平面应力与平面应变的区别是什么?

2021年5月20日

我们生活在一个三维世界——如果考虑到时空的话,也许是四维世界。然而,在工程分析中,通常使用2D近似来节省建模和计算资源。在这篇博文中,我们将着眼于何时以及如何使用二维公式来研究固体力学领域中的问题。

2 d是什么?

在现实生活中,没有多少东西是二维的。例如,当我们在二维中研究电缆横截面周围的电磁场时,我们实际上是在说:“这条电缆又直又长。距离两端足够远时,电场只取决于横截面上的位置。”对于大多数物理问题,这是这样的想法:在二维近似中,我们研究一个长而直的物体的横截面,忽略端点效应。

两根不同电势的长电缆周围的电势和电场的二维图,用红色和蓝色的梯度以及黑色的箭头显示出来。
在二维中计算的两根具有不同电势的长电缆周围的电势(颜色代码)和电场(箭头)。

两根电缆模型的横截面视图,长、直、平行,以蓝色和红色显示,周围区域以灰色显示。
横截面代表了电缆长、直、平行的情况。

为什么固体机制特别?

在固体力学领域,二维状态比很长时间的挤压有更多的可能性。例如,我们可以把一个只在其平面上加载的薄而平的平板看作是二维的。那么,固体力学有什么特别之处使其成为可能呢?

考虑对同一平板进行传热分析。在这种情况下,来自大表面的对流和辐射将发生在平面外方向。其次,厚度方向的温度梯度是重要的。因此,薄板传热的二维近似是比较困难的。类似的推理可以应用于许多其他物理现象。

在固体力学的情况下,也有在平面外方向的影响。薄板一般会在横向上变形。例如,如果你拉伸它,它就会变薄。然而,这并不会直接影响2D问题的解决方案。厚度变化是可以计算的结果后验,万一你有兴趣。这将在下面更详细地讨论。

固体力学的不同2D公式

在下一节中,假设2D表示xy飞机,z是平面外方向。位移中的流离失所xy-plane被称为uv分别为w位移是在z方向。

需要注意的是,如果平面内和平面外作用之间没有耦合(例如,当线弹性材料的泊松比为零时),那么所有的公式将是相同的。

平面应变

平面应变是二维固体力学中唯一不含近似的公式。平面应变状态将存在于受约束的物体中z两堵刚性墙之间的方向。这也是在概念上与其他物理领域的2D公式有最佳对应关系的公式。然而,对象并不必须是“长”的z方向。这是大多数其他物理领域的2D近似值的根本差异。

假设很简单:在z方向。

\ [
数组{\开始{}{* {10}{l}}
U& =&u \左(x,y \右)\\
V& =&v \左(x,y \右)\\
w =四维
结束\{数组}}
{\}
\

这同样可以用应变来表示:

\ [
数组{\开始{}{* {10}{l}}
U& =&u \左(x,y \右)\\
V& =&v \左(x,y \右)\\
\ varepsilon_ {zz} & = & \ varepsilon_ {xz} & = & \ varepsilon_ {yz} & = & 0
结束\{数组}}
{\} \]

注意,为了完全避免最终效果,实际上假设刚性墙壁上的边界条件是滚子类型,使得位移中的位移xy-平面不受抑制。如果不是这样,那么我们又回到了我们研究长物体的情况,远离终点。

平面应力

在平面应力公式中,假定三个应力张量分量与z方向为零。这是薄板的一个很好的近似,但只有在厚度趋近于零的极限时才完全正确。

\ [
数组{\开始{}{* {10}{l}}
U& =&u \左(x,y \右)\\
V& =&v \左(x,y \右)\\
z \ sigma_ {} & = & \ sigma_ {xz} & = & \ sigma_ {yz} & = & 0
结束\{数组}}
{\} \]

在自由表面上,平面应力的局部状态总是存在的,因为这正是边界条件。这就是平面应力假设如此有效的原因——它在板的两侧都是完全正确的,只要厚度很小,就没有意义z方向应力将在内部产生。

广义平面应变

不幸的是,广义平面应变没有唯一的定义,但这通常意味着普通平面应变公式的一些假设是松弛的。假设整个应变张量是非零的,但仍然取决于xy.然后可以示出以下位移字段以提供这种应变张量:

