什么是量规固定?理论介绍

2020年3月24日

量规固定是计算电磁学中最有趣的主题之一。在此博客文章中,我们将介绍量表修复的介绍和背景,然后继续讨论何时以及如何在ComsolMultiphysics®软件中使用它。

Helmholtz的定理

comsolMultiphysics®中的电磁物理界面均旨在为麦克斯韦方程提供解决方案,那么它们之间有什么区别?为什么首先需要多个“麦克斯韦接口”?

为了回答这个问题,要处理一些常见的误解,让我们退后一步,看看矢量字段的一般数学概念,因为麦克斯韦的方程式涉及时空功能的向量字段;即,\ textbf {e},,,,\ textbf {d},,,,\ textbf {h}, 和\ textbf {b}

分析麦克斯韦方程的一个好的起点是赫尔姆霍兹的定理。也称为矢量计算的基本定理。它指出任何向量字段\ textbf {f}可以分解成无卷发部分和无散射部分。它还指出,通过知道到处\ nabla \ times \ textbf {f}\ nabla \ cdot \ textbf {f},对于截短的域,也知道适当的边界条件,矢量场是唯一确定的。

当然,表达可能仍然很难或不可能\ textbf {f}通过分析和不实用数值计算。

麦克斯韦方程

麦克斯韦方程以差异形式写

\ begin {equation}
\ begin {align*}
\ begin {split}
\ nabla \ cdot \ textbf {d} = \ rho,\ quad \ text {(gauss'law)} \\
\ nabla \ times \ textbf {e} = - \ frac {\ partial \ textbf {b}}} {\ partial t},\ quad
\ text {(法拉第定律)} \\
\ nabla \ cdot \ textbf {b} = 0,\ quad \ text {(磁高斯定律)} \\
\ nabla \ times \ textbf {h} = \ textbf {j} + \ frac {\ partial \ textbf {d}}} {\ partial t},\ quad
\ text {(麦克斯韦{ - } amp \`{e} re law)} \\
\ end {split}
\ end {align*}
\ end {equation}

在哪里\ textbf {e}\ textbf {h}分别是电场强度和磁场强度;\ textbf {d}\ textbf {b}分别是电位位移和磁通量密度;和\ rho\ textbf {j}电荷密度和电导电流密度分别是。

此外,材料法律独特地关联\ textbf {e}\ textbf {d}\ textbf {h}\ textbf {b}。然后,从Helmholtz的定理中,很明显,这些方程(与足够的边界条件一起)确实提供了独特的矢量场\ textbf {e},,,,\ textbf {d},,,,\ textbf {h}, 和\ textbf {b}, 既\ nabla \ times \ textbf {e}\ nabla \ cdot \ textbf {e}开处方,类似地\ nabla \ times \ textbf {h}\ nabla \ cdot \ textbf {h}

引入潜力

根据标量和向量电位,重新重新制定麦克斯韦的方程式通常很方便。这些不一定是独一无二的,需要使用Helmholtz的定理进行分析,如下所述。

我们注意到,在静态中,\ nabla \ times \ textbf {e} = \ textbf {0},在磁静态中,\ nabla \ times \ textbf {h} = \ textbf {0}在没有电流的情况下。

这意味着在这种情况下,我们可以使用标量电位(如\ nabla \ times(\ nabla f)= \ textbf {0}对于任何标量功能F)代表\ textbf {e}\ textbf {h}, 分别;那是:

\ textbf {e} = - \ nabla v
\ textbf {h} = - \ nabla v_m

我们还注意到\ nabla \ cdot \ textbf {b} = 0总是保持\ nabla \ cdot \ textbf {d} = 0如果没有免费费用,则持有。

然后,我们可以使用向量电位(\ nabla \ cdot(\ nabla \ times \ textbf {f})= 0,对于任何向量字段\ textbf {f})代表\ textbf {b}和无差异的部分\ textbf {d}(在没有电荷电荷密度的情况下):

\ textbf {b} = \ nabla \ times \ textbf {a}
\ textbf {d} = \ nabla \ times \ textbf {f}

在数值实现中,使用标量势具有吸引力震级。从理论的角度来看,它也很有吸引力,因为通常更容易找到使用标量潜力提出的问题的分析解决方案。

但是,电磁学中误解的挑战和最常见的来源之一是,大学级别的矢量微积分几乎总是从使用标量电势表达的无卷曲场的特殊情况开始。根据“最后的印象”原则,学生通常会忘记毕业后面对现实世界问题时具有非零卷曲的领域所需的分析。这篇博客文章可能有助于填补这一空白。

关于电势和衡量转换的独特性

与电势的独特性有关的电势的用法相关的陷阱和陷阱。如前所述,物理领域\ textbf {e},,,,\ textbf {d},,,,\ textbf {h}, 和\ textbf {b}所有人都有由麦克斯韦方程确定的独特解决方案。但是,当将标量和向量电势替换为麦克斯韦方程时,这些电势通常具有无限数量的解决方案 - 除非应用其他方程式或条件。

