如何计算ComsolMultiphysics®中的电容矩阵

ComsolMultiphysics®软件中的电容计算似乎很容易。如果您只有两个导体，则配方很简单：拿一个导体并将其设置为接地，将另一个导体设置为终端，然后计算溶液。然后，一个内置的变量可提供电容。但是，如果您有两个以上的导体，例如触摸屏，传输线和电容传感器，该怎么办？如果您丢失了标准教科书术语，请遵循计算电容矩阵的工作示例。

什么是自我掌握？

电容是系统存储电荷的能力。它可以通过人体需要的充电量来定义，以便在接地参考电位上升高1伏。在线性系统中，这是

如果Q是电荷，则V是相对于地面的电势差，而C是电容。

在进入多个导管系统之前，请记住，从定义上讲，即使是一个孤立的导体也具有电容，相对于无穷大的接地球形壳的定义。对于指挥领域的情况，这种自我电力是

我们可以使用此公式来计算地球的自par体 - 大约是710 microfarad。

人体也可以充电，如这里所示。

因此，人体也表现出自par（也称为身体电容）。根据姿势和周围区域的不同，身体电容在100 picofarad的范围内，甚至可以在人类中产生刺痛感。例如，您可以在早上梳理头发时轻松地将身体电容充满几千伏。在开始一天之前，请确保扎根！

比较相互和麦克斯韦电容矩阵

在典型的电气系统中，几个导体之间的电容是最感兴趣的。相互电容，也称为寄生或流浪电容，是所需的或不希望的电容（电荷的堆积），发生在两个电荷持有物之间。如果将带电的物体带到另一个对象附近，则由于静电诱导过程（不要与电磁诱导混淆），因此第一个对象上的电荷分布将发生变化。特别是在传输系统中，线之间的电容耦合通常是意想不到的，而且很麻烦，因为它会产生噪音。

屏蔽的三导电缆（左）以及地面板上的微带传输线（右）之间相互电容的典型示例（右）。从连续场模型到具有离散电容器的集总模型的过渡意味着将导体缩小到点，同时将电荷在其表面上移动到它们之间显示的电容器板的板。

为了方便起见，可以安排n个导体系统的相互电容和矩阵形式的另一种基础：

当您将物理系统降低到离散元素网络时，该矩阵的系数（也称为部分电容或总电容）被使用在电路模拟器中。

在现场理论中，另一种矩阵形式更常见：麦克斯韦电容矩阵。由于名称是如此相似，并且系数不完全相同，因此重要的是要了解互助和麦克斯韦电容矩阵之间的关系。麦克斯韦电容矩阵描述了i的电荷之间的关系^Th导体到系统中所有导体的电压。

麦克斯韦电容矩阵系数C_ {11}可以通过测量导体1上的电荷来确定，而只有电势V_1 = 1并且所有其他电极均接地。因此，矩阵通常也称为接地电容矩阵。它的倒数c^{ - 1}，称为弹性矩阵。

我们还可以通过总结自相互电容的贡献来计算导体1上的总电荷，如下所示。

对于具有N导体的系统，相互关系和麦克斯韦电容矩阵之间的关系是

您可以通过其负面的非对角元素来轻松地告诉麦克斯韦电容矩阵。

工作示例：两个球的相互电容

现在，我们已经对术语有了明确的定义，让我们探索计算Comsol多物理学中指导器的任意导体系统的电容矩阵的容易。为了使我们的脚下保持坚实的地面，我们将从具有已知分析解决方案的系统开始。（我是否提到我喜欢分析解决方案？

在我们的情况下，我们可以使用由两个Radii的导电球组成的系统A和b，距离分开C和无穷大的地面参考。

自麦克斯韦时代以来，就已经知道了这种系统的封闭式表达式。我指的是de Queiroz（2003）和Lekner（2011）的两份出版物。三个麦克斯韦电容矩阵的表达式是

