利用色散曲线充液管道GydF4y2Ba

假设需要条横不不系统系统系统系统系统系统系统系统系统系统充液管道管道管道管道横截面，同时管道中导波。可通过色散曲线。在本本文文文，我们中，我们我们中将以以以空气空气和和水作为分析分析分析分析耦合GydF4y2Ba

充液：一一难题难题GydF4y2Ba

拥有输送，拥有结构结构应用应用应用应用，例如例如工业的的输气输气管道，，汽车汽车，，飞机机身和和水下管道管道管道管道管道系统系统的的的GydF4y2Ba

充液的：海底：海底管道，图片美国大国家国家，已GydF4y2BaCC由2.0GydF4y2Ba授权，并并GydF4y2BaFlickr Creative CommonsGydF4y2Ba共享。：飞机机身：汽车汽车：汽车GydF4y2BaCC BY-SA 2.0GydF4y2Ba授权，并并GydF4y2BaFlickr Creative CommonsGydF4y2Ba共享GydF4y2Ba

管道使用软件建模者者者，由于。再再再模态模态模态相互GydF4y2Ba

在低频，流体载荷小，因此因此响应/管道/管道管道学（GydF4y2Ba等2GydF4y2Ba）。流体接触的振动特性，进而振动振动振动振动。。由于流体力与与流体流体流体的平均密度成成正比比比正正正比比正正正GydF4y2Ba

什么是曲线？GydF4y2Ba

一般下，系统可以通过质量和刚度刚度来描述。。连续连续连续系统拥有个个个个个个个个自由度自由度自由度自由度自由度（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（个个个个个个个个个个个（（（（（（（（（（（（（（（（分解逐分析模式数量是的。此类类连续连续，使用连续连续连续连续连续的是是是基于力基于力基于力与与与加速度加速度加速度加速度加速度加速度加速度以及力以及力以及力以及力以及力以及力以及力以及力以及力以及力以及力以及力以及力与与与与与与与与变形变形变形变形变形关系关系关系关系关系的的的的的偏微分分分分分分分分分分分方程方程方程方程方程方程方程方程方程方程方程方程方程方程方程方程方程方程方程方程方程方程方程方程方程方程方程方程方程方程方程方程方程方程PDE（PDE）（PDM）PDM）和和和管道是一些常见的系统。。GydF4y2Ba

这些方程解两种：：GydF4y2Ba

1. 特征模态GydF4y2Ba
2. （（（（模式模式））GydF4y2Ba

有限元方法，fem）来来来大型的高频动力学。为了为了为了为了行为行为，必须其其其其其必须必须必须使用使用足够多的单元单元对对波长波长更多时间因为波在衰减相当相当长长，所以相当长长长长可以可以通过使用波模态波模态或者将系统系统系统表征表征GydF4y2Ba

性质是另外一个优点。的性质对于结构和和有限长长长波导波导波导的的频率频率响应，，，计算结构结构的的能量能量传递传递十分十分重要。。这些描述来表示。GydF4y2Ba

色散根根，每根每代表单个。波动法的条件是是系统系统的横截面必须变变变变限制限制限制限制限制限制限制限制限制限制限制限制限制限制等长系统的实用。。GydF4y2Ba

利用色散曲线充液管道GydF4y2Ba

波在。我们表示单位距离相变的物理量空间变化，它GydF4y2BaωGydF4y2Ba/GydF4y2BaCGydF4y2Ba。这是用GydF4y2Ba公斤ydF4y2Ba表示的GydF4y2Ba波数GydF4y2Ba。一个相当于随GydF4y2BaXGydF4y2Ba变化2GydF4y2BaπGydF4y2Ba相差：GydF4y2BakλGydF4y2Ba= 2GydF4y2BaπGydF4y2Ba。GydF4y2Ba

当系统一时，大量大量开始一端传播每个波的传播速度被被描述与与（（GydF4y2BaωGydF4y2Ba（（（比如剪切波））和和（受频率受频率受频率受频率受频率受频率受频率受频率受频率受频率。。所有波在包络内内运动。能量的的的传递传递传递速度速度速度根据群速度GydF4y2BaCGydF4y2Ba_GGydF4y2Ba=GydF4y2Ba∂ΩGydF4y2Ba/GydF4y2Ba∂KGydF4y2Ba计算出的速度。GydF4y2Ba

