在本系列的上一部分中，我们解释了建模现实世界带电颗粒梁的释放和传播所需的两个概念。我们首先以纯粹的数学意义引入了概率分布函数，然后讨论了特定类型的分布类型 - 带电颗粒光束在2D中的横时空间分布。现在，让我们结合我们所学的知识，并找出如何从该分布中采样3D光束颗粒的初始位置和速度。
审查2D相空间分布和椭圆形
首先，让我们简要回顾2D中的阶段空间分布和椭圆，这两者都在波束物理系列中的相空间分布中的上一篇文章。现实世界中非laminar带电粒子梁中的颗粒在相位空间中占据一个椭圆形的区域。2D中此相空间椭圆的方程取决于光束发射ε和Twiss参数，
（1）
在哪里X和X'分别是粒子的横向位置和倾斜角。Twiss参数与Courant-Snyder条件进一步相关，
（2）
椭圆形中颗粒的实际位置可能会有所不同。相位空间密度的两个最常见的分布是椭圆内的均匀密度和一个高斯分布，在椭圆中心的最大值，这两者都在下面说明。在每种情况下，蓝色曲线是等式中描述的相空间椭圆。（1），ε是4-RMS横向发射。对于高斯分布，请注意，一些颗粒仍然位于椭圆外。由于高斯分布逐渐减少而不完全达到零，因此无论其绘制多大，都有可能位于椭圆外的几个颗粒。当使用4-RMS发射率定义等式中的椭圆时。（1），大约86％的颗粒位于椭圆形内。
比较均匀和高斯分布的比较。
让我们考虑一个更简单的情况，在这种情况下，在椭圆内部空间中的任何点找到粒子的概率是恒定的，而在其外部则零。对于这个问题，代替等式。（2）进入等式。（1）并解决X'产量
（3）
然后是概率分布函数
（4）
\ begin {array} {cc}
c＆ - \ frac {\ alpha x} {\ beta} - \ frac {\ sqrt {\ varepsilon \ beta -beta -x^2}}} {\ beta} \ beta} \ textless x'\ textless x'\ textless-\ beta} + \ frac {\ sqrt {\ varepsilon \ beta -x^2}}}} {\ beta} \\
0＆\ textrm {否则}
\ end {array} \ right。
在哪里常数C取决于椭圆的大小。概率g（x）具有给定的粒子X- 坐标为
考虑等式的位置。（3）可以实现实际价值，我们得到
\ begin {array} {cc}
2c \ frac {\ sqrt {\ varepsilon \ beta -x^2}}}} {\ beta}＆ - \ sqrt {\ varepsilon \ beta} \ beta} \ textless x \ textless x \ textless \ textless \ sqrt \ sqrt \ sqrt {
0＆\ textrm {否则}
\ end {array} \ right。
或者，更简单，
（5）
假设我们有一系列模型粒子，我们希望使用等式给出的概率分布函数进行采样。（4）。更具体地说，我们希望根据等式首先采样粒子的初始横向位置。（5）然后分配适当的倾斜角，使粒子位于相空间椭圆内。实现此目的的一种方法是计算从等式开始的累积分布函数。（5）然后使用反随机抽样的方法。另一个可能的方法是使用等式。（5）为了定义颗粒的密度，我们可以直接进入进口和发布粒子跟踪界面中的特征。在这种情况下，归一化是自动完成的。
屏幕截图显示了如何在入口特征中输入粒子密度。
不过，最方便的方法是使用粒子梁可用的功能带电的粒子跟踪物理接口。粒子光束特征会自动在相空间中分布颗粒，使您可以指定光束中心，发射率和三丝参数的位置。
屏幕截图显示了如何在粒子束特征中输入粒子密度。
在3D中模拟带电的粒子梁
到目前为止，我们仅将带电的粒子梁视为理想化的片梁，在平面外（y）横向位置和速度的组件可以忽略。但是，真实光束在3D空间中传播，并且仅在两个横向方向上延伸有限距离。因此，为了获得光束的完整图片，我们必须考虑两个正交横向方向X和y以及倾斜角度x'= v_x/ v_z和y'= v_y/v_z。
粒子光束在3D空间中传播。
模拟粒子束在3D中释放的原因比2D中更为复杂，这是两个横向的自由度通常耦合在现实世界梁中。例如，假设两个粒子在相同的横向位置释放，即相同X- 和y- 坐标。假设这些粒子之一的倾斜度很大X方向 （X'），另一个粒子在X方向。具有较大倾斜角的粒子X方向更有可能在y方向，反之亦然。因此，我们不能仅从两个不同的分布中进行采样X'和是的因为每个值的值会影响对方的概率分布。
