的时间才能大量排水），则这是一个非常合理的假设。更正式的是，我们会说：\ frac {\ partial \ mathbf {b}}} {\ partial t} = \ frac {\ partial \ mathbf {d}}} {\ partial t} = 0，这立即省略了麦克斯韦方程式的两个术语。

如果系统上的激发会变化正弦，并且系统的响应在相同的频率上也会变化，则频域假设存在。另一种说法是线性中系统的响应。在这种情况下，我们可以使用这种关系在频域中解决频域中解决问题：\ Mathbf {e}（\ Mathbf {X}，t）= \ re \ left（\ Exp ^{J \ Omega T} \ Mathbf {e_c（x）} \ right）， 在哪里\ mathbf {e}（\ mathbf {x}，t）是空间和时间变化的领域；\ mathbf {e_c（x）}是一个空间变化，复杂值的场；和\欧米茄是角频率。与时域相比，在一组离散频率上求解麦克斯韦方程在计算上非常有效，尽管计算要求与要解决的不同频率的数量成正比（我们将在后面讨论一些警告）。

当解决方案在时间上任意变化或系统的响应非线性时，需要在时间域中求解（尽管甚至有例外，我们将讨论）。与稳态或频域模拟相比，时间域模拟在计算上更具挑战性，因为它们的解决方案时间与感兴趣的时间跨度的比例增加了，并且所考虑的非线性。在时间域中求解时，考虑输入信号的频率含量，尤其是存在和显着的最高频率，这是有帮助的。

电场，磁场还是两者？

尽管我们可以为电场和磁场求解麦克斯韦的方程，但通常足以忽略一个或另一个，尤其是在DC情况下。例如，如果电流的幅度很小，则磁场将很小。即使在电流很高的情况下，我们实际上也可能不会关心所得磁场。另一方面，有时只有一个磁场，但没有电场，就像仅由磁铁和磁性材料组成的设备一样。

但是，在时间和频域中，我们必须更加小心。我们要在这里检查的第一个数量是皮肤深度我们模型中的材料。金属材料的皮肤深度通常近似为\ delta = \ sqrt {2/{\ omega \ mu \ sigma}}}}， 在哪里\亩是渗透性和\ sigma是电导率。如果皮肤深度很大更大比物体的特征大小，那么可以合理地说皮肤深度效果可以忽略不计，并且可以仅解决电场。但是，如果皮肤深度等于或小于物体的大小，则感应效应很重要，我们需要考虑电场和磁场。在开始任何建模之前，可以快速检查皮肤深度。

随着一个增加激发频率，了解设备的第一个共振也很重要。在这基本共振频率，电场和磁场中的能量完全平衡，我们会说我们在高频政权。尽管通常很难估计谐振频率，但一个良好的经验法则是比较特征对象大小，L_C，到波长，\ lambda = c/f。如果对象大小接近波长的很大一部分，则l_c \大约\ lambda/100，然后我们正在接近高频制度。在这种制度中，电源主要通过介电介质而不是通过导电材料中的电流流动。这导致了管理方程式略有不同的形式。频率大大低于第一个共振，通常被称为低频政权。

现在，让我们看一下如何将这些不同的假设应用于Maxwell的方程式，并为我们提供不同的方程式求解，然后查看我们需要使用的哪些模块。

稳态电场建模

在稳态条件下，我们可以进一步假设我们仅处理导电材料或完全绝缘材料。在前一种情况下，我们可以假设所有域中的电流流动，麦克斯韦的方程式可以被重写为：

该方程解决了电势场，v，这给了我们电场，\ Mathbf {e} = - \ nabla v和电流，\ Mathbf {J} = \ Sigma \ Mathbf {E}。该方程可以用核心求解comsol多物理学包装，并在介绍性示例到软件。这AC/DC模块和MEMS模块例如，通过提供核心包的功能终端条件简化了模型设置和边界条件，用于建模相对较薄导电和绝缘区域以及单独的物理接口，用于建模电流流程仅通过几何薄，可能多层结构。

另一方面，在我们对完全绝缘介质中的电场感兴趣的假设，具有物质介绍力，\ Epsilon，我们可以解决方程式：

这计算了不同电势处物体之间介电区域的电场强度。该方程也可以使用Core comsol多物理包解决，然后再次，AC/DC和MEMS模块通过例如通过例如通过终端条件，建模薄的边界条件介电区， 和稀薄的间隙在介电材料中。此外，这两种产品还提供了边界元素公式，该配方解乐动体育app无法登录决了相同的管理方程式，但对于由电线和表面组成的模型具有一定的优势，如其中所述以前的博客文章。

