如何用弱形式实现点源

今天，我们通过查看如何以弱形式实施点源来继续讨论弱者的讨论。点源是将源集中在建模域的非常小的区域的情况下理想化的有用工具。我们会发现，使用弱形式设置这样的点源非常方便。

点源的数学

考虑一个一维域X- 带有源本地化的源的轴，我们可以将源的强度绘制为x的函数，看起来像这样：

在这里，我们认为强度的恒定值为1/w在间隔内[-w/2，w/2]并且在其他任何地方都为零。这给出了宽度的矩形形状w和高度1/w，如上图所示。该功能通常称为长方形，上帽或有时是圆盘功能。源的总强度由矩形的面积给出，这是统一的。

对于线性系统，如果我们只关心远离来源的情况\ left |x \ right |\ gg w，那么源强度的实际形状并不重要，只要该形状下方的区域相同。此外，我们可以自由地制作w逐渐越来越小的：矩形的宽度减小，而其高度的增加以使总面积保持不变的方式，如下图所示。

由蓝色曲线代表的局部源逐渐变薄，更高（橙色和绿色曲线），同时保持统一的综合强度。

最终，我们到达了一个矩形，该矩形是无限的薄且无限高的矩形，但仍然有一个明确的团结区域。这使我们进入了所谓的三角洲功能\ delta（x）而且，相应地，局部源现在成为单位强度的理想点源。

增量功能具有一些方便的属性。它的值除原点外，无处不在：

集成三角洲函数的乘积和另一个函数，只是提取后者在原点处的值：

一般位置的点源x = a可以通过简单的Delta函数的坐标转移获得\ delta（x-a）。我们有

和

将增量功能和相应点源概括为更高维度也很容易。例如，在2D中，我们有

和

（1）

使用弱形式实施点源

这个教程求解具有点源的单位光盘上的泊松方程。方程式读取

（2）

在哪里你是要求解的因场变量。

乍一看，如何离散该方程以进行数值求解可能并不明显。我们在右侧的源术语原点上投入了什么值？Delta功能的价值是无限的，但是计算机不喜欢无限！

在这里，我们将看到薄弱的表述派上用场。回想一下此介绍性博客文章有关弱形式，我们乘以通过测试函数求解的微分方程并在整个域上集成（请参阅该帖子中的等式（4））。我们可以在此处遵循相同的过程来求解EQ。（2）。乘以测试功能后\ tilde {u}（x，y）并集成在设备圆盘域，等式的右侧。（2）简单地变成

（3）

通过使用等式中给出的增量功能的集成属性。（1）。这为我们提供了在comsol多物理学中非常易于实现的东西。

从新的2D模型开始弱形式PDE物理界面和固定研究。绘制一个以（0,0）为中心的单元圆并在那里绘制一个点。在默认弱表单pde 1功能下设置弱表达式字段-test（ux）*ux-test（uy）*uy。这要照顾等式的左侧。（2）以与讨论中讨论的1D案例完全相同这篇文章。

现在，对于右侧的点源，\ tilde {u}（0,0），我们只需添加一个弱贡献节点，然后选择原点处的点即可。对于弱表达，我们进入测试（U）。对于点源而言，这很简单！

可能值得注意的是，进入测试（U），我们将点源的力量设置为团结。对于任何其他源幅度，只需乘以一个因素即可。例如，表达式2*测试（u）给出强度2的点源2。

在用圆形周长的Dirichlet边界条件完成设置后，我们可以解决模型并观察到与上述点源教程中相同的解决方案：

同样在教程中可以看出，数值解（蓝色曲线）非常匹配分析溶液（绿色曲线），除非在发生奇异性的原始距离附近：

如前所述，在我们只关心远离源的解决方案的情况下，点源为局部源提供了方便的理想化。我们用以下图说明了这一点，在该图中，我们在上面的图中添加了三个曲线。这三个曲线是同一单元圆盘域中同一泊松方程的数值解，但是具有各种尺寸的顶帽或盘形状的源代替了点源。每个顶部帽子源的综合强度通过将其高度设置在其区域的高度上，以与所示的1D情况相同上面的图像。从下面的图中可以清楚地看到，所有解决方案都无法与远离来源区分开。（在此示例中x \ gg 10 \，mm）

结论

在这里，我们证明了使用弱形式创建点源的易度性。通过简单的集成，绕过Delta函数表示的数值难度。在即将发布的帖子中，我们将研究不连续性和边界条件。敬请关注！