多物理环状体

结构力学变形分析

固体力学变形分析

变形分析对于所有固体力学问题的研究至关重要。

固体力学方程通常是通过在翻译，旋转和变形时跟踪一定数量的材料来制定的。这称为拉格朗日配方，而不是Eulerian配方通常在许多其他物理领域（例如流体流量分析）中采用。欧拉公式的基础围绕着固定在空间中的控制体积的通量围绕着磁通旋转。

在有限元分析的背景下，通常使用了拉格朗日公式的两种不同变体：

1. 在里面Lagrangian总数配方，方程基于身体的原始配置

2. 在里面更新的Lagrangian配方，方程是基于身体当前配置

这两个公式在数学上是等效的，因为可以通过许多转换的形式应用将一个配方转换为另一个。但是，在有限元配方的数值效率方面，配方具有不同的优点。

该理论的发展假定可以将固体物质视为连续体。长度尺度明显大于分子尺度，因此性质是均匀的，但从数学角度来看足够小，可以被视为无限的。

坐标系统和位移

让坐标表示材料粒子的原始位置。我们可以考虑作为在整个变形历史记录中坚持某个粒子的标签。该坐标系称为材料坐标系（或者材料框架）。

在特定时间，粒子已移至新位置，。为简单起见，让我们假设两组坐标都具有相同的来源和方向。该坐标在空间坐标系（或者空间框架）。空间坐标系固定在空间中，而材料坐标系固定在身体上。

从人体中的点的原始位置指向其新位置的向量是位移向量，。由于原始坐标是独立变量，因此这是一种拉格朗日公式。因此，位移提供了从材料到空间框架的转换，。

只要位移场不代表纯净的身体运动，材料的形状就会发生局部变化，称为菌株或者伸展。这些变化可能包括局部小域的体积或形状的变化。菌株会导致材料中的内力（压力）甚至可能失败。为了成功地描述材料行为，必须以独立于例如刚体运动的方式来描述失真。正如我们将在下面讨论的那样，我们可以通过几种方式来描述材料的过滤。

变形梯度

这变形梯度被定义为

在哪里是身份张量。以矩阵形式

变形梯度包含有关材料局部旋转和变形的完整信息。例如，它还显示了未经构造的身体中的小线段如何，旋转并伸展到变形主体中的线段，， 自从。第一列张量（当被视为矩阵时）给出了最初面向的线段的比例和方向X- 方向等。从数学上讲，是从至，因此它的决定因素，是局部体积量表因子。对于不可压缩的材料。

通过利用极性分解定理，其中指出任何二阶张量可以分解为纯旋转和对称张量的产物，可以将刚体旋转与变形分开：

这可以解释为由右拉伸张量，然后由纯旋转矩阵进行刚性旋转。因此，如果没有旋转，则右拉伸张量是变形梯度，因此解释与。

同样有可能将变形梯度分解为

首先执行刚体旋转，然后将旋转体积变形。变形由左拉伸张量。

两个拉伸张量通过纯旋转而相关。例如，。在这里，旋转矩阵的转置的事实也是它的倒数（） 用来。

在实践中计算极性分解在计算上是昂贵的，因此大多避免了它。但是，这个概念在理论上非常有用。

可以计算一个与旋转无关的变形度量的度量，而实际上不知道旋转矩阵：

这张量称为右cauchy绿色变形张量。

例如，在描述超弹性材料的本构特性时，通常会使用该张量。由于它仅由张量，它描述了旋转之前材料的变形。

相似地，

这张量称为左考克绿色变形张量。

两个都和与旋转无关，但它们描述了两个不同坐标系中的变形。这张量是一个材料张量，描述材料坐标系中的变形，而是一个空间张量，描述空间坐标系中的变形。

拉紧

从非正式的意义上讲，拉伸定义为当前长度和原始长度之间的比率，

因此，未经构造状态的伸展体为1。

在更一般的环境中，和张量是特别感兴趣的。三个特征值（（，，，，， 和） 被称为主要伸展。它们相应的特征向量给出了三个正交方向（在材料坐标系中）。如果研究了沿着这些方向边缘的小立方体，它将变形为立方体，但保持所有边缘之间的直角。边缘长度的变化由主拉伸给出。

因此，体积的变化可以写成主要伸展的产物：

计算更方便张量与主要方向相同，但是特征值是，，，，， 和。因此，通常使用主伸展而不是。

对于未变形的材料（仅刚体运动），。这个事实给出了为什么为什么在实践中，主要用于描述具有较大伸展的材料，例如橡胶。对于金属等材料，应变通常是至。如果将拉伸用作材料应变的量度，则使用0.99至1.01或什至0.9999至1.0001的伸展范围来描述变形。

