弱形式方程离散化

本博客是弱公式化博客的后续部分。在之前的博客，comsol多物理学软件软件并一形式方程方程方程方程方程方程，并并一些的的物理验证了了今天今天今天我们将了解了解方程方程方程方程

简单示例

请回想稳态无的一，其中，其中温度热示例热示例温度t是定义在区间1 \ le x \ le 5求解域中关于位置X的函数。条件：左边界（x = 1）处向为为2，右边界（x = 5）温度9，弱弱：：

（1）

现在尝试对方程数值求解。

基础函数

如要数值解方程（1），首先首先域域1 \ le x \ le 5平均分成个子区间或网格单元，通过五个节点x = 1，2，\ cdots，5隔开。可以定义一或或形函数，\ psi_ {1l}（x），\ psi_ {1r}（x），\ psi_ {2l}（x），\ psi_ {2r}（x）（x），\ cdots，\ psi_ {4r}（x）（x），如下图示，每个单元两个个，分别个，分别分别。

例如，在在单元（1 \ le x \ le 2）中，有如下关系

（2）

我们观察一网格单元中的都是范围范围从从从从从从从从从从从从从从从从的的简单线线线

注意：comsol支持支持多组成的，而的形函数是是。此处选择线性形函数是为了视觉视觉上上

使用一形函数，我们我们通过简单线性组合来似似似1 \ le x \ le 5域内：：

（3）

其中a_ {1l}，a_ {1r}，a_ {2l}，a_ {2r}，\ cdots为对应个形状的常系数。中黑色黑色表示表示任意函数u（x）。蓝绿色曲线由形函数（3）叠加的近似值方程方程（3）右侧的一都相同的颜色线条样式表示。

（（（））在蓝绿色蓝绿色蓝绿色蓝绿色蓝绿色蓝绿色蓝绿色在单元的边界处可以不不连续连续连续。。在实际实际下下下，大多数大多数的形函数是是拉格朗日单元，其其受约束的的的的的的的的网格单元的边界处处得到得到得到连续解连续解连续解示例中中中中中中中中中中中

其中蓝绿色由于每个网格边界处的：a_ {1r} = a_ {2l}，a_ {2r} = a_ {3l}，a_ {3r} = a__ {4l}。简便起见，我们重命名：：

我们看到为表达式（3）中连续性，要求要求形函数对系数。可通过通过这些这些形函数对组合组合一组组的ϕ1（x），ϕ2（x），⋯，ϕ5（x）进行简化，并使个受限于：

（4）

示示示示所个的的都呈，以一一一节点为为为为为中心的分段线分段线分段线性函数性函数。。其其在在在节点节点节点附近附近网格网格网格单元单元单元内内内内内内为内为为为为为为为为为为为为为为为为为为为为为为为为为为为为为为为为为为为为为为为为为为为为为为为为为为为为为为为为为为为为为为为为为为为为为为为为为为为为为为为

选择讨论，选择讨论的后后后，我们后，我们解限制限制限制限制为为在在相邻网格网格单元边界处边界处连续。。大多数物理系统都都限制限制连续性

现在结合组的基函数，近似近似表达式表达式（3）被简化为

（5）

下图，任意函数，任意函数u（x）由黑色。青色表示由叠加基函数的的近似。方程（5）右侧的项都如上图相同颜色线条线条样式表示。

题外话，如果曲线某些的精确解，那么的的的的的并不并不是是，这好好好好好好A_1，A_2，\ CDOTS依赖于精确解，除非受已的值的的的A_5（（）。。蓝绿色曲线之间的的解的离散误差。在二二维和维和三维三维模型模型中中也也会会存在存在存在几何几何几何几何几何的的的的的的离散离散离散离散离散误差误差误差线性静态的网格剖分事项事项“”博客讨论两误差。由于此类潜在，“执行网格细化研究”以确保结果准确将十分必要。

