离子膜电化学电化学领域。。聚合物解质和钒液钒液流电池电池中中中中中中中中中电池流流流电池电池电池中中中中传导传导离子离子离子离子离子离子离子离子离子促进正或离子通过的能力用于从去去除水水。。在本本本篇篇博客文章文章文章文章中中中中文章中
Nernst-Planck-Poisson方程
交换材料进行建模建模，这建模建模介质介质由组成组成组成组成，其中其中基质组成，其中其中的孔隙孔隙孔隙孔隙孔隙孔隙充满充满充满充满充满水水水和额外额外的的移动移动移动离子离子。。对于人说，这听是错误错误种看起来透明透明透明，
离子交换关键是固定在主链位于内孔壁上上固定固定离子。。。在在在在在在在\ mathrm
{所以}
_3^ -，位于位于延伸聚合物尾部的末端正我们我们下面讨论讨论中看到看到的的的的的的的的离子离子离子离子交换膜中固定固定电荷的浓度。
泊松方程根据将电荷的总和与相关联相关联
（1）
其中，，\ phi_l是电解质相电位，，\ Epsilon是介电，，\ rho是空间电荷。
在本，我们可以将电荷移动和固定离子离子
（2）
{使固定}
上式，，F是法第常数；z_i是电荷；C_I是移动的，其中，其中一世是物质，并对所有n个离子求和；\ rho_ \ textrm {fix}是基质固定离子的。。
在离子外自由电解质，固定中中，因此，因此，因此\ rho_ \ textrm {fix} = 0。
为了模拟传输，我们我们将离子的电化学电位定义为
（3）
其中，，r是摩尔常数，，t是，，c_ {i，\ textrm {ref}}（（（（（））参考参考。。
（（（（（每）），每即即即水分子作用作用作用）
（4）
其中，，\ mathrm {mob} _i是迁移率。
固定。请注意注意，由于注意注意，我们效应效应效应
如果你习惯于用菲克定律扩散，同样值得一提，迁移率迁移率扩散系数是通过通过通过通过通过通过通过
（5）
由于没有没有消耗，假设为，因此，因此离子通量的散度。。
（6）
方程（1）和方程6（6）（（（（一））通常通常通常通常被称为称为称为称为称为称为称为称为称为称为称为称为（
用npp方程模拟离子交换膜
npp方程方程一个问题问题，研究的的改变膜中固定固定离子离子的的浓度浓度浓度时，离子
作为一问题问题，100μm厚膜，它它的的两个长度长度相同的自由自由包围包围包围包围，并质域包围包围包围+，b-c-（）的一膜膜，其中湍流确保混合效果，这样，这样，我们我们可以假设假设膜各各侧边界层外的的的浓度见图见图见图见图。。。。。。。。。。。。
1. 1.用用的析槽示意图。离子交换位于每个流体室之间之间。膜膜的的固定固定固定的的符号交替交替交替变化变化变化变化变化变化变化
2. 2.几何结构和条件。。
在，我们，我们设置\ phi_l= 0 v，C_A= 0.1 m、C_B= 0.1 m、C_C=0。在边界，我们设置设置\ phi_l= 0.1 V，C_A= 0.1 m、C_B= 0 m，C_C= 0.1m。。所有迁移率相同相同相同
正看到的的，当增加时时时，使用使用膜时时时时电荷电荷电荷电荷方程组方程组方程组离子离子交换膜膜会会会因因因变量变量的的梯度。。因此因此因此因此逐步升至升至使用使用使用软件软件中扫描扫描来来来问题问题。。
3显示显示离子浓度从从从从从从从从从从时变化变化，通过通过每个个离子摩尔摩尔通量从从从从右右右右右右+（向（符号负负）。
b-c-浓度的决定了这些的整体通量通量方向，但但电场的的的方向-以较的向右侧传输传输，c c-以较速率向左侧。当膜电荷时时-的通量（仔细可发现-（（（））；也就是，增加-c-在膜的阻塞力变大。的的，阻塞是是，阻塞只是。。
3. 3.当膜中离子的，npp模型模型移动离子穿过的通量通量。。。。
4中绘制的的问题的浓度图揭示阻塞效应中的关键部分。。+的浓度周围自由解质的的+浓度，而b-c-的浓度抑制。回到方程（4）中的定义，我们看到b-c-的低对通量负面影响；低会会阻塞阻塞。
图4. npp模型中移动的摩尔浓度。。
为什么在解质和交换膜之间上的梯度陡的的下下下，膜+增多b-c-却减少？找到答案答案，我们回头看方程方程方程（1）。观察方程，注意，介电介电通常为10-12f/m（f/m），我们，我们看到，除非看到被在中一非常非常小的区域区域，否则区域区域区域偏离偏离偏离零零的的净净空间电荷电荷对电位电位电位电位电荷通常靠近相边界的非常区域内内，例如解质内内内内内，或者电极界面，或者，或者或者解质，或者或者本本本或者或者或者或者内内内内内内内内内内内内内内内内内内内内内内内电中性）对于对于边界的任何解质溶液通常非常好的近似。+是我们唯一的离子离子，加上，a，a+的浓度到离子交换域中负离子的电荷相匹配。
