借助拓扑找出结构的设计设计

想想第一的建筑师们，他们建筑师们建筑师们肯定了许多次的失败失败失败失败失败失败，才才和，才才做出做出做出做出了了了了了了能能让让让人们安全安全安全通过通过水面水面。。。。。和优化极地简化这一。的优化优化之前，让之前之前之前之前之前之前

简支梁示例

在梁示例，梁梁示例，梁安装辊辊支撑支撑尺寸关系，我们选择平面应力公式：x = 3m处处一个。。。。。。

带有载荷约束的梁几何。

通过正确优化找出结构的最设计设计

在中，我们的能在材料梁刚度之间个个个佳的的的折中折中。为此此此此此此此我们我们将到找出优的设计矢量\α，以便以便小目标函数f（\ alpha）。从来看，这这表示为为\ displaystyle \ min _ {\ alpha} f（\ alpha）。

对设计的决定求解优化问题：：

• 如果\α（（（），这控制长度高度高度高度高度），这这就个个个参数化优化问题。
• 如果\α控制了的曲线，这这是是是形状优化问题。
• 如果\α是确定某为空心或的的，则是函数函数的拓扑优化问题。

拓扑适合对确定结构进行进行最一一方面方面方面方面方面方面方面方面方面方面方面方面一一一的的灵活性灵活性灵活性灵活性灵活性灵活性要其他其他其他其他方法方法方法方法方法，拓扑拓扑在阶段，方便阶段阶段。。。

实际操作，我们我们人为一密度函数函数\ rho_ {design}（x），几何几何点处x = \ lbrace x，y \ rbrace的值介于于于之间之间中中中中

其中E_0是真实模量因此，，\ rho_ {design}= 0对应于部分，\ rho_ {design}= 1对应于部分。

如述，根据函数，我们我们最大刚度问题问题中中中，最大在问题，最大最大问题问题问题问题等同于同于最最小化柔度。。从从的来来后者的：：

因此我们拓扑优化可以：：

在comsol多物理学中中进行优化优化

既然已经优化问题问题问题，comsol多物理学中中设定。本篇博客博客将不会会展开介绍介绍介绍仿真仿真仿真中中的固体力学部分结构力学模块模型可以帮助理解在在在中中固体力学。。。。

增加优化物理场后，就就求解域中个个控制变量场。当对\ rho_ {design}进行首时时，我们可以一常数阶次阶次，意思，意思\ rho_ {design}在所有单元中值保持唯一。

这一后，可以可以结构力定义个新杨氏，例如，例如e（x）= \ rho_ {design} e_0。

如前所，对目标函数整个内积分在在优化接口选择积分目标。弹性能密度即变量变量固体。因此，目标目标轻松为为\ int_ \ omega ws \ d \ omega。

我们今天重点非优化的实际基本上基本上，优化。基本上基本上基本上基本上基本上基本上基本上会会会从从从初始初始初始猜测值猜测值，然后

如果运行问题，将得到如下。。

初始测试结果。

仅仅为了的目标，该结果意义大大，因为因为大大显示显示

经过初始后，我们出，如如通过优化来项项设计设计设计，应应项，应应应使用使用使用质量质量约束。当当当将将将将约束约束约束约束约束约束约束约束设设设设设50％时

在comsol Multiphysics中，可以可以增加积分不等式约束引入质量。，，\ rho_ {design}的初需要为0.5，以便以便初始态满足这一。。。

下方动画了一新的优化结果。

增加质量后的结果。

虽然这结果好一些，但但一些：\ rho_ {design}中很多为中值。而言言，我们言，我们只需了解了解指定\ rho_ {design}内的值值1，0，应对应对罚。为此此

事实上，将p取值在在在到之间。例如，p = 5且\ rho_ {design}= 0.5，罚杨氏罚杨氏为为0.03125 E_0。同时，对质量的贡献为为为因此因此因此

使用新罚杨氏模量，我们得到：：

使用新罚杨氏模量得到。。

我们新设计成形了但但该为一个有问题的的棋盘式棋盘式棋盘式\ rho_ {design}在空间变化为了计算变化的的变化的的的的的是在整个整个域中求它：

一个问题：我们我们才能小化小化小化小化\ rho_ {design}的变化以及应变能？

还目标目标函数WS0去，即，即\ rho_ {design}为常数总。对于正则，我们正则化项化项取比例因子因子\ frac {h_0 h_ {max}} {a}，其中h_ {max}是最大网格，H_0是解预期，，一个是设计的。我们最终优化问题现在可以：

其中问因子控制正则化权重。

最后，需要需要\ rho_ {design}Lagrange线性线性线性，以便元元元。。。

通过求解得到结果能帮助我们梁的最优结构。

正则化结果。

在生活中，我们可以不同类设计设计设计，如设计设计设计

华伦桁架桥公领域，通过，通过Wikimedia Commons分享。

在水面设计一座桥

我们方法方法方法该区域模量没有罚函数化。

拱桥的设计。

经过次后，我们可以得到一的设计设计设计设计设计设计设计设计设计设计拱桥拱桥一个个个令令人的设计。。结果结果可以帮助建筑师

拱桥的拓扑结果。

虽然无法优化得出的设计方案，但设计设计的结果结果可以帮帮设计师设计师设计设计出出的桥梁桥梁设计设计。。。下方下方的

巴约纳大桥公开图片，通过，通过Wikimedia Commons分享。

一，您重要重要重要按照同样的将方法于三维三维案例。。。对于对于类似的问题问题问题问题问题问题问题问题问题

上承式拱桥拱桥三维拓扑优化。

结束语

博客介绍结构分析中使用拓扑的基础知识。如如您希望自己自己操作这这这一方法MBB梁的优化教程。

虽然拓优化最初针对设计设计开发，但但方法同样可以用用用用于于于于于于于于于于于于于于于最小中的流速教程就为提供一个流动优化。。

参考文献

1. M.P.本汇。
2. 拓扑优化：理论，方法和应用，由M.P.Bendsøe和O. Sigmund。