\ [
数组{\开始{}{* {10}{l}}
U&=&u \ left(x,y \右) - \ frac {a} {2} z ^ 2 \\
V& =&v \left (x,y \right) - frac{b}{2} z^2 \\
W&=&\ left(ax + by + c \右)z
结束\{数组}}
{\}
\

在这里,一个b,c是常数。无限小的面外应变将是

\ [
数组{\开始{}{* {10}{l}}
\ varepsilon_ {zz}&=&ax + by + c \\
\ varepsilon_ {xz} & = & \ varepsilon_ {yz} & =四维
结束\{数组}}
{\}
\

z= 0平面,在这里进行分析,w是零。因此,位移场仍然只有两个分量,uv,有待解决。然而,有三个新的未知因素,一个b,c.在广义平面应变的一般解释中,只有系数c使用。在物理上,这意味着长物体可以轴向膨胀z方向。如果参数一个b也包括,挤出也允许弯曲与一个恒定的曲率。的值一个b,c假设没有净轴力或弯曲时刻在横截面上采取的假设确定;也就是说,目的是免费的。

当您在COMSOL Multiphysics中选择广义平面应变选项时,您可以在纯轴向扩展假设和包含弯曲之间进行选择。

固体力学功能的设置窗口的截图,域选择,2D近似和厚度部分展开。
选择广义平面应变。

还有其他有时称为广义平面应变的制剂。例如,平面外剪切菌株,\ varepsilon_ {xz}\ varepsilon_ {yz},可以允许为非零。这样的提法,连同\ varepsilon_ {zz} = 0,用于2D版本的弹性波,时间显式接口。

本构模型

在线弹性假设下,胡克定律可以专门用于平面应变和平面应力。胡克定律的完整三维形式是

\ [
数组{\开始{}{* {10}{l}}
\ sigma_x & = & \压裂{E}{1 + \ν}\离开(\ varepsilon_ {xx} + \压裂{\ν}{2 \ν}\离开(\ varepsilon_ {xx} + \ varepsilon_ {yy} + \ varepsilon_ {zz} \) \) \ \
\ sigma_y & = & \压裂{E}{1 + \ν}\离开(\ varepsilon_ {yy} + \压裂{\ν}{2 \ν}\离开(\ varepsilon_ {xx} + \ varepsilon_ {yy} + \ varepsilon_ {zz} \) \) \ \
\ sigma_z & = & \压裂{E}{1 + \ν}\离开(\ varepsilon_ {zz} + \压裂{\ν}{2 \ν}\离开(\ varepsilon_ {xx} + \ varepsilon_ {yy} + \ varepsilon_ {zz} \) \) \ \
\tau_{xy} &=& 2G \varepsilon_{xy} \\
\ ta_ {yz} &=& 2G \varepsilon_{yz} \\
\ tau_ {xz}&=&2g \ varepsilon_ {xz} \\
结束\{数组}}
{\}
\

在这里,E是杨氏模量,ν是泊松比,G是剪切模量。

平面应变

平面应变情况是平凡的;只需要从3D公式中去掉三个为零的应变分量,

\ [
数组{\开始{}{* {10}{l}}
\ sigma_x & = & \压裂{E}{1 + \ν}\离开(\ varepsilon_ {xx} + \压裂{\ν}{2 \ν}\离开(\ varepsilon_ {xx} + \ varepsilon_ {yy} \) \) \ \
\ sigma_y & = & \压裂{E}{1 + \ν}\离开(\ varepsilon_ {yy} + \压裂{\ν}{2 \ν}\离开(\ varepsilon_ {xx} + \ varepsilon_ {yy} \) \) \ \
\ \ sigma_z & = & \压裂{Eν}{(1 + \ν)(1 - 2 \ν)}\离开(\ varepsilon_ {xx} + \ varepsilon_ {yy} \右)& = & \ν\左(右\ sigma_x + \ sigma_y \) \ \
\tau_{xy} &=& 2G \varepsilon_{xy} \\
\tau_{yz} &=& 0 \\
\tau_{xz} &=& 0 \\
结束\{数组}}
{\}
\

