两点之间的最短路线不一定是直线。如果按最短的路线，我们的意思是要花费最少的时间从A点到B点，并且两个点处于不同的海拔，则由于重力，最短的路线是Brachistochrone曲线。在这篇博客文章中，我们演示了如何使用内置的数学表达式和COMSOL多物理学中的优化模块来求解Brachistochrone曲线。
查找臂杆菌曲线
想象一下，让大理石向下滚动弯曲的坡道，例如在溜冰公园中看到的坡道，并测量大理石从点A点滚动到点B的时间。我们的目标是重新设计这两个点之间的坡道形状，因此，大理石之间的旅行时间最短。为简单起见，我们考虑了忽略摩擦并且大理石无限小（点质量）的理想情况。
这Brachistochrone曲线是一条理想化的曲线，可提供最快的下降。实际上，对这种情况有一个分析解决方案，或者在某些派生工作中，我们可以使用COMSOL多物理学的PDE功能来解决该问题。但是，由于我是“坚信最少动作原则”，这是一种说“懒惰的物理学家”的方式，因此我们将使用优化模块。
设置comsol多物理模型
假设我们问题的点A位于原点（x，y）=（0，0），则腕骨的分析解是此形式的参数曲线：
（1）
x（t）＆=＆r（t-sin（t））\\
y（t）＆=＆r（-1+cos（t））
\ end {align*}
在哪里参数r是常数和参数t是参数曲线的运行参数，并且与ta到TB沿着曲线。通常，当我们解决此问题时，我们将获得点B的位置并解决r和t。
在这里，我们将从腕足激素的分析解决方案开始r和t这为我们提供了点B的位置。我们将展示如何使用COMSOL多物理和优化模块中的优化功能近似此分析解决方案。
我们将从空白模型开始。实际上，我们不会在模型构建器中添加任何“组件”。不需要几何，物理或网格。这是“没有模型的模型”的有趣示例。
首先，我们定义一组全局参数。我们设置常数参数r到1和价值TB对于B点1.2 \ pi。（请记住，A是起源，如此隐式ta = 0。）B点的位置（XB，YB）然后可以使用等式计算。（1），如下面的屏幕截图所示。
接下来，我们使用插值函数来近似腕骨曲线曲线。我们定义X- 几个插值点的位置为x1〜x4并给予y- 位置（Y1〜Y4）最初的猜测，使得插值点始于点A和点B之间的一条直线。
该插值函数可以如下屏幕截图所示。
您可以单击创建图按钮生成插值功能的图。为了清楚起见，请删除两个外推图。接下来，将分析解决方案的线图添加到同一绘图组中，以与稍后的数值解决方案进行比较。
要创建参数曲线的图，请首先在全局定义节点下创建虚拟分析函数，将参数的上限设置为TB（在“绘图参数”部分下）。该分析功能的唯一目的是提供t0和0和TB为了我们绘制参数曲线。点击创建图并拖拉结果线图1在......之外1D情节组2然后进入1D情节组1（其名称将自动更改为线图2）。为了y- 轴数据，输入与等式相对应的表达式。（1）：r*（-1+cos（root.x））。同样，对于X- 轴数据，输入r*（root.x-sin（root.x））。
请注意，comsol多物理变量
root.x这里对应于t等式中的参数。（1）。
点击阴谋按钮。现在，我们有了分析解（绿色曲线）和初始猜测（蓝色曲线和黑点）的图。
计算旅行时间
为了计算大理石从A点滚动到B点的旅行时间，我们使用以下假设：运动是无摩擦的，因此势能中的所有损耗都会变成动能，这与速度的平方成正比。因此，如果曲线由公式表示y = f（x），然后瞬时速度与高度损耗的平方根成正比：v \ propto \ sqrt {0-f（x）}（回想一下，我们假设A点A的原始高度为0）。对于无限运动DX在里面X- 方向，大理石沿曲线行驶的路径长度为ds = dx \ sqrt {1+f'（x）^2}。行进长度所需的时间仅仅是长度除以速度d \ tau = ds/v。因此，我们在任何给定曲线的总旅行时间中获得了表达式y = f（x）：
我们现在要做的就是让comsol软件找到最小化该表达式的曲线。
您可能已经注意到我们使用“与成比例的”符号（\ propto）在旅行时间的表达中，因为我们忽略了大理石的质量和公式中的重力加速度常数。由于这些数字结合起来仅限于恒定因素扩展旅行时间，因此它们不会影响最小化问题的曲线外观。换句话说，腕骨曲线曲线与大理石的重量无关。
由于我们使用插值功能int1近似曲线F（x），我们可以定义一个全局变量t在旅行时间使用上述公式：集成（SQRT（（1+（D（int1（x），x））^2）/max（0-int1（x），eps）），x，0，xb）。额外的表达max（...，EPS）在分母中，可以防止划分为零的情况，如下所示。
