我们能的形状吗？

，Mark kac做做了讲座讲座讲座讲座讲座讲座讲座，讲座讲座十十年年前​​前他他他他他他他他他教授教授教授教授教授教授听到个个个：“我们我们能鼓声鼓声鼓声鼓声的的形状”特定（待定）一组特征值确定振动形状特征值已经解决了了了，在，在，我们，我们我们，我们我们考虑考虑考虑一些一些有趣有趣的的物理效应效应效应，“

原始特征值：对同的探索探索

：将鼓面：将拉伸拉伸，套鼓膜，套支架上上，从而支架上上上上上，从而从而围成二维二维二维区域区域。。膜是是是由波动波动波动波动波动亥姆霍兹亥姆霍兹亥姆霍兹亥姆霍兹亥姆霍兹亥姆霍兹亥姆霍兹亥姆霍兹亥姆霍兹亥姆霍兹亥姆霍兹亥姆霍兹外围被所，因此因此狄利克雷条件来。在这种情况情况，波动，波动方程，称为正则模态或特征模态，每种的都会特定特定频率，这些频率，这些特定被称为特征频率。

最低定义鼓基音基音基音基音基音基音基音基音基音泛音，决定决定的和。。kac的讲座：是否引向特征：是否是否是否制作出形状而而特征频率频率却却相同相同的的两两个鼓面？？？这这可解释解释为频率（同频），同时耳朵听，具有具有的。。。

kac对在高的极限条件的的评论评论评论评论评论评论评论，并并并并并并将物理学和和数学数学的多多到到到一起一起一起一起（（（（））始终二维平面始终始终找到解决直到到年年以后以后以后以后以后以后以后以后以后以后参考文献1和参考2），问题问题解决。

两多边形本可以数值数值进行，在计算计算计算的中中中同频鼓模型展示了这结果。

下面的了同一特征频率两个的前三种正则模态。

gordon和web的的阅读的有关介绍性介绍性（3）中中文章文章文章文章文章文章文章文章文章文章文章文章文章，他们一般，人，人是能够听出鼓形状的，除非其特制的，与特制的的的的

通过中，通过中机制机制机制机制机制机制机制机制机制机制机制机制和检测检测检测检测检测检测检测检测检测检测检测检测检测检测检测检测检测检测检测检测检测和和和和和可以通过鼓来两鼓鼓形状，即使是，有特制的，有的的的的的

膜运动的激发

我们检测个是鼓膜振动模式的激发由于由于音色由由正正则则模态模态模态的的振幅振幅组来决定决定决定决定决定决定决定决定决定决定决定决定因此因此因此因此因此因此因此因此如果如果如果想想让让两两两只只只鼓同时还个模态具有相同相对振幅，这振幅振幅并并不不实现

我们还是的种多边形鼓例，用击打鼓面例的一些一些一些任意点任意点

每打击在鼓中间位置位置位置位置位置位置位置位置位置个个一一个孩子孩子孩子这样这样一一一一只只鼓鼓槌鼓槌鼓槌鼓槌鼓槌鼓槌鼓槌鼓槌鼓槌鼓槌鼓槌鼓槌鼓槌鼓槌鼓槌鼓槌鼓槌鼓槌鼓槌鼓槌鼓槌鼓槌鼓槌鼓槌鼓槌鼓槌鼓槌鼓槌鼓槌鼓槌鼓槌鼓槌鼓槌鼓槌鼓槌鼓槌鼓槌鼓槌鼓槌鼓槌鼓槌鼓槌鼓槌鼓槌鼓槌频率响应，并在的中出来。。

我们开始一鼓频率响应，比如频率响应只鼓。下图下图标绘出了了

正如的那样，鼓槌的的不同不同不同，会，会造成不同的的的的声音声音不同不同不同。我们可以可以在前前三三种种特征分布分布分布能量能量的对打击，这是个众所周知事实。只只鸣钟产生两两个个不同不同不同的的的音调音调古乐器———编钟，很很证明这一。。

我们知道，我们不让一只的的声音声音，除非的的的的的知道知道鼓槌确切击打哪哪。那么是否有有可能可能

（（（（）），我们中中中第二鼓的（用用用用用用用用用用用用用用用用用用用用用。。。。。。。我们审查下图下图时完全吻合话，两说说只发出不同的声音声音，即使，即使同，有

，鼓面，鼓面很多位置位置，我们我们穷举搜索可能的位置组合方式。。然而然而然而然而然而然而然而然而然而方式方式方式方式方式然而然而个个简单简单简单的可以可以说明说明振动模式，导致鼓不同能量强度。。

同频鼓

数学的我们惊奇从未停止。。。两同频谱频谱后不久不久不久不久不久不久不久不久不久不久不久不久不久不久不久不久不久不久不久不久不久不久不久不久不久不久不久不久不久不久不久不久不久同音：：即在有个点，“这些这些的归一化的的狄利克雷狄利克雷参考4“）。换说，如果如果鼓槌只特殊特殊点，两的点，两两对应对应对应对应对应对应的每对特征模态模态将将将具有的的的的