平面应力

对于平面应力情况,事实上\ sigma_z = 0可用于消除\ varepsilon_ {zz},给

\ [
数组{\开始{}{* {10}{l}}
\ sigma_x & = & \压裂{E}{1 - \ν^ 2}\离开(\ varepsilon_ {xx} + \ν\ varepsilon_ {yy} \) \ \
\ sigma_y & = & \压裂{E}{1 - \ν^ 2}\离开(\ varepsilon_ {yy} + \ν\ varepsilon_ {xx} \) \ \
\sigma_z &=& 0 \\
\tau_{xy} &=& 2G \varepsilon_{xy} \\
\tau_{yz} &=& 0 \\
\tau_{xz} &=& 0 \\
结束\{数组}}
{\}
\

横向应变(因此厚度变化)可以由解计算为\varepsilon_{zz} = - \nu (\varepsilon_{xx} + \varepsilon_{yy})

然而,在COMSOL Multiphysics®软件中,不使用这种配方。相反,完整的3D胡克定律与一个额外的未知场一起使用\ varepsilon_ {zz}.当然,这增加了问题的总体规模,但好处是巨大的:不需要考虑所有材料模型的特殊平面应力形式,我们不需要修改,例如,热膨胀和类似的特性。如果画出横向应力,\ sigma_ {z},你会注意到这个值不等于零,因为它是根据胡克定律计算出来的。

广义平面应变

这个案子有点复杂。当在本构关系中注入平面外应变假设时,应力分量显式地依赖于坐标xy通过系数一个b,c

\ [
数组{\开始{}{* {10}{l}}
\ sigma_x & = & \压裂{E}{1 + \ν}\离开(\ varepsilon_ {xx} + \压裂{\ν}{2 \ν}\离开(\ varepsilon_ {xx} + \ varepsilon_ {yy} + ax + by + c \) \) \ \
\ sigma_y & = & \压裂{E}{1 + \ν}\离开(\ varepsilon_ {yy} + \压裂{\ν}{2 \ν}\离开(\ varepsilon_ {xx} + \ varepsilon_ {yy} + ax + by + c \) \) \ \
\ sigma_z & = & \压裂{E}{1 + \ν}\离开(ax + by + c + \压裂{\ν}{2 \ν}\离开(\ varepsilon_ {xx} + \ varepsilon_ {yy} + ax + by + c \) \) \ \
\tau_{xy} &=& 2G \varepsilon_{xy} \\
\tau_{yz} &=& 0 \\
\tau_{xz} &=& 0 \\
结束\{数组}}
{\}
\

不可压缩的材料

压缩程度越小,面内和面外作用之间的耦合越强。特别是,许多关于塑性、蠕变和超弹性的模型都假定不可压缩性。当使用这样的材料模型时,所选择的2D假设的效果特别强烈。

我应该选择哪种配方?

让我们研究一个中心有一个圆孔的矩形板的简单情况。从一个非常薄的板块开始,我们将移动到一个较厚的物体,那里的洞更像是一个长钻隧道。

平面内板尺寸为2m × 1m,孔直径为0.4 m。施加1mpa的拉伸载荷。材料数据为钢。平面应力解如下图所示。

对带孔薄板的von Mises等效应力的模拟结果用彩虹色表显示,在两个方向上都有红色箭头。
von使用平面应力假设的相当应力。

在平面应力假设下,横向应力\ sigma_ {z},是零。

接下来,我们转向一个完整的3D解决方案,再次观察相同的对象,但厚度分别为0.1、1和10米。在下图中,横向应力,\ sigma_ {z}绘制。

模拟图的拼贴,其中横向应力与3种不同厚度的板是可视化的彩虹色表。
三种不同厚度的横向应力。

对于薄结构,横向应力可以忽略不计,因此平面应力是一个很好的假设。对于中间厚度,应力状态是完全三维的。对于长物体,除两端外,横向应力是恒定的。请注意,最大横向应力为0.8 MPa,因此与施加荷载相比,它是不可忽略的。