在下文中,我们假设我们使用标量电势v,以及磁矢量电势\ textbf {a},以及线性关系(物质定律)\ textbf {e}\ textbf {d}以及之间\ textbf {h}\ textbf {b},代表麦克斯韦方程的解决方案。实际上,我们可以自由使用建议的潜力(v,,,,v_m,,,,\ textbf {a}, 和\ textbf {f})可以共同表示非零的卷发\ textbf {e}\ textbf {h},分别和非零差异\ textbf {d}按照麦克斯韦方程的要求。

让我们从标量电势开始v。我们从静态学开始,以便\ nabla \ times \ textbf {e} = \ textbf {0},由于法拉第定律没有诱发电场。然后我们可以假设\ textbf {e} = - \ nabla v。然而,v不是唯一的定义为

V’= V+C

在哪里C是常数,将产生相同的静电场。

因此,标量电势至少需要一种固定其一般水平的另一种条件才能具有独特的解决方案。大多数情况下,这是作为边界条件(地面或应用电位)提供的。

进入磁矢量电位,\ textbf {a},事情变得更加复杂,

\ textbf {b} = \ nabla \ times \ textbf {a}

可以看到我们可以添加任何标量函数的梯度\ psi\ textbf {a},,,,

\ textbf {a}’= \ textbf {a} + \ nabla \ psi

这将产生相同的(唯一)\ textbf {b}由于这个事实\ nabla \ times(\ nabla \ psi)= \ textbf {0}

通过标量函数的梯度将矢量电势转移称为量规变换。回到Helmholtz的定理,这种规格的不确定性是由于到目前为止仅指定的卷发\ textbf {a}。还必须指定其差异以具有矢量潜力\ textbf {a}除了添加恒定向量外,这是独特的\ textbf {c}。后者通常由边界条件确定。一个共同的选择\ nabla \ cdot \ textbf {a}是所谓的库仑仪:

\ nabla \ cdot \ textbf {a} = 0


使用量规固定在COMSOL多物理学中建模的Helmholtz线圈的图像。
计算的\ textbf {a}字段(黑色箭头和轮廓的大小)和\ textbf {b}在静态Helmholtz线圈中的场(红色箭头和切片)。每个绕组都由10条铜线和相等的电流组成,该电流平行于\ textbf {a}场地。这\ textbf {a}在库仑仪表中计算了场\ nabla \ cdot \ textbf {a} = 0

电动力学的仪表转换

到目前为止,我们已经假设静态条件,没有材料的运动,因此没有诱导的电场,也没有位移电流密度。在这些条件下,电场和磁场是单向耦合的。静态电场驱动直流传导电流密度,从而产生磁场。

现在,放松零时间导数的状况和法拉第法律指出

\ nabla \ times \ textbf {e} = - \ frac {\ partial \ textbf {b}}} {\ partial t}

插入后\ textbf {b} = \ nabla \ times \ textbf {a}

\ nabla \ times \ textbf {e} = - \ frac {\ partial(\ nabla \ times \ times \ textbf {a})} {\ partial t}

如果我们定义:

\ textbf {e} = - \ nabla v - \ frac {\ partial \ textbf {a}}} {\ partial t}

但是,重复上一节中的量规转换练习,我们现在看到,为了不改变的定义\ textbf {e},我们不仅要改变\ textbf {a}但是也v;那是

\ textbf {a}’= \ textbf {a} + \ nabla \ psi
v’= v- \ frac {\ partial \ psi} {\ partial t}

制作

- \ nabla v’ - \ frac {\ partial \ textbf {a}’} {\ partial t} = - \ nabla v - \ frac {\ partial \ partial \ textbf {a}}} {\ partial t} {\ partial t}

现在两者\ textbf {a}v取决于仪表的选择,并且都以使电场的方式促进了电场\ textbf {e}独立于\ psi

还值得注意的是,电场通过传导和位移电流密度项影响磁场,- \ sigma \ textbf {e} + \ frac {\ partial \ textbf {d}}} {\ partial t},在麦克斯韦 - 安am的法律中,以类似的方式- \ frac {\ partial \ textbf {b}} {\ partial t}是源术语\ nabla \ times \ textbf {e}在法拉第定律中。因此,动态电场和磁场是双向耦合的(也称为完全耦合的电磁学或“完整的麦克斯韦”配方)。

另一个非常重要的观察结果是,电势仅给电场提供部分,依赖于量规的贡献\ textbf {e}。这意味着电压,,只能根据电场不可或缺的线路来定义:

u = \ int_l {\ textbf {e} \ cdot} d \ textbf {l}

因此,使用“电位差”的概念根深蒂固于对无卷曲电场和电路分析中的分析,通常不适用。此外,在电动力学中,测得的电压取决于所选的整合路径l;例如,拾取线圈的方向。

选择量规的方法有很多。库仑量规会产生电势,该电势会立即反应对电荷密度的变化(甚至很远),而磁性矢量电势则表现出有限的传播速度的影响。这看起来似乎很奇怪,并且可能与相对论相抵触,但请记住,潜力不能直接衡量。只有电场\ textbf {e}通过其对电荷的影响可以衡量,从定义上讲,它不受量规选择的影响。