我们注意到方程（5）（（（（）（曲线曲线曲线曲线曲线中中中中一阶即可轻松数值解博客中中中中中中中中中中中博客博客博客博客博客博客博客博客将将讨论讨论讨论一一个材料属性连续性连续性连续性连续性示例

两步离散弱方程

结合上述基函数组，我们我们通过步弱形式方程方程（1）进行离散，温度，温度函数t（x）可由方程（5）中相同利用基函数组似：

（6）

其中A_1，A_2，\ CDOTS，A_5是待定的系数。

将t（x）的表达式（6）代入弱形式方程（1）可：：

（7）

其中，对于对于边界x = 5处的温度T_2，可使用表达式（6）及基函数计算，得到项项项a_5 \ phi_5（x = 5）= a_5，对t（x = 5）产生贡献。

我们看到弱方程（7）的离散有项：五：五系数系数系数A_1，A_2，\ CDOTS，A_5以及右边界通量\ lambda_2。习惯将未知数称为自由度（（我们可以，（（）问题问题问题问题问题问题包含包含六

要求解未知数，我们我们六方程这进入进入离散化的回忆回忆回忆回忆回忆第一篇博客中对，它的功能在于在于局部采样对对域内内每一一处的的解解进行限制限制。。现在现在现在我们我们已经有\ phi_1，\ cdots，\ phi_5，所以所以可其方程方程（7）中的试函数\ tilde {t}得到所的六个。。

下表展示将六方程的六个：

\ tilde {t}（x）	\ tilde {\ lambda} _2
\ phi_1（x）	0
\ phi_2（x）	0
\ phi_3（x）	0
\ phi_4（x）	0
\ phi_5（x）	0
0	1

因为每基函数为局部，每每代入代入得到包含较少少的的方程。例如例如次次

注意到\ phi_1只对其和\ phi_2存在显着。只左侧的前项非零。而且\ phi_1受限于边界（x = 1），所以右侧剩下项。：：

（8）

我们已左侧的：：

并在右侧使用\ phi_1的：：\ phi_1（x = 1）= 1。

类似地，剩下剩下次将产生：

（9）

我们现在六未知数知数六个方程方程，可以可以直接验证验证出解出解出解与与之前之前博客博客博客中中中使用使用使用使用使用使用使用使用使用使用使用使用使用使用使用使用使用使用使用使用使用使用使用使用使用使用使用A_5 = 9，使用温度表达式（6）得到其右边界：：

9的为为的的边界条件同样可以发现正是与试函数\ tilde {\ lambda} _2相关的推出了（0 = A_5 -9），与与。

矩阵表示

可以简便离散方程组（我们的示例由由由（8）和（9）（（（（））

（10）

当将用结构力学应用，左侧应用时时矩阵通常被称作刚度矩阵，右侧右侧矢量被称为载荷矢量。

我们注意方程两个很有。。。稀疏（）。。中的网格会远多于示例的网格单元单元单元单元单元单元单元单元单元单元单元网格网格网格网格网格网格网格网格我们我们可以可以可以可以预见预见到到到到矩阵中中中的的的的大部分单元单元单元都都都都都都都是是是是是是是是是是是是是是都是是一高效方程系统数值求解。。

其次，拉格朗日拉格朗日\ lambda_2只出现个方程（矩阵的列有一个个非零单）A_1，A_2，\ CDOTS，A_5。因此，我们可以使用个来求解求解A_1，A_2，\ CDOTS，A_5，而无需求解\ lambda_2。在之前的博客中也过过，总体来说，可以可以不求解拉格朗日以得到更。。。。。。

总结和形式系列的主题主题

今天，我们我们简单中对进行离散的基本过程。我们在两个步骤中用到到了

1. 以它们基准来近似真实解
2. 逐个它们入弱形式得到离散方程组系统

最终得到矩阵方程，可可电脑其快速。。

在之前中中，comsol多物理学执行执行方程时，离散化时时，离散化在软件软件软件，无需完成，无需，无需操作，我们，我们接下来，我们弱解型偏微分方程接口检查刚度载荷矢量，以及以及需要解拉格朗日。。