左cauchy绿色变形张量作为特征值也有主要伸展。但是，主要方向是针对空间方向的，因为描述刚体旋转后的拉伸。

应变张量

为了获得基于零的变形度量，从中减去身份张量。这给了绿色 - 拉格朗日应变张量， 定义为

该张量还描述了任何旋转之前材料的变形，但所有组件在未变形的状态下为零。在组件形式上，可以写成

在重复索引上的求和的地方（爱因斯坦的总结公约） 假设。

绿色拉格朗日应变张量的对角线元件的一个例子是

而非对角元素的一个例子是

绿色 - 拉格朗日应变张量的特征值称为主菌株，具有与主拉伸相同的（材料框架）方向。

当菌株和刚体旋转都小时，绿色 - 拉格朗日应变张量中的二次术语就可以忽略。这导致了众所周知的工程应变张量，，，，

具有诸如

和

应变张量的对角线术语称为正常菌株或者直接应变。他们描述沿每个坐标轴的延伸。非对角线项是应变张量的剪切成分，并描述了线段之间的角度的变化。这里的术语存在混乱的风险，因为在工程学中，将“剪切应变”的名称分配给数量是习惯的。这是因为直接测量角度的变化（弧度）。

剪切应变给出等距形变;也就是说，变形没有音量变化。对于小菌株，相对体积的变化由直接应变的总和给出：

改变观点

如果我们将变形的形状作为分析的起点，则可以执行该理论的类似发展。这里不会详细介绍，但是这些步骤是类似的。原始位置和位移被视为当前位置的函数，，因此所有衍生物均相对于空间坐标。当前长度的线段具有其起源于行段，可以使用。

这Almansi菌株张量被定义为

写出组件时，

请注意，现在根据空间坐标采取衍生物。

真正的压力

有时该术语真正的压力用来。在真正应变的单轴定义中，应变增量被定义为

真正应变的定义基于当前长度，因此在集成之后，

这就是为什么真正的压力也称为对数应变。对3D的概括称为赫奇菌株张量

应变度量的比较

如果最初长度扩展（或压缩）距离，那么在轴向方向上应变的不同应变度量如下。

工程压力：

拉紧：

绿色拉格朗日菌株：

Almansi菌株：

真正的压力：

在下图中，我们可以看到所有应变度量的重合大约±10％，但是在较高的菌株下，存在显着差异。工程应变和拉伸都与变形成正比，仅因垂直移动而有所不同。

菌株的兼容性

由于应变张量由位移的衍生物组成，因此并非所有应变场均可接受。位移矢量只有三个组件，因此各种应变成分的集成不能给出一套独特的位移兼容标准。对于工程菌株，必须实现以下方程式：

由于应变张量的对称性，这81个方程中只有6个是不平凡的。这些是

应变的速度梯度和时间导数

与变形梯度相关的也是速度梯度。它被定义为速度矢量的空间梯度，

速度梯度可以分解为对称和反对称部件，称为应变率张量和自旋张量， 分别：

速度梯度与变形梯度的时间导数具有重要关系：

使用此结果，绿色拉格朗日应变的时间导数也可以在速度梯度中表达

最后一个身份是由于应变张量的对称性。

变形分析示例：刚体旋转

考虑刚性旋转的角度在里面xy-飞机：

如果假定坐标系的原点位于左下角，则某个点的新位置（X，，，，y）可以作为原始坐标的函数编写（X，，，，y） 作为

然后是位移

然后可以根据其定义计算变形梯度，给出

因此，正确的Cauchy-Green Tensor是

同样，左cauchy-green张量是。从定义来看，很明显，绿色 - 拉格朗日和almansi菌株张量相同。同样，由于所有主拉伸都有一个值1，因此Hencky应变张量为零。

但是，工程应变张量包含以下值

对于小角度，系列扩展给出

乍一看，这看起来像是一个小错误。但是，在较小的数值下，菌株已经很重要。在金属中，通常以0.01％的菌株的菌株发生实质性应力。这意味着即使在1°刚体旋转下，使用工程应变张量也会导致重大误差。

变形分析示例：大剪切

正方形用一个角度剪切如下图所示，进入菱形。没有平面外变形。

从材料到空间框架的映射为（z是平面外的方向）：

表达方式是剪切量，给出以下位移字段

然后将变形梯度为

我们立即看到，使变形保持体积保存。这也与上图的期望相匹配，因为原始正方形已变形为同一区域的菱形。

右cauchy绿色拉伸张量和绿色拉格朗日应变张量是

和

分别。

可以解释绿色 - 拉格朗日应变张量的对角线元素。最初沿着X- 轴尚未扩展，而沿y- 轴已被拉伸。但是，该纤维的新长度不能直接从应变张量中提取。

对于小角度，和，检索了用于纯剪切的工程应变张量：

极地分解可以通过一些努力来计算。环境， 然后

和

在哪里。

主要伸展，这是，通常按降序排序。他们是

第二个主要伸展，因为没有平面外拉伸。

右拉伸张量的特征向量是主要拉伸轴。在此示例中，它们可以表示为

，，，，， 和

为了进一步研究问题，剪切角设置为。然后，，，，，， 和。变形梯度变为

旋转的刚性部分，，可以从旋转矩阵数字上找到，因为。

主要伸展

第一个主拉伸轴的方向与水平轴相距58.3°。

在下图中，变形分解为纯伸展和纯旋转。蓝色正方形是定向的，使其与主要拉伸方向匹配；它旋转58.3°。我们可以看到它假定纯矩形形状，并且在分解位移的拉伸部分期间的方向不会变化。

发布：2018年4月19日
最后修改：2021年3月11日