要从更抽象的意义上讲这个问题：我们实际上需要使用相位空间的分布来考虑四个维度的分布，而不是将两个横向方向视为单独的2D相空间椭圆！由于我们习惯于仅在2D或3D中看到对象，因此具有三个以上空间维度的分布很难可视化。
这是粒子梁特征最有用的地方。它包括用于从各种内置4D横断相空间分布中抽样初始粒子位置和倾斜角的设置。一些共同的分布是Kapchinskij-Vladimirskij（KV）分布，水袋分布，抛物线分布和高斯分布。首先，让我们考虑最简单的分布，KV分布，然后可视化该组中的其他分布。
从数学上讲，KV分布认为梁颗粒在相位空间中均匀分布在无限薄的4D高层状体上。写为
+\ left（\ frac {r_x x'-r'_x x} {\ varepsilon_x} \ right）^2
+\ left（\ frac {y} {r_y} \ right）^2
+\ left（\ frac {r_y y'-r'_y y} {\ varepsilon_y} \ right）^2 = 1
在哪里rX和ry是光束中的最大范围X和y方向，εX和εy是与两个横向方向相关的光束发射率，并且r’X和r’y是光束信封边缘的倾斜角。
因为比较低维度的函数可视化4D概率分布函数要难以可视化，因此通常可以通过将其投影绘制到较低的尺寸来间接地可视化分布。KV分布的一个有趣特性是，其投影在任何2D平面上都是均匀密度的椭圆。对六个这样的飞机的投影如下所示。4D高甲型的投影在X-X’和Y-Y’平面倾斜，因为已经为Twiss参数指定了非零值α在每个横向方向上。
KV分布投影到六个2D飞机上。
将上面显示的分布与以下替代方案进行比较。
水袋，抛物线和高斯分布投射到六个2D飞机上。
我们看到，在所有情况下，对任何2D平面的投影构成椭圆形分布，但是椭圆形仅在KV分布中均匀地填充。
关于建模带电粒子梁的结论想法
即使这个关于建模带电粒子梁的博客系列即将结束，我们也只刮过了光束物理的复杂且技术性高度的领域的表面。虽然我们已经讨论了3D的横时空间分布，但我们尚未检查纵向发射或束相关现象。我们也没有对导致发射量增加，减少或保持恒定的现象进行分类，随着光束的繁殖。
该系列的介绍是对概率分布函数的随机或伪随机采样方式的介绍，在捕获高能离子和电子束的现实世界物理学中起着重要作用。为了更全面地概述光束物理学，参考文献1-3提供了一个极好的起点。有关上述4D横断面空间分布中每个分布的每个技术细节，包括从这些分布中抽样伪数编号的算法，请参见参考文献4-7。要了解有关这些概念如何应用于comsolMultiphysics®软件如何应用的更多信息，请浏览以下特征或联系我们指导。
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参考
- 汉弗莱斯，斯坦利。带电粒子加速的原理。Courier Corporation，2013年。
- 汉弗莱斯，斯坦利。带电的粒子梁。Courier Corporation，2013年。
- 戴维森，罗纳德·C和洪秦。高能量加速器中强电荷颗粒梁的物理学。帝国学院出版社，2001年。
- 隆德（Lund），史蒂文·M（Steven M.“生成初始vlasov分布，以模拟具有高空间充电强度的带电粒子梁。”物理评论特殊主题 - 加速器和光束，卷。12，N/A，2009年11月19日，第114801页，第12页，第1期。UCRL-JRNL-229998（2007）。
- 隆德（Lund），史蒂文·M（Steven M.“生成初始动力学分布，以模拟具有高空间充电强度的长脉冲带电粒子梁。”物理评论特殊主题 - 加速器和光束，12，不。11（2009）：114801。
- Batygin，Y。K.“ 4D相空间中的粒子分布发生器。”计算加速器物理，卷。297，没有。1，第419-426页。AIP出版，1993年。
- Batygin，Y。K.“线性加速器和光束线中的光束动力学模拟的粒子粒子代码梁路径。”物理研究中的核仪器和方法。A节：加速器，光谱仪，探测器和相关设备539，no。3（2005）：455-489。
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