解决非线性静态有限元问题

在这里，我们开始概述用于解决非线性静态有限元问题的算法。此信息是在非常简单的一维有限元问题的背景下介绍的，并在我们先前的条目上构建求解线性静态有限元模型。

编者注：此博客文章中的信息已被此知识库输入所取代：“改善非线性固定模型的收敛性”

我们有兴趣找到应用力的弹簧末端的位移。就像我们之前所做的这线性问题，我们现在可以编写以下功能，描述了节点上力平衡的平衡非线性有限元问题：

在这种情况下，只有弹簧刚度取决于溶液，但是更一般而言，元素的负载和性能都可以任意取决于非线性问题中的溶液。

让我们策划此功能，并记住我们正在尝试找到你这样f（u）= 0。

实际上，找到解决问题的解决方案仅与线性情况有很小的不同。回想一下，要解决线性问题，我们进行了一次牛顿 - 拉夫森迭代的单一迭代 - 我们在这里做完全相同的事情：

如您所见，我们再次从最初的猜测开始，U_0 = 0，评估功能，f（u_0），以及它的导数，f'（u_0）。这使我们达到了重点U_1。通过检查，我们看到这不是解决方案，因为f（u_1）\ ne 0。但是，如果我们继续进行牛顿 - 拉夫森的迭代，如下所示，很明显，我们正在解决问题的解决方案。（有关此算法的更多详细信息，您可以使用此信息牛顿方法的资源）

因此，找到解决非线性问题的解决方案与解决线性问题基本相同，只是我们采取多个牛顿 - 拉夫森步骤来解决解决方案。实际上，我们可以继续进行迭代并任意接近解决方案，但这是不需要的。如前所述，我们始终遇到计算机上数值精度的问题，因此我们能获得的距离有一个实际的限制。让我们看看几次迭代后的结果：

六次迭代后，我们在这里看到，连续值之间的差异f（u）， 和你以及的绝对价值f（u），减少到0.001或更少。经过六个牛顿 - 拉夫森的迭代。U_0 = 0，该溶液已收敛到0.001的公差。当我们解决非线性问题时，我们将应用该算法，直到将溶液收集到所需的公差内。有第二个终止标准：求解器应采取不超过指定数量的迭代。首先满足的标准，耐受性或迭代次数的数量将阻止求解器。另外，请记住从博客文章中讨论有关解决该问题数值缩放的线性静态有限元问题的讨论。公差标准适用于缩放溶液向量，而不是解决方案的绝对值。

尽管可视化更为复杂，但这是解决问题的相同算法你是矢量，就像典型的非线性有限元问题一样。但是，当解决数百，数千甚至数百万自由度的问题时，希望尽可能少的牛顿 - 拉夫森步骤。回想一下我们需要解决\ Mathbf {u} _ {i+1} = \ Mathbf {u} _ {i} - [\ MathBf {f}'（\ MathBf {\ MathBf {u} _ {i}）]}（\ mathbf {u} _ {i}）计算衍生物的倒数是最密集的步骤。为避免进入没有解决方案的区域，并最大程度地减少牛顿 - 拉夫森步骤的数量，comsol使用了阻尼因子。再次考虑前面绘制的第一个牛顿 - 拉夫森步骤，并观察到此步骤| \ Mathbf {f}（\ Mathbf {u} _ {i+1}）|> | \ Mathbf {f}（\ Mathbf {u} _ {i}）|。因此，对于这种迭代，我们采取了太大的一步。发生这种情况时，comsol将沿着间隔进行简单的搜索[\ mathbf {u} _ {i}，\ mathbf {u} _ {i+1}]一点点\ Mathbf {U} _ {damped} = \ Mathbf {u} _i+\ alpha（\ Mathbf {u} _ {i+1} - \ Mathbf {u} _i _i）这样| \ mathbf {f（u} _ {damped}）| <| \ mathbf {f（u} _ {i}）|。然后在这一点上重新启动牛顿 - 拉夫森迭代方案。

