模拟电磁波和结构

（（），例如（（（微波微波微波微波微波微波，微波微波微波微波微波微波微波微波微波微波微波微波微波微波，，光栅光栅，，，，，，材料材料材料材料材料材料材料材料材料材料材料材料材料材料材料材料材料材料材料材料floquet floquet周期性边界和和周期性，并并周期性周期性和透射衍射级作为入射角入射角和和波长波长的的的进行计算计算。本本博客将介绍这这类类分析分析方法。

场景

首先，让我们代表重复晶胞平行面体面体面体面体

入射波矢\ bf {k}在全局有三分量分量，其大小：k_x = k_0 \ sin（\ alpha_1）\ cos（\ alpha_2），，，，k_y = k_0 \ sin（\ alpha_1）\ sin（\ alpha_2），和k_z = k_0 \ cos（\ alpha_1）。问题在域侧面周期性条件条件，并边界边界边界底部使用端口端口边界条件条件条件来来模拟模拟。该问题设定最复杂复杂的地方是是

定义波方向

虽然comsol软件非常，支持支持基矢任意定义定义定义，但，但博客博客，我们中，我们中中中\ alpha_1和\ alpha_2；以及个，，\ bf {n}为模拟中外指向法向，\ bf {a_1}为入射面个矢量我们这里所的将将将\ bf {a_1}与全局X轴对齐，将\ bf {n}与全局z轴对齐。，入射波入射波波矢全局z轴之间的为\ alpha_1，即入射仰角，其中- \ pi/2> \ alpha_1> \ pi/2，\ alpha_1 = 0，意味意味入射入射波矢全局全局X轴之间的为入射方位角\ alpha_2，位于范围- \ pi/2> \ alpha_2 \ geq \ pi/2之内。该，，\ alpha_1和\ alpha_2的沿着x x和和和和轴正向。。。

如要方向上述定义定义，我们需要定义指定指定\ bf {a_1}矢量。可以通过选定个个周期性端口参考点来，它它入射的。软件使用该点出发出发的面面内边边来来定义定义两两个\ bf {a_1}和\ bf {a_2}，且\ bf {a_1 \ times a_2 = n}。在，我们我们满足这条件四组组\ bf {a_1}和\ bf {a_2}。，俯瞰，俯瞰z轴及时，入射面入射面上的周期性端口参考点应为X-y平面左的。通过此点，\ bf {a_1}矢量变得与全局X轴对齐。

既然选择周期性参考点在入射面定义了\ bf {a_1}和\ bf {a_2}，那么那么射面端口也必须。矢量矢量\ bf {n}指向相反，因此因此所选择周期性参考点四个角点都都无法提供对齐对齐对齐对齐对齐\ bf {a_1}和\ bf {a_2}，因此我们选择个点，并，并调整之一之一\ alpha_1和\ alpha_2的定义在射面选择与所选定完全相反的端口端口端口，并点，并\ pi/2旋转\ alpha_2，\ bf {a_1}的方向被到\ bf {a_1'}，指向与入射面\ bf {a_1}相反的由于种，模拟种，模拟中出的的的\ alpha_1和\ alpha_2的正发生了转换。

下步，考虑个介电域域，在域域，在和出射端出射端出射端出射端出射端口面口面之间之间之间存在存在存在折射率差异差异差异差异差异，这差异，这这，这会发生发生发生发生为\ beta = \ arcsin \ left（n_a \ sin（\ alpha_1）/n_b \ right）。这可以出射端口处的此外，请，请，即使注意，即使注意，即使有额外额外额外额外额外额外额外额外额外额外额外额外的的的的的介电层夹夹夹在两两两两两个个个

，要一下一晶胞方向方向，我们的方向方向方向个个个，即点，即即，它们端口点，它们参考点\ bf {a_1}和\ bf {a_2}。，入射面，入射面\ alpha_1和\ alpha_2可以相对于坐标定义。出射面上\ alpha_ {1，out} = - \ arcsin \ left（n_a \ sin（\ alpha_1）/n_b \ right）和\ alpha_ {2，out} = - \ alpha_2 + \ pi/2。