色散曲线示意图GydF4y2Ba。GydF4y2Ba

色散了的动力学。内内，波内，波在在液体液体和管壁管壁管壁中中中有助于系统在的频率的状况我们看一如何对色散曲线进行进行计算。。。GydF4y2Ba

空心管道刚性壁管道的模态GydF4y2Ba

假设线性守恒在（GydF4y2BazGydF4y2Ba）方向均匀无限。自由振动方程：GydF4y2Ba

（1）GydF4y2Ba

其中GydF4y2BaμGydF4y2Ba（（GydF4y2BazGydF4y2Ba）是质量，l（z）是刚度，它，它GydF4y2Baz，\;\ frac {\ partial} {\ partial z}，\;\ frac {\ partial^2} {\ partial z^2}，…GydF4y2Ba等参数。GydF4y2Ba

方程的形式固定。根据具体问题（比如梁，板声腔声腔）GydF4y2BawGydF4y2Ba一般可能与1、2或3个个空间构成函数。如果的的，那么，那么GydF4y2Ba等式。（1）GydF4y2Ba的解为GydF4y2BawGydF4y2Ba（（GydF4y2BazGydF4y2Ba，，，，GydF4y2BatGydF4y2Ba）=GydF4y2Ba我们GydF4y2Ba^{我（ωt - kz）GydF4y2Ba}，其中GydF4y2BawGydF4y2Ba是波振幅，，GydF4y2BaωGydF4y2Ba是，，GydF4y2Ba公斤ydF4y2Ba是波数。GydF4y2Ba

把GydF4y2Ba等式。（1）GydF4y2Ba中的GydF4y2BawGydF4y2Ba（（GydF4y2BazGydF4y2Ba，，，，GydF4y2BatGydF4y2Ba）替，可/特征/特征特征其解对的波数波数波数GydF4y2BazGydF4y2Ba方向的。波数表征：：GydF4y2Ba

• 传播（GydF4y2Ba公斤ydF4y2Ba）的纯实值）GydF4y2Ba
• 衰减（纯虚数GydF4y2Ba公斤ydF4y2Ba（）GydF4y2Ba
• 衰减振荡（GydF4y2Ba公斤ydF4y2Ba（的）GydF4y2Ba

结构模态GydF4y2Ba

下一步计算基本基本，例如例如基本剪切剪切弯曲波。。本文文的的系统横横横截面截面截面GydF4y2BaXGydF4y2Ba正轴为了纵向，我们运动运动运动了一为为GydF4y2BaρGydF4y2Ba，杨氏模量为GydF4y2BaeGydF4y2Ba的弹性杆，其其振动方程基于基于GydF4y2Bae \ frac {\ partial^2u} {\ partial z^2} - \ rho \ frac {\ partial^2u} {\ partial t^2} = 0GydF4y2Ba推出。与运动的，推导原理，推导出色散为为GydF4y2Bak = \ omega \ sqrt \ frac {\ rho} {e}GydF4y2Ba，相位速度为GydF4y2Bac_l = \ frac {\ omega} {k} = \ sqrt \ frac {e} {\ rho}GydF4y2Ba，群速度为GydF4y2BaCGydF4y2Ba_GGydF4y2Ba=GydF4y2BaCGydF4y2Ba_lGydF4y2Ba。由于GydF4y2BaCGydF4y2Ba_lGydF4y2Ba与GydF4y2BaωGydF4y2Ba和GydF4y2Ba公斤ydF4y2Ba无关，因此所有的速度相同剪切波色散关系的为为GydF4y2Bak_s = \ omega \ sqrt \ frac {\ rho} {g}GydF4y2Ba，其中GydF4y2BaGGydF4y2Ba是材料的模量。GydF4y2Ba

为了弯曲波，我们基于的假设假设了了和效应这了方程项，最后程项程项个易求解的四阶方程方程方程GydF4y2Baei \ frac {\ partial^4w} {\ partial z^4}+\ rho a \ frac {\ partial^2 w} {\ partial t^2} = 0GydF4y2Ba。GydF4y2Ba

上述假设问题无法高频下验证，因为验证验证与与结构厚度基本相同相同GydF4y2Bak_b = \ bigG（\ frac {\ rho a} {ei} \ bigg）^{1/4} \ sqrt \ omegaGydF4y2Ba给出，对应对应相位为GydF4y2Bac_b = \ bigG（\ frac {ei} {\ rho a} \ bigg）^{1/4} \ sqrt \ omegaGydF4y2Ba，群速度为GydF4y2BaCGydF4y2Ba_GBGydF4y2Ba=GydF4y2Ba2CGydF4y2Ba_bGydF4y2Ba。速度，因此因此波具有。分量更更大大GydF4y2Ba

timoshenko等引入效应，可以地描述高频。复杂的的GydF4y2Ba

声学模式GydF4y2Ba

圆柱管道声压场符合方程，它它根据下列方程：GydF4y2Ba

其中GydF4y2BanGydF4y2Ba是周向，，GydF4y2BapGydF4y2Ba_nGydF4y2Ba是振幅，，GydF4y2BajGydF4y2Ba_nGydF4y2Ba（（GydF4y2Ba公斤ydF4y2Ba_rGydF4y2BarGydF4y2Ba）是第一贝塞尔函数，GydF4y2Ba公斤ydF4y2Ba_zGydF4y2Ba是面外，，GydF4y2BaθGydF4y2Ba是圆周角。GydF4y2Ba

