在网格划分时如何识别和解决模型中的奇异点

在我们以前的文章中线性静态问题的网格划分考虑因素，我们发现，在网格细化的极限中，有限元模型的解决方案将收敛到真实的解决方案。我们还看到，自适应网格精炼可用于生成一个网格，该网格在误差更高的区域中会具有较小的元素，而不是简单地使用模型中各地的较小元素。在这篇文章中，我们将研究模型中有奇异性时出现的有限元建模的几个常见陷阱。

结构力学的一个例子

让我们看一下单轴张力下的平板问题，其中有一个方孔。这类似于早期的示例因为我们可以利用对称性，并且仅建模结构的四分之一。

和以前一样，我们可以使用自适应网状细化让comsol将更多元素插入估计误差很大的区域：

我们观察到，正在尖锐孔的内角插入越来越小的元素。让我们还绘制在此内角的压力，这是网格大小的函数：

从这个图中，无论我们制作网格多么好，压力似乎都在越来越大。实际上，这正是这里发生的事情。尖锐角的压力是非赋形关于网状精炼，因为我们有一个奇异性在模型中。这实际上是完全准确的 - 理论上尖角的应力是无限的。每当您看到这种非构造行为时，您都可能在模型中查看奇异性的表现。

在结构工程实践中，内部尖锐的角落是为了避免的。您将有理由说防止此问题的一种方法是绕开这些奇异性出现的模型的尖锐角。这样做会导致一个模型，该模型可以预测与网状精炼相聚的压力，但是它仍然需要在此内角有很多元素。因此，让我们介绍其他处理这些奇点的方法。

在全球评估模型

处理这些奇点的一种方法是忽略它们。了解有关有限元方法是它允许当地的不准确，因为它以最小化的方式制定全球的模型中的错误。我们在上述模型中预测的应力是不正确的，但是如果您在距离奇点约2-3个网格元件的距离上评估应力，则那里的应力解决方案确实会融合。因此，如果我们对远离奇异性的压力感兴趣，那么奇点的存在确实不是污染其他地方的预测。

采用溶液场的导数

同样重要的是要意识到，当您采用解决方案字段的衍生物时，奇异性就会表现出来。在结构力学中，我们解决了位移场，\ bf {u}并计算菌株的应力，\ bf {\ sigma = c：\ epsilon}，在位移场的梯度方面定义应变：\ epsilon = 1/2 \ bf {[（\ nabla u）^t + \ nabla u]}。当您将压力视为位移场的梯度时，这也变得更加清晰一些，为什么应力解决方案在尖锐的角落无穷大。但是，如果您仅对解决方案字段感兴趣，\ bf {u}，这也不是单数，即使在锋利的角落，并且确实会融合网状精炼。

评估奇异性的积分

当奇点可以接受时，还有一个常见的情况：如果您仅对整数数量感兴趣，则是模型的输出。例如，由线性材料组成的系统的总弹性应变能为：

如果我们将其评估为包括奇异性的域，例如带有方孔的板，那么即使集成剂在域内（s）上（s）不存在，该积分将与网状细化迅速收敛。因此，如果您要出去的唯一数量是模型中一个域（或边界）上一个积分的函数，那么您的模型可以包括奇异性。如果您使用尖锐的或圆角，那么您要集成的数量将收敛到相同的值。这种情况通常在电磁学中通常出现，在电磁学中，设备电感和电容都被评估为域上电场和磁场的积分。

关于网格划分和模型奇点的结论

总而言之，在模型中具有奇异性是可以接受的三种常见情况：

1. 当您不以奇异性评估解决方案时，而是一定距离
2. 当您不评估溶液的导数时
3. 当您评估某个数量的积分（包括溶液的导数）的积分时，在奇点周围的域或边界上

在这些情况下，您将观察到溶液通过网状细化的融合。也就是说，当您在模型中的任何地方观察到非构造行为时，您仍然应该要小心，并确保它不会偏向您对结果的解释。

最后，在某些情况下我们做需要在这些奇点上准确计算字段，但是我们的模型可能很大，以至于我们不想将鱼片放在所有这些边缘上。在这种情况下，我们可以使用一种称为的策略子模型， 或者突破建模。该方法使用相对粗糙的网格在较大的模型上找到解决方案字段，该模型可能包含奇异性，然后将此信息传递给具有更细的网格和圆角的子模型。这种方法在子模型中的子模型例子。