向量Helmholtz方程

我们选择的一系列特定实际兴趣是\ psi,使电势消失,因此:

\ textbf {e} = - \ frac {\ partial \ textbf {a}}} {\ partial t}

该规格仅对动态配方感兴趣,因为它在静态极限下恶化\ textbf {e}不明确的。它用于在所谓的矢量helmholtz方程中使用频域,电磁波接口RF模块频域,磁场接口AC/DC模块。在第一种情况下,因变量为\ textbf {e},而在第二种情况下,是\ textbf {a}。从数学角度来看,它没有任何显着差异,因为在频域中,应用时间谐波惯例\ textbf {e}(t,\ textbf {r})= re(\ textbf {e}(\ textbf {r})e^{j \ omega t})

\ textbf {e} = - j \ omega \ textbf {a}

因此\ textbf {e}\ textbf {a}仅与全球因素不同- J \ Omega

看着磁场接口,频域方程变为:

- \ \ omega^2 \ epsilon \ textbf {a} + j \ omega \ sigma \ sigma \ textbf {a} + \ nabla \ times \ times(\ frac {1} {\ mu} {\ mu} \ nabla \ nabla \ times \ times \ times \ textbf {a a})textbf {j} _e

在足够低的频率下,包含欧米茄的术语从数值意义上消失,配方与磁静态配方相同:

\ nabla \ times(\ frac {1} {\ mu} \ nabla \ times \ times \ textbf {a})= \ textbf {j} _e

然后用消失的仪表v有效丢失作为电动部件(与诱导的电场有关\ textbf {e} = - j \ omega \ textbf {a})在数值上变得微不足道。因此,修复了\ nabla \ cdot \ textbf {a}在数字上也变得微不足道\ textbf {a}不再是唯一确定的。

所有这些都可以看作是由于电磁耦合在静态极限内丢失的结果。电场需要单独的方程式(基于v,那不再消失)。

这意味着向量Helmholtz方程仅限于诱导的传导或位移电流密度在数值上显着的情况。

A-V公式

在低频率下,有利于使用解决方案的公式\ textbf {a}v,因为这允许潜力在静态限制中优雅地脱杯(具有单独但耦合方程式\ textbf {a}v)。价格是您必须采取明确的措施来处理随后的规格不确定性;也就是说,指定条件\ nabla \ cdot \ textbf {a}。这磁场AC/DC模块中的接口求解了这两个\ textbf {a}v

结论

到目前为止,当应用于麦克斯韦方程以及使用标量和向量电位以表示物理领域时,我们已经调查了Helmholtz定理的后果\ textbf {e},,,,\ textbf {d},,,,\ textbf {h}, 和\ textbf {b}。结论是:

  • 必须知道矢量场的卷发和差异是唯一确定的
  • \ textbf {e},,,,\ textbf {d},,,,\ textbf {h}, 和\ textbf {b}由麦克斯韦方程和材料法则独特地确定
  • 引入标量和向量电势\ textbf {a}v在麦克斯韦的方程式中是实用的,但是除非\ nabla \ cdot \ textbf {a}指定和一个参考级别v提供的电势并不是唯一确定的
  • 在上面的条件之间存在动态关系(量规)\ nabla \ cdot \ textbf {a}以及一致的定义v这使电场成为\ textbf {e},独立于选定的仪表
  • 潜力\ textbf {a}v两者都贡献了\ textbf {e},如此电压只能以线积分来衡量u = \ int_l {\ textbf {e} \ cdot} d \ textbf {l},这是依赖路径
  • 特定的仪表V = 0导致向量Helmholtz方程\ textbf {a}或者\ textbf {e}并且对于电磁波传播,诱导的涡流和其他效果的建模很有用,具有足够强的电磁耦合
    • 但是,它以低频数字分解,然后使用两者的公式\ textbf {a}v需要

在本博客系列的下一部分中,我们将讨论如何明确执行磁静态的特定规格以及在解决这两个方面时\ textbf {a}v在频域中。我们还将讨论电荷保护,即连续性方程是麦克斯韦方程中固有的,以及这如何将解决方案的存在限制为源电流是电磁阀的情况。后者事实证明是磁静态和低频电磁学中成功数值建模的关键元素。敬请关注!


评论(2)

发表评论
乐动体育app
加载...
伊克·罗德里格斯(Iker Rodriguez)
伊克·罗德里格斯(Iker Rodriguez)
2020年3月31日

精彩的解释,马格努斯!我渴望阅读有关此主题的下一个博客!

Showbox for pc">
托马斯·史密斯
托马斯·史密斯
2020年5月15日

我真的很喜欢你的博客。这对我帮助很大。整个细节都易于理解。
PC的Showbox

探索comsol乐动体育赛事播报博客