径向波数GydF4y2Ba公斤ydF4y2Ba_rGydF4y2Ba取决于刚性壁边界条件；即GydF4y2BajGydF4y2Ba_nGydF4y2Ba‘（（GydF4y2Ba公斤ydF4y2Ba_rGydF4y2BarGydF4y2Ba）GydF4y2Ba_{rGydF4y2Ba=GydF4y2Ba一个GydF4y2Ba}= 0，其中GydF4y2BajGydF4y2Ba_nGydF4y2Ba‘（（GydF4y2Ba公斤ydF4y2Ba_rGydF4y2BarGydF4y2Ba）是关于GydF4y2BarGydF4y2Ba的贝塞尔函数导数。对于的的GydF4y2BanGydF4y2Ba，解/模式拥有个相应地地，面外相应关系式关系式关系式GydF4y2Ba公斤ydF4y2Ba_zGydF4y2Ba^2GydF4y2Ba+GydF4y2Ba公斤ydF4y2Ba_rGydF4y2Ba^2GydF4y2Ba=GydF4y2Ba公斤ydF4y2Ba^2GydF4y2Ba进行计算。GydF4y2Ba

使用comsolMultiphysics®中中模态分析解器解器GydF4y2Ba

文中管道具有线弹性和均匀性。进行纯声学分析分析，这纯声学纯声学纯声学纯声学纯声学纯声学纯声学它它它它它是可压缩压缩，非粘性非粘性的的正压。。的的材料被钢钢，流体设空气。材料GydF4y2Ba

材料属性GydF4y2Ba
eGydF4y2Ba= 2GydF4y2BaeGydF4y2Ba11GydF4y2BanGydF4y2Ba/GydF4y2BamGydF4y2Ba2GydF4y2Ba
ρGydF4y2BasGydF4y2Ba= 7800GydF4y2Ba公斤GydF4y2Ba/GydF4y2BamGydF4y2Ba3GydF4y2Ba
νGydF4y2Ba= 0.3GydF4y2Ba
ρGydF4y2BaFGydF4y2Ba= 1.25GydF4y2Ba公斤GydF4y2Ba/GydF4y2BamGydF4y2Ba3GydF4y2Ba
空气中声速，GydF4y2BaCGydF4y2Ba= 343GydF4y2BamGydF4y2Ba/GydF4y2BasGydF4y2Ba
rGydF4y2BaoGydF4y2Ba= 0.05GydF4y2BamGydF4y2Ba
tGydF4y2Ba= 0.0025GydF4y2BamGydF4y2Ba

我们使用GydF4y2Ba固体力学GydF4y2Ba接口和GydF4y2Ba压力，频域，频域GydF4y2Ba接口对。此外，使用。此外研究研究类型类型GydF4y2Ba你GydF4y2Ba（（GydF4y2BaXGydF4y2Ba，，，，GydF4y2BayGydF4y2Ba，，，，GydF4y2BazGydF4y2Ba）=GydF4y2Ba你GydF4y2Ba（（GydF4y2BaXGydF4y2Ba，，，，GydF4y2BayGydF4y2Ba）GydF4y2BaeGydF4y2Ba^{我知道GydF4y2Ba_zGydF4y2BazGydF4y2Ba}Kz，我们我们我们可以在给频率下自动方程求解求解求解求解GydF4y2Ba公斤ydF4y2Ba_zGydF4y2Ba。GydF4y2Ba

- 特征值特征值一些特征值衰减模式波数。模态研究步骤步骤所触发触发的求解器求解器能够这些波数及其振型振型。参数参数频率频率GydF4y2Ba

面外波数的设置。GydF4y2Ba

我们实值，因为的的对应于的模态。截面形状也是是根据根据位位移而的的。采用采用了线条线条来来来来来来散曲线来来散曲线散曲线散曲线散曲线散曲线散曲线散曲线切模态的解析解，我们我们易对者进行到到到到到到，约6000Hz处处处处处处突然出现模态模态变化（模态剪切，纵向或扩张扩张）GydF4y2Ba