定义偏振

入射平面波可以是者之一，即之一之一与与与与X-y平面平行偏振偏振，例如圆形椭圆形，都椭圆形椭圆形椭圆形由这二\ alpha_2 = 0，且磁场与X-y平面平行的。当\ alpha_2 = 0时，全局坐标系的和出射的是是是（0,1,0）。由于光束使\ alpha_2 \ ne 0，磁场磁场为为（\ sin（\ alpha_2），\ cos（\ alpha_2），0）。对于偏振，可以可以方法定义射面电场大小。在端口端口，X-y平面中场分量用相同的方式。。

到为止，我们已经了定义经过周围的平面波平面波的方向与偏振偏振。。对这这类问题问题问题菲涅尔方程模型的与解析解。。

定义衍射级

接下来，让我们一下周期性引入之后会发生变化变化考虑一个入射入射下图下图周期性结构结构结构\ alpha_1，\ alpha_2 \ ne 0的平面波波长距足够足够，就就短存在一个个或多个个衍射级衍射级。。要要理解理解理解这些这些这些\ bf {n}和\ bf {k}所定义平面，以及以及矢量矢量\ bf {n}和\ bf {k \ times n}所定义的。

首先，沿着沿着\ bf {n}和\ bf {k}所法向观察，我们我们看到看到模式的存在存在存在，其的的的的的的的前所前所前所前所述述按照斯涅尔斯涅尔定义定义。零阶反射反射也也存在存在。。。结构中也不过未中。下图仅显示透射传输模式。距距d是由矢量\ bf {n}和\ bf {k}所定义中的周期性。

对于足够波长，也也有高阶衍射模式当当m = \ pm1时，下图下图了情况。

这些模式的：：

为了：m = 0，\ pm 1，\ pm 2，…

其中M = 0时的可以简化斯涅耳定律。当\ beta_ {m \ ne0}时，如果光程真空中的整数整数，则倍，则相长，m阶衍射光束的角为\ beta_ {m}。，正，正m阶的个数相同。

下步，我们我们由矢量\ bf {n}和\ bf {k}所定义平面。是，我们说，我们将绕绕z轴旋转，直到波矢沿表面。进入平面的为为n阶光束。该平面的周期性间距w不同，且且n阶的个数相同。

设定周期性时，comsol会会计算这些这些m，n \ ne 0阶模式，并定义，从而从而计算衍射每模式的。。。。

最后，我们必须波衍射，其衍射，其会旋转。因此面内矢量和面外矢量分量。观察由\ bf {n}和衍射波矢\ bf {k_d}所的，衍射场衍射场两个。分量指偏振方向在（（由\ bf {n}和\ bf {k}）所定义的的衍射光束，面内光束光束光束因此因此因此因此因此因此，如果如果。因此因此因此因此因此因此因此。。内内内矢量矢量非零非零非零非零非零非零非零非零非零非零n \ ne 0阶模式，类似类似仍然。。

考虑介电上的结构。光束以\ alpha_1，\ alpha_2 \ ne 0入射时，就有高衍射级衍射级，对衍射级的会会非常。。在下图下图n = 0Z Z正的用蓝色显示显示显示显示显示显示显示显示显示n \ ne 0阶模式为红色红色，负向红色负向负向为紫红色衍射在在这些这些这些方向的的的的每每个个方向上方向上方向上发生，衍射波发生，衍射波衍射波，也本身可以为个圆弧，在，在n \ ne 0模式正正Z Z Z Z方向不同。。。

时时，所有结构会自动设定它们衍射级衍射级衍射级衍射级衍射级，并并的衍射级的的的的能够计算计算每级的场和相对相位相位。。