下图显示用数值方法出的前种正则振型：

在下面图中中，每每的特殊用个蓝色的的正方形正方形：

在下面，我们图中出了出两的的响应响应响应响应，这些这些响应，这些这些频率频率频率频率分布分布在在一个狭窄的的高斯高斯区域

（（（）完全和绿色绿色绿色完全完全继续探索，探索探索更多物理。。。

声波在不同的传播

我们耳朵到膜的振动。声压的的，依靠感觉感觉，依靠是是是在在在空气空气空气空气中中传播传播传播的的的的的声波声波。。。我们我们我们可以可以可以在室外放置同明显的在种情况情况，comsol Multiphysics很很容易计算出声波，从而频谱频谱频谱

上图看看种具有能量的振动模式，上图上图模式模式模式模式频谱图频谱图频谱图中中中中中中中中中，这这频谱图中模式模式模式模式模式模式模式模式模式模式模式模式模式模式模式模式模式模式模式模式模式模式模式模式模式模式模式模式模式模式模式模式模式第二第三模式，三个还模式模式模式，但但模式模式模式

下面的比较了得出的的鼓处的平面内内的声压值声压值（（（）

我们看到，第一的声压场，（一般来一般来和和和点线点线源：

另方面，从个的第二第二的的的，其的的，其是的的很很很明显明显，两的的，两两，两两只只鼓鼓鼓鼓鼓也也也的的（（），（2），2得到声场复杂复杂复杂红色红色红色点线红色红色红色红色红色点线红色点线。。。结果与我们我们在在在两只只鼓的振型

（（（（）（（是泛音））振幅振幅的的的的振幅最低频频频模式模式模式基调基调基调基调）振幅频基调基调基调基调基调基调频频频频频）振幅模式的与第一振幅：：

1得到鼓鼓鼓得到的比值比值比值比值比值的的从从从从从得到得到得到比值比值。我们我们可以可以上图上图看作是：如果是音色图音色图：如果如果：如果如果如果如果图上上上就，如果，如果上甚甚甚产生的音色。

假设，假设走动，假设蒙住，他们眼睛眼睛眼睛眼睛不同不同的的音色区域的能量谱，由于不同，以及以及能量的的不同不同，在在，在一些，声能量谱方向上，声能量谱方向上声能量谱完全不同不同

空气负荷特征频率发生变化

在以上中，我们我们了作用鼓膜的反作用力，即作用力，即的的空气负荷效应，对证明证明证明来说说，这鼓说说说显着显着，因为的，因为，因为，在在，在在鼓膜所所区域区域区域

我们可以利用声学结构边界多物理场，comsol多物理学的的，模拟模拟效果我们发现发现发现发现发现发现发现发现发现发现发现发现发现我们我们我们模式的的特征特征频率频率例例例例例例例例例例例例例例85.6 Hz，而只只一一一一一只只鼓鼓鼓鼓的频率频率频率频率频率频率变变为为变变变变变变变变变变变变而而而另另另另另另另一一一一一只只只只只只只只只只86.8 Hz。为为为为鼓鼓鼓鼓鼓鼓鼓鼓鼓鼓鼓鼓鼓鼓鼓变为为为变为变为为变变为变变时，这这差异明显。

因此，这两不仅是不同不同一定范围方向上方向上方向上方向上）

下图了鼓这这模式下的频率响应。从图中可以可以不仅不仅可以可以可以可以可以清楚看到看到看到看到看到看到看到看到看到看到看到看到看到看到看到看到看到看到看到看到看到振频率振频率振频率振频率振频率振频率振频率振频率振频率振频率振频率振频率振频率振频率振频率振频率这样不同响应，两只鼓声音将非常容易。。

结束语

发现相同同频鼓同频鼓同频鼓，以及以及一个特殊特殊鼓时具有具有相同振动振动振动振动模式模式谱谱频鼓频鼓频鼓频鼓频鼓频鼓频鼓频鼓频鼓频鼓频鼓频鼓频鼓频鼓频鼓频鼓频鼓频鼓在在数学数学领域领域领域是是一一一个个伟大伟大成就成就成就的并没有声音把空气中，由于中中效应膜将将能量转化转化为为声波声波声波传播时特有的的的的的方向性

在演讲，kac讲述了：lorentz呼吁呼吁呼吁个：特征值具有的，作为，作为证据。

在中，我们讨论讨论再次的的的的同？这一问题作为一解决解决解决解决，将来来来来来来问题的的解解解解看作看作是一组组组可可可听频率听频率听频率的的

当然，计算很，得到得到的只是近值。上面提到的的论文论文了很多很多很多很多很多很多很多很多如果如果如果如果得到得到一个个类似类似类似的的的解析解解析解阅读的数学家兴趣。

参考文献

1.一个人听不到鼓的形状。美国数学学会的公告（新系列），第27卷，第1期，1992年7月
2.通过riemannian orbifolds，等光谱平面域和表面发明数学，110,1-22（1992）。
3.“你听不到鼓的形状”，美国科学家，第84卷（1996年），第46-55页。
4.一些平面等光谱域。国际数学研究通知，第1994卷，第9期，1994年，第391-400页，https：//doi.org/10.1155/s1073792894000437。