在哪里

您可以使用总和运算符轻松将这些表达式声明为comsol多物理中的变量：

在n上进行参数扫描时，我们发现当球体彼此之间不太接近时，该系列会迅速收敛。对于给定的一组参数，我们可以将n安全设置为10：a = 0.1，b = 0.3，c = 0.5。

为了计算电容矩阵静电界面，我们将终端条件设置为一个势为1 V的球体。

接下来，我们复制该功能，将其应用于第二个球体，然后将终端名称设置为2。为了计算电容矩阵，我们需要在端子上应用不同的电压或电荷模式。出于教学原因，我们将讨论传统的手动终端扫描，然后再引入comsol®软件5.3版发布的新的，更快的技术。尽管新技术在一系列非常常见的问题中更快，但手动方法更为笼统。

手动终端直接在静电界面。

宣布扫描参数名称在里面全局参数部分 （portname默认情况下），然后您可以运行参数扫描portname。

在模型中，comsol多物理软件将一个终端设置为1 V，并且在扫描期间将所有其他终端设置为接地，从而导致以下两个解决方案：

您可以使用结果>全球矩阵评估在不同符号中提取电容矩阵，包括麦克斯韦电容矩阵和相互电容矩阵。

在这个简单的例子中，他们的关系是

如果要设置电荷端子而不是电压端子，则主要解决方案是逆电容矩阵。有一组转换可以帮助您将电荷转换为上述矩阵。

使用固定源扫描和边界元素方法增长速度

在Comsol Multiphysics版本5.3中，我们引入了许多强大的新建模方法。与电容矩阵计算特别相关的一项功能是新的固定来源清扫学习步骤。

与手动终端扫描相反，该终端使用参数扫描portname，这项新技术解释了以下事实：在静电系统上应用不同的电荷或电压模式不会改变基础FEM方程的系统矩阵，而只会改变其负载。这意味着矩阵只需要一次倒置一次，并且可以在所有其他负载情况下重复使用。这种方法可以大大减少计算时间，尤其是当需要大量的终端数量或其他参数扫描（例如，对于几何形状）时。

即使对于中等数量的终端，触摸屏仿真器仿真应用程序，速度增长令人惊讶：对于此型号，我的机器上可以达到7.8倍的DOF！

新的电容位置传感器教程模型使用固定来源清扫学习步骤。

固定的源扫描也更容易设置。无需激活手动终端并定义一个portname变量和参数扫描。您需要做的就是选择一个学习步骤。默认情况下，该研究将贯穿所有终端。另外，您可以定义要涵盖的指定资源。

如果固定源扫描如此强大，那么为什么我们要保持传统方法呢？

在某些情况下，我们感谢对系统矩阵的重新计算；例如，在非线性或多物理问题中，或者应针对每个终端配置对网格进行调整。在这种情况下，手动终端扫描是一种更好的方法。

comsol®软件的5.3版带有的另一个功能功能是静电中的边界元素方法（BEM）。与FEM相比，在所有域中需要网格（包括周围空气域）的网格，BEM避免在无限的空隙中划分，从而减少了DOF的数量。您可以在静电和电容矩阵计算中了解更多有关将BEM组合在使用BEM教程对电容位置传感器进行建模。

等不及要了解有关新BEM实施的更多信息？阅读有关该方法如何有助于简化腐蚀建模的信息以前的博客文章。

关于电容矩阵计算的总结想法

在这篇博客文章中，我们研究了电容矩阵的计算，讨论了不同的术语，并为具有封闭形式解决方案的众所周知问题提供了数值解决方案。虽然此处介绍的简单模型可以为您自己的模型提供参考，但版本5.3中发布的新功能可以帮助您更有效地创建具有许多终端和其他参数扫描的大型模型。

其他资源

• 浏览这些有关电容和BEM的博客文章：
  • 分析消费电子中的电容触摸屏
  • 使用应用程序的简化电容触摸屏设计
  • 边界元素方法简化了腐蚀建模

参考

1. De Queiroz，A.C.M。，2003年，“电容计算“。
2. Lekner，J。，2011年，“两个球体的电容系数”，静电学杂志69（1）：11-14。