下面,对孔顶应力最大位置的横向应力进行了更详细的研究。

绘制不同厚度板横向应力变化的线形图。
横向应力变化通过厚度。图形的参数是对象的厚度。

可以看出,只要厚度大于等于1 m,就会达到约0.8 MPa的峰值水平。厚度越小,最大横向应力下降越快。

这张图将帮助我们澄清两个常见的误解:

  1. 仅仅因为一个物体在横向上是自由的,并不意味着它处于平面应力状态。
  2. 长物体不一定处于平面应变状态。这只有在两端固定的情况下才成立。

事实是:

  • 具有自由边界的薄物体可以通过平面应力来近似。
  • 具有自由界限的长对象可以远离两端,近似广义平面应变。
  • 一个与面内尺寸厚度相当的物体必须被认为是完全三维的。

实际上,厚度的对象应该被视为在平面应变状态中,可以在教科书和在线的任何地方找到。虽然平面应变是比在这种情况下的平面压力更好的近似,但它仍然不正确。广义平面应变假设更好。

我个人的猜测是,由于使用2D解决方案可以追溯到许多问题是由纸和笔解决的时代,例如,使用艾里应力函数在美国,在平面应力和平面应变之间的选择是实际存在的。使用有限元软件,对于较厚的物体,全3D或广义平面应变是更好的选择。

为什么会发生横向应力?

在上面的例子中,我们已经看到显著的应力在横向方向发展,即使物体在那个方向自由移动。为什么?由于泊松比效应,在平面外方向会有厚度变化。只要在平面内存在应力(和应变)梯度,这种厚度变化就不是均匀的。在应力集中的地方,比如板上的洞,应力最大的地方的材料会比周围的材料更薄。邻近的材料会反对,并试图抑制变形。

模拟结果显示了板模型中两个平面的横向位移变化,用彩虹色表显示,应力集中用红色表示。
远离自由表面(底部)和靠近自由表面(顶部)的横向位移变化。在每个平面上,平均位移被设为零。

在前一节中,我们注意到横向应力的大小随离自由边界的距离而不同。应力分布的细节也与自由表面的距离不同,如下图所示。

仿真结果显示了板模型中两个平面的横向应力分布,以红-蓝梯度显示。
远离自由表面(底部)和靠近自由表面(顶部)的横向应力分布。将两个切面上的应力场按比例调整为峰值相同;接近边界处的实际应力较低。

远离自由表面,横向应力与面内菌株成比例\ \ varepsilon_y varepsilon_x +.由于周围材料的约束作用,整个剖面的厚度基本保持均匀。然而,在接近自由表面的地方,当平面内应变梯度较大时,横向应力反而较高;在这种情况下,靠近洞的边缘。

面内压力怎么样?

只要结构只受到牵引力(而不是规定的位移)的加载,那么平面内的应力状态就独立于二维假设,至少对于线性弹性来说是这样的。然而,这并不是故事的全部。在下图中,x方向应力显示在孔顶部的最紧张位置。

折线图绘制了0.01 m(蓝色)、0.03 m(绿色)、0.1 m(红色)、0.3 m(水色)、1 m(粉色)、3 m(黄色)、10 m(灰色)的水平应力变化,以及2D解的虚线。
通过厚度的水平应力变化。图形的参数是对象的厚度。

可以看出,通过厚度存在显着的变化。对于薄物体,2D值匹配良好,而对于较厚的物体,存在显着差异,特别是在自由表面处。这也对等效的应力有影响。

折线图绘制了0.01 m(蓝色),0.03 m(绿色),0.1 m(红色),0.3 m(水蓝),1 m(粉色),3 m(黄色),10 m(灰色)的von Mises等效应力变化,并虚线为平面应力和应变。
冯米塞斯等效应力通过厚度变化。图形的参数是对象的厚度。

对于较厚的物体,实际等效应力与任何二维解之间存在显著差异。只有在相当厚的物体内部,von Mises应力才会收敛于广义平面应变解。

非弹性压力

在许多情况下,这三种公式之间的区别不像在前面的例子中那样明显,那里有一个显著的应力集中。然而,在某些情况下,你必须特别注意:当非弹性应变很重要的时候。因此,在横向上不仅泊松比对平面内应变起作用。

