在ComsolMultiphysics®中建模Pierce Electron Gun

电子枪通常用于阴极射线管，电子显微镜，光谱仪和粒子加速器中。电子枪从热阴极或血浆中提取电子，然后将它们加速到高动能。建造电子枪的主要设计挑战之一是电子相互排斥，因此梁倾向于散布。在这里，我们讨论建模用于抵消这种静电排斥的最早电极配置之一：Pierce Electron Gun。

电子枪设计

良好的电子枪设计必须能够执行以下操作：

1. 提取足够高的电子；也就是说，获得足够的光束电流
2. 将电子加速到某些动能
3. 将光束聚焦在特定位置

通常，当电子首先从阴极或等离子体源发射时，它们会很慢，然后它们会被外部场加速。一种非常简单的加速方法是将光束通过以固定电势固定的金属网格发送。

两个带电颗粒之间的力

所有发射的梁电子互相施加排斥力。考虑在位置的两个带电粒子r₁和r₂，有指控问₁和问₂。通过粒子2施加在粒子1上的力是由库仑定律给出的

其中ε₀= 8.854187817×10^-12f/m是一种称为真空介电常数的物理常数。

如果问₁和问₂具有相同的符号 - 即，两个粒子均为积极或负电荷 - 然后粒子上的力1点远离粒子2。如果一个粒子带正电且另一个粒子被带负电，则粒子1上的力将点1朝向粒子2。因此，就像电荷排斥一样，而对立面吸引。

随着颗粒的移动更近，吸引力或排斥力变得更强大。如果将两个电子之间的距离分成两半，则它们相互施加的排斥力增加了四倍。

许多带电颗粒之间的力

大多数现实世界中的系统都包含大量电子，而不仅仅是两个。作用在电子上的总库仑力是所有其他颗粒施加的力的总和。例如，作用在第一个粒子上的总力是

在哪里n是电子的总数。

想象一个包含许多电子的圆柱梁。对于梁中心附近的电子，任何一侧都有相等数量的其他电子，因此，如果我们采用作用在该电子上的力的矢量总和，则库仑力将大部分取消。另一方面，对于梁边缘附近的电子，净力将其将其推到远离中心。因此，如果梁电子最初彼此平行地移动，则它们将随着梁传播时开始散布或散开。

一个发散的电子束。梁在电子速度平行的腰部（左）释放。在右侧，电子在各个方向散布。

要查看一些示例，这些示例证明了电子束在自由空间中如何发散，请参见教程模型电子束发散由于自我潜力和相对论分化电子束。

在梁电子最慢的情况下，导致光束散布的排斥力最强，因为这些区域往往具有最高的电荷密度。因此，设计电子枪的关键技术挑战之一通常是在发出光束电子后立即将光束聚焦在第一个加速缝隙中（参考。1）。

找到最佳电极形状

我们的目标是设计电子枪几何形状，以使电极的形状取消梁电子之间的库仑排斥，从而使梁在不扩散的情况下直线延伸。

首先，考虑一个二维片梁，该束在平面外（均匀）（z） 方向。光束将在阳性中传播y方向。梁电子首先是从阴极发射的（v= 0）位于y= 0，被吸引到阳极（v=v_一个）位于一定高度y=d。

让我们从一个琐碎的解决方案开始，该解决方案在该解决方案中无限宽X方向。在这种情况下，任何光束电子都可以视为位于光束的中心，左侧的电力将相互抵消。

在两个平坦电极之间的简单薄片，在 +中无限延伸X和 -X方向。

可以从阴极中提取的理论最大电流，而不会导致电子向后排斥。这称为空间充电极限，并且在此电流处释放电子的阴极为空间充电有限公司。在两个平行电极之间的空间充电限制时发射，间隙中的电势遵循儿童定律给出的分布（参考。2），

现在假设电子仅在该地区流动X<0，该地区没有收费X> 0。

如果电极保留其平坦形状，则由于梁中的静电排斥，一些电子接近y- 轴将溢出到该地区X> 0。

因此，当梁具有有限的大小时，会发生电子束的发散或扩散，因为梁边缘附近的电子感觉到来自其他电子的库仑力的不平衡。在下一部分中，我们介绍了一种分析方法来改变电极的形状，以使梁直接向上移动，并且没有电子溢出到该区域X> 0。

电子枪设计的Pierce方法

假设阴极和阳极在该地区仍然是平坦的X<0，但现在他们在该地区采用不同的形状X>0。这些电极形状的确切功能形式尚不清楚。

因为该地区没有收费X> 0，电势必须满足拉普拉斯方程，

考虑复杂数字你=y+ix。皮尔斯的方法（参考。1，3）从观察到任何两次不同的函数的观察你- 让我们称之为F（（你） - 还将满足拉普拉斯的方程式。这可以通过重复应用链条规则来证明