期限\α被称为阻尼因子，具有边界0 <\ alpha \ le 1。作为\ alpha \ rightarrow 0我们说阻尼是增加， 尽管\ alpha = 1意味着问题是未受阻碍的。此方法很有吸引力，因为搜索仅需要COMSOL评估\ mathbf {f（u} _ {damped}）与计算导数相比，其计算成本非常低\ mathbf {f'（u} _ {i}）及其倒数[\ mathbf {f}'（\ Mathbf {u} _i）]^\ Mathbf {-1}。

重要的是要强调，该阻尼术语没有直接的物理解释。尽管这种方法可以很好地改善收敛性，但几乎没有什么物理洞察力可以通过检查阻尼因子来收集。此外，尽管COMSOL确实允许您手动修改阻尼因子，但通常不可能使用模型中的任何物理理解或信息作为指导。通过手动干预，难以超越阻尼算法的默认选择。但是，可以使用其他技术，通常是由问题的物理学动机，当默认抑制牛顿 - 拉夫森方法降低或根本不融合时，它们可以很好地工作。

为什么非线性问题可能不会融合

非线性问题本质上很难解决，因为有多种方法可以通过多种方式收敛。尽管有很多方法牛顿 - 拉夫森方法可能会失败在实践中，我们可以将讨论减少到以下情况。

情况1：初始条件离解决方案太远

首先，考虑与以前相同的非线性问题，但以不同的起点为例U_0 = -2。从下面的图中可以看到，如果我们选择任何初始条件U_0 \ le-1，牛顿 - 拉夫森方法无法找到解决方案，因为f（u）不要指向解决方案。在左侧找不到解决方案U_0 = -1，因此这些起点不在收敛的半径牛顿 - 拉夫森法。初始条件的选择会导致牛顿 - 拉夫森方法无法收敛，即使存在解决方案。因此，与线性案例不同的是，始终解决问题的问题，非线性模型的收敛可能高度依赖于起始条件的选择。我们稍后将讨论如何最好地选择良好的初始条件。

案例2：问题没有解决方案

如果问题本身没有解决方案，则非线性求解器也将失败。再次考虑上面的问题，但弹簧刚度为k（u）= \ exp（-u）。换句话说，随着弹簧的拉伸，刚度会降低。如果我们策划f（u）负载p = 2，我们看到找不到解决方案。不幸的是，牛顿 - 拉夫森算法无法确定情况。该算法将仅找到解决方案并在用户指定数量的迭代次数之后终止。

案例3：问题是非平滑且不差异的

最后，考虑物质属性的情况，其属性发生了不连续的变化。例如，考虑与以前相同的系统，但具有不同间隔的弹簧刚度，值k = 0.5为了u \ le1.8，值k = 1为了1.8 ， 和k = 1.5为了u \ ge2.2。如果我们策划f（u）对于这种情况，我们看到它是不可分割的和不连续的，这违反了牛顿 - 拉夫森方法的要求。还可以通过检查清楚，除非我们在间隔中选择一个起点1.8 牛顿 - 拉夫森迭代将在此间隔之外的迭代之间振荡。

1）求解器1中的固定求解器1始于2013年10月10日15:23:07。2）非线性求解器3）求解的自由度数量：2002。4）发现的对称矩阵。5）因变量的比例：6）位移字段（材料）（MOD1.U）：1 7）ITER错误阻尼步骤#JAC #SOL #SOL 8）1 6.1 0.1112155 7 3 1 3 1 3 9）2 0.12 0.12 0.6051934 1.2 4 2 4 25 10）3 0.045 1.0000000 0.18 5 3 7 11）4 0.012 1.0000000 0.075 6 4 9 12）5 0.0012 1.0000000 0.018 7 5 11 13）6 1.6E-005 1.005 1.0000000 0.00000 0.000015 8 6 13 13 13 14）固定求解器1：solover 1：solover 1：时间：1 S 15）物理记忆：849 MB 16）虚拟内存：946 MB