时间和频域电场建模

一旦您想建模时变电场，将同时进行传导和位移电流，并且您将需要使用AC/DC模块或MEMS模块。这里的方程仅与上面的第一个方程式略有不同，在时间域内，将其写入：

该瞬态方程求解了两种传导电流，\ Mathbf {J} _c = \ Sigma \ Mathbf {e}和位移电流，\ Mathbf {J} _d = \ frac {\ partial \ mathbf {d}}} {\ partial t}。当源信号是非谐波的，您希望随着时间的推移监视系统响应时，这是合适的。您可以在电容器中电容器的瞬态建模模型。

在频域中，我们可以求解固定方程：

在这种情况下，位移电流是\ Mathbf {J} _d = J \ Omega \ Epsilon \ Mathbf {E}。使用该方程式的一个示例是电容器的频域建模模型。

请记住，仅在电场进行建模时，就会忽略诸如涡流之类的感应效应。要考虑这些效果，我们还必须解决时间变化的磁场。

使用AC/DC模块建模

在AC/DC模块中解决了稳态，时域或低频状态中磁场的建模。

对于没有当前流动任何地方的模型，例如磁铁和磁料，可以简化麦克斯韦的方程式并解决v_m，磁性标量电势：

可以使用有限元方法或边界元素方法。

一旦模型中有稳态电流，我们必须解决\ mathbf {a}，磁矢量电势。

该磁性矢量电位用于计算\ mathbf {b} = \ nabla \ times \ times \ mathbf {a}和电流，\ Mathbf {J}，可以通过使用先前的电量表电位和电流来增加或同时计算。这种情况的一个典型例子是Helmholz线圈的磁场。

当我们转移到时域时，我们解决了以下方程：

在哪里\ Mathbf {e} = - \ frac {\ partial \ mathbf {a}}} {\ partial t}。

该方程仅考虑传导电流和诱导电流，而不考虑位移电流。如果电力传输主要通过传导而不是辐射，这是合理的。解决这个方程式背后的一个强大动力是是否有物质非线性， 比如一个B-H非线性材料，如这个示例电子核变压器。但是，应该指出的是，还有其他方法可以通过A求解B-H非线性材料有效的H-B曲线方法。

当我们进入频域时，管理方程将变为：

请注意，该方程式考虑了两个传导电流，\ Mathbf {J} _C = -J \ Omega \ Sigma \ Mathbf {A}和位移电流，\ Mathbf {J} _d = \ Omega^2 \ Epsilon \ Mathbf {a}，并且开始看起来与波动方程非常相似。实际上，该方程式可以解决结构的共振和周围，假设存在可忽略的辐射，如本示例所示：3D电感器的建模。

有关磁场建模的上述方程组的使用更完整的介绍，也请参阅我们的电磁线圈建模的讲座系列。

也可以混合磁标势和矢量电位方程，这具有建模的应用电动机和发电机。

除了上述静态，瞬态和频域方程在磁矢量电位和标量电位方面外，还在磁场方面存在单独的公式，这适用于对超导材料进行建模，如在此方面示例超导电线。

带有RF或WAVE光学模块的频率和时间域中的波方程建模

当我们进入高频制度时，电磁场在本质上变得像波浪一样，就像在建模中一样天线，，，，微波电路，，，，光学波导，，，，微波加热， 和在自由空间中散射， 也从基板上的物体散射，我们在频域中解决了麦克斯韦方程的略有不同形式：

这个方程是根据电场编写的\ Mathbf {e}，并根据以下方式计算磁场j \ omega \ mathbf {b} = \ nabla \ times \ times \ mathbf {e}。它可以在指定的频率集或特征频率问题上求解，该问题直接解决了设备的谐振频率。特征频率分析的示例包括几个基准封闭的腔，，，，线圈， 和Fabry – Perot腔以及此类模型计算共振频率和质量因子。

当在指定频率范围内求解系统响应时，可以直接在一组离散频率下求解，在这种情况下，计算成本与指定频率的数量线性缩放。一个人也可以在这两个方面利用硬件并行性单电脑和集群并行化和加快解决方案。还有频域模态和自适应频率扫描（也称为渐近波形评估）求解器，可以加速某些类型的问题的解决方案，如一般意义上引入博客文章，并在此证明波导虹膜过滤器例子。

如果您使用RF或Wave Optics模块在时域中求解，那么我们求解了一个与AC/DC模块的早期方程式看起来非常相似的方程式：

该方程再次求解了磁矢量电位，但随着时间的推移包括第一和第二个衍生物，因此考虑了传导和位移电流。它具有适用于建模光学非线性，，，，分散材料， 和信号传播。时间域结果也可以通过快速的傅立叶变换求解器转换为频域，如在这个示例。