优化求解器
现在，我们准备要求该软件最大程度地减少我们的旅行时间。创建一个空的研究，然后右键单击以在其下添加优化节点。我们可以将坐标搜索，Nelder-Mead，BobyQA或Cobyla优化求解器用于此“无模型”优化问题。科比拉原来是最快的。
在“设置”窗口中，在“部分目标函数”下，输入t对于表达式，默认情况下将最小化。然后，在“部分控制变量和参数”下，使用添加按钮（“加”标志图标）添加参数Y1 -Y4。初始值字段自动填充全局参数表中的相应值。在求解部分时，在输出下，检查阴谋复选框。这些设置显示在下面的屏幕截图中。
点击计算观察优化求解器将插值曲线上下移动，直到达到最小的旅行时间为止。即使使用非常粗的线性插值曲线仅使用四个插值点，下图中的结果也显示出与分析溶液的显着一致性。高阶插值和更多的插值点将进一步改善解决方案。
结论
几年前，我的导师William verterling来自Zink Imaging在午餐时与我们中的一些人聊天，介绍了我们如何使用comsol多物理学来解决任何问题，因为它提供了数学工具来处理科学和技术中遇到的各种方程式。这个想法最终演变成了他的主题演讲。巴别库图书馆”在2012年波士乐动滚球app下载顿Comsol会议上。我们使用了一个“没有模型的模型”的示例来通过利用该软件的内置数学表达式和优化功能来解决Brachistochrone曲线问题。我希望这次演示能够激发对Comsol多物理学的更具创造性的用法，以应对更多的技术挑战。
评论（3）
詹姆斯·弗雷斯（James Freels）
2015年10月21日我第一次看到这个问题，当时在“变异微积分”或有时称为“变异的微积分”（COV）时，我可以准确地解决此问题。我记得COV的是，实际上很少有问题可以通过这种方式解决，但是它确实提供了一种数学基础，可以从中继续进行近似解决方案。确实，可以声称，构成Comsol使用的有限元方法的基础的Garlerkin弱公式可以在COV的框架内被视为。因此，非常有趣的是，您还使用了COMSOL优化模块来通过离散方法解决Brachistochrone问题。再一次，这证明了Comsol中可用的真正力量。顺便说一句，该COV课程的讲师是机械工程学教授，他还教了自然的对流传热。
刘刘
2015年10月22日亲爱的詹姆斯，
是的，这篇文章的目的是证明COMSOL提供了“解决任何问题”的工具，并且优化模块为用户可用的工具箱增加了更多的武器库。感谢您分享您对此的个人观点。我们真的很感激！
真挚地，
基恩
El-Jallal说
2016年4月26日嗨，李刘，大嗨，每个人，
我尝试使用弱形式来计算复杂的K光子带图（请参阅纸质波纹管）。我到达定义弱形式和所有参数，但是我的问题是如何定义定期功能h的浮点边界条件。结果我发现的是错误的，我不知道哪里错了。
纸：https://www.osapublishing.org/oe/abstract.cfm?uri=oe-19-20-19027
对于周期性的条件，这就是我所做的：
*在定义中 - >线性挤出1：我将名称（linext1）放置，然后选择一个脸（垂直于x）以及所有源和目标垂直。
*我重复相同 - > Linear挤出2：linext2。我选择一张脸（垂直于y）以及所有源和目的地的脸。
*我重复相同 - > Linear挤出3：linext3。我选择一张脸（垂直于z）以及所有源和目的地的脸。
开始，
*在定义中 - >变量：选择第一张面，我定义：extrcpl_source_pconstr1x = hx，extrcpl_source_pconstr1y = hy，extrcpl_source_pconcons_pconstr1z = hz，
*我转到现在是目的地的另一个变量：定义 - >变量：选择我定义的第一张面孔：pconstr1x = linext1（extrcpl_source_pconstont1x）。
我重复了两个方向的重复（两个变量，一个first facttrcpl_source_pconstons1x = hx…而另一个pconstr1x = linext1（extrcpl_source_pconstons1x）…）。
结尾。
这是定义我的周期函数h的浮点边界条件的权利。
如果有人有一个主意，我将不胜感激。
十分感谢。
诚挚地。
说。