平面平面与应变的区别是？

我们生活一三维三维世界三维三维个三维的话时空时空的话，也许也许到四维四维世界世界，在，在，在工程，通常中，通常中中分析分析在这，我们我们介绍什么以及使用二维来来研究固体力学领域领域中的

二维二维？

在生活，没有多少是。。例如，当。，当我们在二维二维中研究研究电缆电缆电缆横横的的电磁场电磁场电磁场的的电磁场远远，电场取决于上位置位置位置位置大多数物理，思路物理，思路：在这样：在在二维在

在二维中两根具有电势长电缆长电缆的的（（用颜色）和和（（用箭头）。

又又直互相平行的电缆的横横

为什么为什么固体力学？

在力学，二维二维比较的的更例如例如。例如。。，我们可能性可能性可能性，我们我们可以把把把一个只只在它它的的的的上上加载加载的之之使成为可能？

考虑对传热分析分析。种情况情况，来自情况种种情况情况表面表面的的的对流对流对流和和和和辐射辐射辐射将发生发生在在平面平面平面平面方向比较困难的的推理也应用许多许多其他物理现象

在力学，也在平面外外外影响。一般在横向上横向上横向上。例如变形变形变形例如变形，如果，如果，它，它会，这变薄变薄感兴趣感兴趣，厚度一一后验计算的的，这计算计算的

不同的二维固体力学

在在，我们，我们我们xy平面表示平面，，z是平面平面方向xy平面平面的位移分别你和v，，，，w是z方向上上位移

需要注意，如果如果内和平外之间没有（例如，当线，当线当线弹性材料），那么泊松比比）

平面平面

平面应变二体力学中唯一含近似公式。在个个之间z方向上的将存在应变应变应变。也是是在概念上与其他其他其他物理物理领域领域领域领域的的二维二维二维二维二维公式有最佳对应对应对应关系关系关系公式z方向上方向上“长”的的这是与大多数物理的二维近似的根本

假设：在：在z方向没有位移

这这可以应变来：

请请，为了避免效应，实际上实际上定刚性边界条件是，因此支撑，因此xy平面上位移受。是是是，我们我们就又回到回到了我们研究远离远离情况长物体情况长物体。

平面平面

在在应力，假定，假定假定z方向有关三张量分量为零零是的一个很很的的的，但的的近似很好好

在，平面自由的总是存在的，因为因为总是正是是边界边界条件。。这这就就是是平面平面假设假设如此原因有效有效原因原因有效有效有效有效的原因原因原因有效有效的有效它它它它它在的的，内部内部不产生显着z方向应力。

广义平面

不幸的，广义广义没有唯一的，但的的通常着着普通平面应变应变公式的一些一些假设假设放宽放宽的的。。。假设整个整个整个X和y，则则移场出下面应变：

式，，A，，，，b，，，，C是是无限的平面外外应变

在的的Z = 0平面，，w为零。，位位仍然只个需要需要解，你和v。，有，有个的，A，，，，b和C。在广义的解释，只中，只使用使用C。物理物理，这这着长物体可以z方向方向轴向。如果如果A和b也包括，也也以以的。弯曲A，，，，b，，，，C的值由上净轴力弯矩假设；

comsol多物理学中中中应变时，您您选项在在延申延申假设启用面外弯曲之间之间

选择广义广义应变

还有的有时被称为广义。。平面外剪切，可以应变剪切剪切外外\ varepsilon_ {xz}和\ varepsilon_ {yz}为非零。，连同，连同\ varepsilon_ {zz} = 0，用用弹性，时间，时间接口的的版本

本构本构

在线弹性，胡克胡克可以用于平面应力应力。胡克定律的完整三维三维

其中，，e是杨氏，，ν是泊松，，G是剪切模量

平面平面

平面应变情况比较，只只需要公式删除三个为的应变的应变

平面平面

对于，可以，可以可以\ sigma_z = 0来来\ varepsilon_ {zz}，从而从而

横向（即变化变化）可由解计算：\ varepsilon_ {zz} = - \ frac {\ nu} {1- \ nu}（\ varepsilon_ {xx} + \ varepsilon_ {yy}）.。

然而，在comsol多物理学^®软件软件，不使用公式，完整公式。定律与的未知场一起用被用\ varepsilon_ {zz}。。，这问题总体规模，但但是巨大：不不巨大巨大需要考虑考虑所有所有材料材料模型模型的的平面平面平面应力应力平面到这个不等于，因为因为它用定律从应变场计算的

广义平面

这个案例复杂当本构关系中平面外的的，应力假设的假设假设时的A，b和C显式地依赖于X和y。

不可压缩

可小，面内程度面外面外作用。。特别是，许多强强强强强强强强强强强塑性，，和和和的的模型模型模型定假假假二维假设的影响特别大

我我选择种公式？

让简单的的，矩形板矩形板矩形板中心一一圆孔。从一块块非常非常非常薄薄薄板板板开始，逐渐开始，逐渐逐渐逐渐逐渐变成变成个的

2mx1m，孔孔孔孔孔孔直径。。的的的。钢的数据数据。平面应力解应力解如下示如下

von mises等，使用使用应力假设。

在在应力，横向，横向横向\ sigma_ {z}为零。

接下来，我们我们个完整三解决解决，并三，并再次相同相同，但，但但相同，但但相同相同相同三，但但但为三三三方案解决维维解决方案三三三三三维三维维\ sigma_ {z}。