就记忆而言，这些方程式的计算要求也是一个问题。感兴趣的设备及其周围的空间通过有限元网格离散，并且该网格必须足够好以解决波浪。也就是说，必须满足Nyquist标准。实际上，这意味着大约10 x 10 x 10波长的域大小（无论工作频率如何）代表带有64 GB RAM的台式计算机上可寻址的上限。随着域大小的增加（或频率增加），记忆需求将与要求解的立方波长的数量成比例增长。这意味着上述方程非常适合具有特征大小的结构，大约不超过最高功能频率的波长的10倍。但是，有两种方法可以解决此限制。

用于求解比波长小得多的物体周围的波状场的一种方法是明确的公式。这解决了可以使用更少的内存来解决的时间依赖性麦克斯韦方程的不同形式。它主要用于线性材料建模，并且在某些情况下是有吸引力的，例如计算宽带在背景字段中散射物体。

某些类型的另一种选择是光学波导结构，在频域中求解，众所周知，电场在传播方向上变化很大。在这种情况下，光束信封方法在波浪光学中，模块变得非常吸引人。该接口求解方程：

电场在哪里\ Mathbf {e} = \ Mathbf {e_e} \ exp \ left（-i \ phi \ right）和\ mathbf {e_e}是电场的信封。

附加字段，\ phi，是一个所谓的相位函数，至少必须大致已知，并指定为输入。幸运的是，对于许多光学波动问题，确实如此。可以同时仅解决一个或两个这样的光束信封字段。当该方法可以使用时的优点是，内存需求远低于本节开头显示的全波方程。其使用的其他示例包括方向耦合器以及建模在光玻璃中自我关注。

在AC/DC模块，RF模块和WAVE光学模块之间决定

AC/DC模块和RF模块之间的分界线有点模糊线。问自己几个问题很有帮助：

1. 我正在处理辐射大量能量的设备吗？我对计算共振感兴趣吗？如果是这样，RF模块更合适。
2. 设备在最高工作波长下的波长小得多吗？我主要对磁场感兴趣吗？如果是这样，AC/DC模块更合适。

如果您在这些之间的界限很正确，那么在您的模块套件中将两种产品都配合起来甚至是合理的。乐动体育app无法登录

在RF模块和Wave Optics模块之间进行决定涉及询问自己有关应用程序的信息。尽管在时间和频域中的麦克斯韦方程的全波形式方面，功能有很多重叠，但边界条件上有一些小差异。有所谓的集团端口和集体元件边界条件，适用于微波设备建模，这仅是RF模块的一部分。还要记住，只有波动光学模块包含光束信封公式。

就材料特性而言，两种产品具有不同的材料库：RF模块提供了一套常见的介电底物，而乐动体育app无法登录波光学模块则包含光学和IR频带中一千多种不同材料的折射率。有关此的更多详细信息以及其他可用材料库，请参见这篇博客文章。当然，如果您对设备建模需求有具体疑问，联系我们。

下图给出了这些模块之间近似分界线的摘要。

带有射线光学模块的射线跟踪

如果您正在对设备进行建模数千倍大小的波长，则不再有可能通过有限元网络解析波长。在这种情况下，我们还提供了几何光学方法射线光学模块。这种方法不能直接求解麦克斯韦的方程式，而是追踪在建模空间中的射线。这种方法仅要求将反射性表面和介电域（而不是均匀的自由空间）进行融合。它适用于建模镜片，，，，望远镜，，，，大型激光腔， 也结构 - 热点性能（停止）分析。它甚至可以与全波分析的输出相结合，如此所示教程模型。

多物理建模

除了自己求解麦克斯韦方程式外，comsol多物理学的核心优势之一是解决几种物理学之间存在耦合的问题。最常见的之一是麦克斯韦方程和温度之间的耦合，其中温度的升高会影响电气（以及热）特性。有关解决这些类型的电热问题的概述，请参阅博客文章。

将结构变形与电场和磁场进行结构变形也很常见。有时，这仅涉及形变，但有时候这也涉及压电，，，，压电， 或者磁题物质响应，甚至是应力光谱回复。MEMS模块具有专用的用户界面静电驱动的谐振器，其中所施加的电场会偏向设备。结构接触和流动接触零件之间的电流也可以在电流建模的背景下考虑。

不过，除了温度和变形之外，您还可以将麦克斯韦的电流方程与化学过程相结合，如电化学，，，，电池设计，，，，电沉积， 和腐蚀模块。在里面等离子体模块，您甚至可以将其与等离子化学相结合，并与粒子跟踪模块，您可以通过电场和磁场追踪带电的颗粒。最后（现在！）我们半导体模块使用漂移扩散方程求解电荷运输。这些模块中的每个模块本身都是一个主题，因此我们不会在这里尝试解决这些模块。

当然，如果您想更深入地讨论任何这些模块，并找出它如何适用于您感兴趣的设备，请随时通过下面的按钮与我们联系。