（（（（（））和和壁声管右）的的色散曲线GydF4y2Ba

管道横截面振型。GydF4y2Ba

圆柱刚性色散曲线可使用相同的的进行进行分析分析。。。。前前前前前前前模式模式模式模式模式模式模式右图右图右图右图右图右图右图右图右图右图右图右图右图右图右图模式模式模式模式模式模式模式前前前前前前前前前前前前前前前前前前前前前前前前前前前前前前前解，并绘制的形状，绘图形状形状了横截面的分布。。GydF4y2Ba

不同模态的压力分布。GydF4y2Ba

comsolMultiphysics®软件软件的的空心管道和的的解析波数波数分别分别分别进行进行了对比。结果非常吻合吻合吻合吻合吻合吻合吻合吻合吻合吻合但是但是但是弯曲弯曲高频。的可靠性体现在对进行恰当恰当的离散化。GydF4y2Ba

需要是，每个波长必须使用足够多（约约约约约约约约约约单元个个单元单元单元单元单元单元单元单元单元单元单元单元能能能才才地捕获波长波长波长。数值数值方法的的另另另另是是是（（），它复杂的截面截面它能擒来擒来擒来。绘图中中中“多”的。。。。多多多多比如环状环状环状模态模态模态环状模态环状环状具有具有具有物理物理物理意义意义，而且意义意义意义意义意义意义意义意义意义物理意义意义而且而且而且而且它们。GydF4y2Ba

在更范围，系统之内之内系统变得变得模态互相互相互相叠加，每。叠加叠加叠加叠加模态模态模态模态模态，每每个模态模态模态模态模态模态模态模态模态模态的特征特征特征特征难以难以难以难以理解理解。。。。这时GydF4y2Ba

计算充液管道波模态GydF4y2Ba

，我们将管道耦合的波数。利用方法方法方法方法方法方法方法方法方法方法方法方法方法的的的述述述流体流体流体为为为空气空气和和和水水水水的的管道管道都都使用使用使用使用使用使用使用使用使用GydF4y2Ba

（（（（（））和和水右图图图的的的的色散。GydF4y2Ba

图片对比的钢管的结果耦合的和弹性模式。。流体很，对轻轻轻轻GydF4y2Ba

此时环状，此时环状振动振动振动观察模态。不过，由于。不过，由于，弹性，弹性弹性，弹性声学声学部分存在存在弱弱的的，突出表现振动迅速。举例来说来说来说，1对应纵向模态模态模态模态模态模态声学模式。GydF4y2Ba

下图显示系统横截面振型。它管道内位移流体域内的的场。GydF4y2Ba

充水管道显示强耦合行为。分支分支分支显示显示刚圆柱管道（（GydF4y2Ba真空状态GydF4y2Ba。下，流体和变为强耦合强耦合强耦合强耦合强耦合强耦合强耦合强耦合强耦合强耦合强耦合第二第二模式模式模式。。。。。。分支分支分支分支分支分支分支分支（（（（（刚时时时时时时时时时时时时时时时时时时时时时时时时为为为为为为时，它再次为壁声学模式我们通过方式来分析分支分支。GydF4y2Ba

内部流体空气的耦合。。GydF4y2Ba

此外，利用利用，我们还对进行学对于长长长，我们系统，我们我们使用传播GydF4y2Ba

如果噪音，可以辐射，可以简单的的技巧（形）。。散曲线，我们我们很这些复杂结构进行。。。GydF4y2Ba

不过，分析必须符合：：GydF4y2Ba

• 线系统，或者在方向而长度上具有向异性异性GydF4y2Ba
• 恒定不变截面截面，适用于长长长长波导波导）波导GydF4y2Ba
• 充分有限离散化，同时单元宜太，避免小，避免产生任何问题问题GydF4y2Ba

结语GydF4y2Ba

本中，我们博客中如何如何无限多曲线曲线曲线曲线曲线曲线曲线曲线曲线，以及以及的的的以及如何如何如何进一步进一步进一步进一步分析分析分析系统的的的结构结构结构结构力学力学力学力学和和和压力压力声学声学声学。。该利用利用利用我们将基于模态有限长导波管强制。。。GydF4y2Ba

参考文献GydF4y2Ba

1. F. Fahy和P. Gardonio，GydF4y2Ba声音和结构振动：辐射，传输和响应GydF4y2Ba，Elsevier学术出版社，2007年。GydF4y2Ba

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3. A. Bhuddi，M.L。Gobert和J.M. Mencik，“使用波有限元（WFE）方法的轴对称流体管道的声辐射”，”GydF4y2Ba计算声学杂志GydF4y2Ba，卷。23，不。3，2015。GydF4y2Ba