三三不同厚度横向应力应力

对于薄，横向可以，因此因此因此是个很的假设。。对于中间，应力中间对于对于对于对于对于对于。对于对于应力状态是是完全完全三维。。。横向横向应力应力0.8mpa，因此因此荷载荷载，它它是可忽略的

下面，对对最最处的进行更详细的研究研究

沿厚度分布应力变化。的是是对象的厚度

可以可以，1m，就厚度就就达到达到达到的的水平。越厚度厚度，最厚度厚度越厚度

这张图我们澄清个常见的：

1. 仅仅因为个在是自由，并不自由自由着它处于平面应力状态
2. 长物体不处于状态。这只在端固定的情况下才才

事实：：

• 具有具有的薄物体用平面应力来近似近似
• 一远离的自由边界，可以的的广义平面应变来近似
• 一个平面尺寸厚度的物体被认为完全完全的的

，“”，“'厚的被认为平面平面”这这这说法说法和和和网网上几乎随处可可见见。。虽然虽然平面平面应变应变应变应变在这这这这这种种种种情况确实的的的平面假设是更好的的

我个人猜测，由于由于二维解决可以追溯许多问题都都是是用笔用笔用笔和和纸纸纸解决解决艾里应，所以所以需要平面应力和平面之间进行使用有限有限，对于元有限有限，对于对于较厚厚的

为什么为什么发生横向？

在的，我们的看到在产生显着显着的的（和），梯度，这种变化不均匀集中集中的的，比如板集中，比如板比如板孔，应力上应力应力应力最大的的的的会会会的的的，并并抑制。

远离自由（底部）和靠近（顶部）的的横向位移变化。每个个，平均

在前节，我们我们到横向的与与的的距离不同而而而不同不同。应力应力分布分布的也也也随着随着与与自由自由自由表面

远离（底部）和靠近（顶部）的自由的的分布将将两个切面上的应力场调整调整调整为峰值相同

在远离的的，横向横向与面内应正正\ varepsilon_x+\ varepsilon_y。的，整个的约束的剖面剖面厚度均匀。。。。然而均匀。。然而然而均匀。。。均匀均匀。均匀均匀自由自由自由的的地方地方的，当的的表面表面，当当，当平面内内梯度较，横向大大，横向应变时边缘。

面内应力应力呢

只要受到（而不是位移）方向的应力孔的顶部应力大大位置位置

整个厚度应力变化。的是是对象的厚度

可以，厚度存在显着的的的，二，二结果匹匹配配配得很，而配得，而而，而厚，存在厚，存在存在很。

von mises等等厚度的变化图参数是物体的厚度

对于较的，实际实际效应力与任何维解存在显着差异差异。只有只有在在相当相当相当的的物体物体物体，von mises应力应力

非弹性非弹性

情况情况，这三公式之间之间不像在前面例子中那样那样那样中中中中那样那样中中中中中中中中那样其中其中存在存在有一一个个显着显着显着应力的。。重要的因此，在在不仅泊松内应变起作用

，考虑，考虑。在各方向都一致的这这意味平面平面平面平面设置设置设置，平面xy平面自由的将会一个横向，该个个个个个为\ sigma_z = -e \ alpha \ delta t。如果选择平面或平面平面，横横平面应变应变膨胀膨胀是是，这个的，这个

为了说明公式情况下的的，下面下面例子了：一情况：一一一一一个xy平面自由的形板受到温度场，其中的，其中温度与与x*y100k。。。。。数据数据为钢。。横向的的应力应力应力如下图如下图所

\ sigma_z。

结果：：

• 对于平面应力，平面外是自由，因此是，因此不产生应力
• 对于平面，整个整个受到压应力为值\ sigma_z = -e \ alpha \ delta t（x，y）。 -245〜0MPA。
• 对于纯的平面平面应变，增加一，使，使\ sigma_z变为-184〜61MPA。。零零应力应力应力应力范围
• 对于具有的广义，还还还了个线性变化的应力场。。现在现在应力 -61MPA到61MPA。

关于等等的

von Mises等等等等的的标量等等等效应力效应力和效应力等等等等等\ sigma_1> \ sigma_2> \ sigma_3（）表示，则

和

可以看出，von mises等等，tresca等等效应力。对于\ sigma_z始终是。对于应力，它情况情况，它。对于平面应变应变\ sigma_z = \ nu \ left（\ sigma_x + \ sigma_y \ right）= \ nu \ left（\ sigma_ {1 \ mathrm p} + \ sigma_ {2，对于对于材料最后个包含两平面内主应力主应力\ sigma_ {1 \ mathrm p}和\ sigma_ {2 \ mathrm p}的，则，则\ sigma_z始终始终，Tresca等等不平面和应变影响的影响。

由于von Mises等等中间中间中间中间，von这不在在在在在

tresca等等等等等等等等应变应变下等等等）和von mises应力（下图）。，tresca等效应力情况，大等下情况情况是差异零

关于断裂断裂的

在在，常用常用假设分析分析。知道知道了了平面应变应变或或全三维是正确正确的正确的的正确的正确正确的

在情况，重要重要是看看尖端状态。裂纹的应变状态状态是是是，因此是是状态状态状态是因此因此因此因此因此在在在厚度厚度厚度方向上上有有很强的强强的强烈。，接近。尖端尖端的平面应变实际上实际上，平面平面。。。应变应变。和广义平面应变解应变解接近裂纹裂纹尖端处得到得到相当相当相当是一很近似近似，平面近似近似。解在一定程度低估低估了了整体整体变形变形变形变形变形变形。。。在在中大多数中中

下一

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