BDF，广义Alpha和Runge-Kutta方法

问题描述

使用时间相关的求解器时，有哪些数值方法可用？它们的相对好处是什么，我什么时候应该使用它们？

解决方案

这时间依赖性求解器提供三个不同的时间踏脚方法：隐式bdf和广义α方法和显式runge-kutta方法家族。

向后分化公式（BDF）求解器是一种隐式求解器，使用具有准确性顺序的向后分化公式从一个（也称为向后的Euler方法）到五。BDF方法已经使用了很长时间，并以其稳定性而闻名。但是，它们可能具有严重的阻尼效应，尤其是较低的方法。向后的Euler严重潮湿的任何高频。即使您期望具有锋利梯度的溶液，由于向后欧拉的阻尼，您也可能会及时获得非常平滑的解决方案。Comsol中的BDF实现是可变顺序的。也就是说，在可能的情况下将使用高阶，并且在必要时会自动使用较低的阶，以获得稳定性。BDF方法也是一个差分 - 代数方程式（DAE）求解器。

广义Alpha具有类似于二阶BDF的属性，但潜在技术是不同的。它包含文献中称为alpha的参数，以控制高频阻尼的程度。与BDF（最大阶二）相比，广义α的阻尼较少，因此更准确。出于同样的原因，它也不太稳定。COMSOL中广义α的实现检测哪些变量是第一阶的时间，哪些变量是二阶时间的时间，并将正确的公式应用于变量。即使经常使用它来解决DAE的求解，广义α也不是正式的求解器。1993年首次提出了广义α，用于结构力学的二阶系统，即具有二阶导数的系统（参考文献1）。结构力学区域是该方法最广泛使用的地方。在2000年，建议使用一阶系统的公式（Navier-Stokes方程）（参考文献2）。

BDF比广义α更稳定和通用，但同时引入了更多的阻尼。因此，广义α是对过度耗散敏感的应用的默认瞬态求解器，例如结构力学，声学和瞬态电磁波。在其他应用程序（例如运输应用程序）中，通常需要额外的鲁棒性，因此BDF为默认值。

显式runge-kutta方法家族最适合普通微分方程的系统，通常对于涉及部分微分方程的问题不那么有效。

所有这些方法提供了选择免费，中级，严格，和手动的时间播放，与自由的通常是默认值。免费时间播放使求解器可以根据需要采取更大或更小的时间段来满足指定的公差。求解器将尝试采用尽可能大的时间步，但如果解决方案开始迅速变化，则在必要时会减小时间步长。这中间的选项将迫使求解器在每个间隔内至少进行一个时间段时代部分时间依赖的学习设置。这严格的此外，选项将迫使求解器在指定的时间播放时间段时代部分。手动的时间播放允许您指定求解器所需的时间段，这对于波动类型问题很有用，您提前知道解决方案会随时间变化的速度变化。有关控制时间段的指示，请参见：知识基础1254：控制时间依赖的求解器时间段。有关使用手动时间播放的指示，请参见知识基础1118：解决时间依赖性波。

参考

1. J. Chung，G.M。赫尔伯特（Hulbert）， *用于改进数值耗散的结构动力学的时间整合算法：广义-Alpha方法， *。应用。机械。60（1993），371-375。
2. K.E.詹森（C.H.）Whiting，G.M。赫伯特，一种通用 - α方法，用于将过滤后的Navier-Stokes方程与稳定有限元方法集成计算。方法应用。工程师。190（2000）305-319。

也可以看看

有关更多信息，您可以搜索帮助（在comsol多物理中按F1），或打开电子文档（按COMSOL多物理中的CTRL F1），然后浏览到comsol多物理参考手册>研究和求解器>解决方案操作节点和求解器>有关时间依赖的求解器部分。

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