考虑到这一点，让该地区的电势X> 0被定义为F，，，，

然后v还将满足该无费用区域的拉普拉斯方程。确保电势是连续的X= 0，v必须满足儿童法律给出的潜在分配（参考。2），

阴极仅仅是配合平面中满足该方程式的复杂平面中的坐标集v= 0。类似地，阳极是配合平面中满足此方程的配合平面中的坐标集v=v_一个。

此时，重写很方便你在圆柱极坐标中，

请注意，这里，θ= 0是正y方向而不是X方向。现在，我们对该地区电势的表达X> 0是

因为r和d是真实的，可以简化

然后调用Euler的公式产生最终结果

现在，阴极和阳极的形状只是插入最后一个表达式时的曲线，给予v= 0和v=v_一个， 分别。

解决方案v= 0是直线

或距光束传播方向的67.5°角。

解决方案v=v_一个是曲线

因此，Pierce Gun Design算法可以预测，可以使用直接阴极与光束传播方向和弯曲的阳极以67.5°角完美地保持光束。

创建comsolMultiphysics®几何形状

上一节中发现的阳极曲线渐近地接近了阴极线，但从未完全满足。完美的皮尔斯电子枪无限地延伸X方向，因此我们必须在某个时候任意将其切断。

在以下图中，长直线是阴极，其上方的长曲线是阳极。这两条线可以无限地扩展，但永远不会相遇。因此，对于更实用的模型，我们绘制另一个与阴极和阳极相交的线路，然后使用转换为实心在comsolMultiphysics®中的操作形成由这些曲线界定的域。相交线段垂直于阴极绘制，因为我们希望电场指向该方向。

左侧的实心矩形是梁传播区域，线X= 0是这里的对称轴。因此，完整的皮尔斯枪几何形状在光束两侧具有相同的弯曲阳极形状。

在截断阴极和阳极曲线之前，Pierce Electron Gun Gun几何形状。

粒子场相互作用模型

在此模型中，我们使用专用空间充电有限排放多物理耦合节点以释放正极的电子光束y方向。然后，为了包括梁电子之间相互静电排斥的效果，我们使用专用电场相互作用多物理耦合。这导致梁电子有助于域中的空间充电密度，然后包括静电解决电势时接口。

最终的算法是为电势获得自一致的解决方案，然后粒子轨迹看起来像这样：

1. 追踪颗粒，而无需考虑梁电子之间的静电排斥。从该溶液中，估算梁中的空间电荷密度。
2. 使用估计的空间电荷密度以及阴极和阳极表面的边界条件，计算固定电势。
3. 使用上一步的电势来定义电力在颗粒上。再次追踪颗粒，并计算梁中的空间电荷密度。
4. 继续在步骤2和3之间进行固定数量的迭代，或直到迭代之间的解决方案明显变化为止。

结果

一个镜子数据集用于反映跨整个的电势分布y-轴。以下图显示了粒子轨迹，根据其速度颜色，绿色是最快的。域中的空间电荷密度在灰度中绘制，深色阴影表示更大的电荷密度。显然，在与阴极相邻的狭窄区域中，电荷密度最大，并且随着颗粒加速而减小。

皮尔斯枪中的电势分布和颗粒轨迹。

以下动画显示了粒子在接近阳极时如何加速。在这里，灰度背景显示了一些等电位轮廓。梁区域中的颗粒以直线移动，光束横截面中的等电位轮廓是水平的 - 这两种很好的指示表明倾斜的阴极和弯曲阳极正确地平衡了梁中的静电排斥。

自己尝试

要下载Pierce Electron Gun型号，请单击下面的按钮。

进一步阅读

另一种基准模型，提供有关儿童定律及其推导的一些有用的理论细节，是儿童法律基准教程。

儿童定律基于简化的近似，忽略了释放电子的热速度。实际上，离开阴极后，室温下的颗粒可以以每秒几百米的速度飞行。要了解有关发射电子的热分布及其对太空电荷有限电子发射的影响的更多信息 - 有时称为Langmuir -Fry模型（裁判。4，5） - 参见示例平面二极管中的热发射发射。

参考

1. S. Humphries，斯坦利，带电的粒子梁，多佛，2013年。
2. J.R. Pierce，“光束中的直线电子流”，应用物理学杂志，卷。11，不。第8页548–554，1940。
3. 光盘。孩子，“从热ca中出院”，物理评论（第I系），卷。32，不。5，第492–511页，1911年。
4. T.C.Fry，“平行平面电极之间的热电流；根据麦克斯韦法律分配的排放速度”物理审查，卷。17，不。4，第441–452页，1921年。
5. I. Langmuir，“空间电荷和初始速度对平行平面电极之间电势分布和热电流的影响”，物理审查，卷。21，否。4，第419–435页，1923年。