5显示npp模型模型的电位电位图与与图4中浓度，我们变化离子交换交换电解的边界上上看到了了显着显着的电位变化。由于由于通过通过槽槽的的的6（6）），因此需要的平衡浓度的大梯度由于-c-的符号+相反，因此b-c-的浓度膜中受到。。
图5. npp模型模型电解质相电位。。
在图45中中，相的电位梯度：在中：在中，它们中，它们显示，由于为图45会会显示区域的厚度厚度为为为为为，因此，因此，通常通常需要需要亚纳米级的的网格网格来来来解析梯度解析梯度。本本例例中中使用使用的的的的网格由由由由由由由由由由由大约大约大约大约大约大约大约大约通常问题，在。然而时时时时时时时时时下建模网格的要求要求可能可能会会导致问题问题。有没没没有有方法方法来
唐南电位和电中性简介
答案是的，我们我们方程方程（3）中电化学的定义。图图图图中绘制+（（（）表明参考浓度浓度参考表明表明表明表明表明表明表明表明的的-c-（的也出平滑平滑曲线曲线）
图6. npp模型中+的电化学电位。
假设过渡的一的相同相同相同，这样这样可根据根据下面的公式推导出界面每每一侧的的离子离子离子浓度关系
其中，我们我们指数指数你和d来定义边界每侧的值。
这种电位称为唐南电位为电位个移动离子提供了了一构构关系要求要求要求离子离子通量通量和和和和中性中性条件条件的连续性连续性（（（（（- 自由自由边界的电位一一套内部条件。这里需要强调的的的从左边边界时变量值变量值（这这comsolMultiphysics®中中为狭缝（（）。
执行此，我们我们可以通过位置是电中性来（（（（1））的，并并物质总和各自电荷的乘积来推导出方程方程方程方程方程
（为起，我们我们将总和与F相乘，得到一单位为2的表达式即电流。这样这样这样这样这样这样这样这样这样可以可以这个这个单位单位来来。）
如此一来，浓度变量数量少了了个。新方程组方程组，我们，我们n-1个变量电位，记住，记住记住可以根据浓度电中性n个浓度。
通过在使用中性条件并唐南唐南，可以电位电位电位电位电位电位电位电位少少得得多多的的网格单元单元来求解求解求解转化转化转化转化后后后图4相同浓度，显示显示使用使用个个单元结果可以可以看到图4（（）外，外，结果，结果相同的降低求解精度。
7. 7.使用唐南条件和中性时时浓度。。
进一步提高模型收敛性
实际上，模型问题可以简化：我们我们假设交换膜阻挡除+以外的离子在这种情况下-c-的浓度为0，由于，a，a+的浓度，由固定给因此因此因此+的浓度，唯一唯一域方程简化拉普拉斯方程方程
从中我们到，由于，可以，可以得到
恒定电电导率可以通过计算计算
尽管方程对个移动的简化，但简化简化简化简化简化是是是是是是，对于，对于单离子，如导体，如导体，如导体，如如如如简化简化简化简化简化简化简化简化简化简化简化的的，如如单离子是是是简化简化是是是解析。
comsol®软件软件软件软件电化学接口使用的元边界元元元方法求解求解求解。除了除了进一步进一步降低求解器的的自由度自由度和和相应的的内存外于求收敛例如，不再需要述那样那样，在的那样那样那样那样
8分别分别对比了（（使用中性唐南条件时的的的相同）+浓度和对于的示例，完全问题问题问题与原始模型。。
8. 8.假设为阻塞膜的情况，npp模型模型简化的+（（（（））和电位右）比较
ComsolMultiphysics®中中离子建模建模建模
三次电流分布接口中的离子交换膜域可根据电荷守恒的选择正确的。中性中性中性下下下离子交换膜边界点，可用于不同的接口的边界设置。。
为了建立npp模型，我们我们使用使用三次电流分布接口的实例，其中其中守恒为为为泊松。然后我们用电解质域来自由解，用，用离子交换膜节点来定义。
为了基于条件模型，我们模型模型内容继续继续操作电中性，此操作自动唐南应用到。。。
完全阻塞膜更多的步骤。。由于的浓度浓度浓度变量在膜的的每每每一一一侧侧侧侧侧进行进行进行进行进行进行a+ a+ a+ b- a+ a+是个独立（电荷守恒为为电中性）。。可以膜的的二次电流分布接口，通过通过和和三次电流分布接口中的离子交换膜边界节点来，从而从而唐南电位。。
后续操作
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如需电化学应用的信息信息信息，请请本：请篇：通过建模改进钒氧化液流电池。
编者：本本博客于于于于于于年年年10月25日，现在，现在包含，现在comsol多物理5.4版本新增特征的。
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