非线性渐变以改善非线性问题的收敛性

2013年12月3日

正如我们在“非线性问题的负载渐变“,我们可以使用持续方法从我们知道解决方案的卸载情况下升起问题上的负载。该算法对于理解失败负载附近发生的事情也很有用。但是,在所有情况下,负载升值均不会起作用,也不效率低下。在这篇文章中,我们介绍了提高问题中非线性以改善收敛性的想法。

非线性坡道示例

再次考虑下面所示的系统,该系统应用于具有非线性刚度的弹簧。

一个施加非线性刚度的力的力的示例

我们已经看到我们可以使用牛顿方法与阻尼或使用延续方法和升起负载为了给牛顿方法良好的起点。现在,我们将研究如何颠覆非线性。首先,让我们再看一下描述单个节点上力量平衡的函数:

f(u)= p- \ exp(u)u

我们可以更笼统地重写:f(u)= p-k(u)u在哪里k(u)是非线性弹簧刚度。现在,我们可以解决另一个使用刚度定义为:

k(u,\ beta)= k(u_0)+\ beta \ left [k(u) - k(u_0)\ right]

换句话说,我们将弹簧刚度函数分为两个部分 - 一个线性术语,K(u_0)和一个非线性术语,\ left [k(u) - k(u_0)\ right]- 然后引入附加参数,\ beta,这在线性和非线性情况之间进行了插值。然后,我们在参数的一系列问题上使用与以前相同的牛顿方法\ beta,从零开始。也就是说,我们使用持续方法将(易于解决)线性问题升至(更困难的)非线性问题。

接下来,我们将通过使用此技术来研究以上示例。我们最初的春季僵硬,k(u)= \ exp(u),重新编写为:

k(u,\ beta)= \ exp(u_0)+\ beta \ left [\ exp(u) - \ exp(u_0)\ right]

我们首先要解决\ beta = 0并获得线性弹簧刚度k(u)= \ exp(u_0),所以现在我们要做的就是选择一个线性化点,U_0。对于此示例,如果我们选择U_0 = 0,我们看到f(u,\ beta = 0)= 2- \ exp(0)u = 2-u。回想起我们关于解决线性静态有限元问题,在我们了解到,您将始终在单个牛顿迭代中找到线性问题的解决方案。现在,加大参数\ beta, 如图所示:

使用持续方法将线性问题升至非线性问题

显然,从解决方案到\ beta = 0案例需要解决\ beta = 0.25。因此我们可以重复\ beta = 1从而从完全线性到完全非线性的情况下坡道。

此方法很有吸引力,因为您总是可以找到解决线性问题的解决方案,因此您可以随时解决\ beta = 0。您只需要考虑哪个点U_0最初对围绕什么样的非线性渐变进行线性化。

我们还可以利用非线性渐变的概念来解决非线性术语不连续可区分的情况。回忆起博客文章的案例解决非线性静态有限元问题,具有分段恒定刚度的系统,k = 0.5为了u \ le1.8,,,,k = 1为了1.8 , 和k = 1.5为了u \ ge2.2,将产生力量平衡功能:

不连续的分段恒定弹簧刚度

正如我们之前看到的那样,除非您碰巧在解决方案的收敛性(非常小)半径内开始,否则无法通过牛顿方法解决这个问题。但是现在考虑用平滑的刚度代替原始的弹簧刚度,可以升起,如下图所示:

使用渐进的步骤来改善非线性问题的收敛性

显然,这个问题是可以解决的,我们可以使用此技术来解决原始问题的近似解决方案。使用此方法只需要我们找到适当的平滑函数和非线性斜坡路径即可。

每当您有上面显示的阶梯性行为的问题时,也值得尝试双狗腿非线性求解器而不是牛顿方法。双狗是一个信任地区在解决牛顿方法可能在两个不同区域之间振荡的问题时效果很好的求解器。一个很好的物理例子是一个结构性接触问题,当两个物体发生物理接触时,负载突然转移。

关于改善非线性问题收敛性的总结

现在,我们已经看到了改善非线性问题收敛性的两种方法:载荷倾斜和非线性渐变。实际上,可以使用或两种方法,并且通过仔细设计材料属性和负载,可以将两种方法融合在一起。可能很难提前说哪种方法可以更好地表现,而您使用的每个模型都需要在负载升起路径,非线性渐变以及线性化初始条件的选择方面进行一些实验。另外,如果您期望该解决方案在不同情况下可以振荡,则双芯求解器的性能比牛顿方法更好。借助经验,您将建立有关如何最好地解决您正在努力的问题的工程直觉。

这里介绍的技术通常适用于非线性静态有限元问题,在这些问题中可能很难找到良好的初始条件,或者在材料特性中具有强大的非线性和不连续性的问题。实际上,可以使用这些方法解决了非常广泛的问题。但是,您还必须意识到,解决非线性问题时有不同的网格划分要求。这是我们将要解决的下一个主题,因此请继续关注。


评论(1)

发表评论
乐动体育app
加载...
anu das
anu das
2015年10月2日

先生,我有一个非常具体的问题。
假设我有一个针板电极几何形状。带有圆形尖端的针头,半径为0.1mm,板说,半径为5mm。这些被保存在绝缘油中。我应用一定的步骤电压说,10 kV保持板在地面,即0 v。
政府等式如下:
div(e)= - (Rho/Epsilon)——————(i),Poisson EQN
del(rho)/del(t) + div(j)= g(| e |) - - (ii),电荷连续性eqn,其中j = - rho * meu * | e |
&g(| e |)= a *| e | *exp(-b/| e |)
静电:BC如下
针头bndry处于vapplied 10 kV,例如上升时间为0.1US
板0 v
使用的子节点:空间电荷密度---“ rho”
稀释物种的运输:(保守形式)
对流和扩散:…速度场……。”- meu*| e |
BC如下:
流出:对流通量(针和板电极bndry)…n.grad(rho)= 0
扩散通量,n.div(j)= 0,在开放边界处
使用的空间维度:2D轴对称
这两个控制EQN的耦合没有融合。需要帮忙。

[参考。弗朗西斯·苏利文(Francis O Sullivan)的麻省理工学院博士学位论文。第7章(简化模型)…。可从MIT DSPACE下载(191825413.pdf)]
先谢谢您的帮助。
真挚地,
- ANU

探索comsol乐动体育赛事播报博客