例如,考虑一下热膨胀。它通常在各个方向都是一致的。这意味着在平面应变设置中,平面外膨胀被抑制,将会有一个强大的横向应力累积。对象中可以自由展开的对象xy-平面将经历横向应力,即∑z = -E T.如果你选择使用平面应力或广义平面应变公式,横向的膨胀是自由的,这个应力将不会出现。

为了说明二维公式在热膨胀情况下的重要性,研究了以下情况xy平面受到温度场的影响,其中温度与xy.最大温度增加(在右上角)是100k。使用钢的材料数据。横向中的应力如下图所示。

不同的模拟图形的温度分布和平面外应力为一个正方形板的模型,可视化的红-蓝和红-白颜色梯度在双y轴。
温度分布和面外应力\ sigma_z对于不同的二维假设。

结果表明:

  • 对于平面应力案例,平面外膨胀是自由的,因此没有诱导压力。
  • 对于平面应变,整个截面承受压应力,为T(x,y) = -E (x,y).应力范围为-245 ~ 0mpa。
  • 对于具有纯延伸的广义平面应变,增加了恒定的应力,使平均值\ sigma_z变成了零。应力范围为-184 ~ 61 MPa。
  • 对于具有弯曲的广义应变,还增加了一个线性变化的应力场。现在应力范围从-61 MPa到61 MPa。

等效应力的注释

两个最常用的标量应力测量是von Mises等效应力和Tresca等效应力。如果我们用主应力表示(∑_1 >∑_2 >∑_3),然后

\ sigma _ {\ mathrm {mises}} = \ frac {1} {\ sqrt {2}} \ sqrt {(\ sigma_1 - \ sigma_2)^ 2 +(\ sigma_2 - \ sigma_3)^ 2 +(\ sigma_1 - \Sigma_3)^ 2}

\sigma_{mathrm{Tresca}} = sigma_1 - sigma_3

可以看出,中间主应力影响von Mises等效应力,但不影响Tresca等效应力。对于二维情况,平面外应力分量\ sigma_z总是主要的重音之一。对于平面应力情况,它是零。对于平面应变的情况,它是\sigma_z = \nu \left (\sigma_x + \sigma_y \right) = \nu \left (\sigma_{1 \mathrm p} + \sigma_{2 \mathrm p} \right)对于线性弹性材料。最后一个表达式包含两个平面内主应力。如果1 \ \ sigma_ {mathrm p}\ sigma_ {2 \ mathrm p}有不同的迹象,然后\ sigma_z为中间主应力,Tresca等效应力不受平面应力与平面应变变化的影响。

由于von Mises等效应力依赖于中间主应力,因此这种不变行为在von Mises等效应力中看不到。

两个结果图显示了平板在平面应力和平面应变下的Tresca和von Mises等效应力值,以蓝白色渐变显示。
平面应力与平面应变条件下的等效应力值之差。特雷斯卡(上图)和冯米塞斯(下图)。注意,在特雷斯卡情况下,大的黑色区域是零差的。

断裂力学注记

在断裂力学中,常用平面应变假设来分析厚板。既然我们已经知道了广义平面应变或全3D是正确的选择,为什么这是可以的呢?

在这种情况下,主要是裂纹尖端的状态是重要的。裂纹尖端处的应变状态是奇异的,因此材料在厚度方向上有很强的收缩倾向。这是阻力周围的材料,形成一个强烈的约束厚度方向位移。因此,接近裂纹尖端的应力状态类似于平面应变。实际上,平面应变解和广义平面应变解在接近裂纹尖端处得到的结果相当相似。这并不是说平面应变在平面裂纹体中是一个很好的近似。实际上,平面应变解在一定程度上低估了整体变形。在大多数板中,应力梯度很小,平面应力是一个更好的近似。

下一步

结构力学模块是COMSOL Multiphysics的附加组件,包括用于建模平面应力和面应变的专门特性和功能。通过点击下面的按钮了解更多关于模块的信息:


评论(6)

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Ivar KJELBERG
Ivar Kjelberg
2021年5月20日

嗨,亨瑞克,
再次感谢您精彩的博客。的确,结构,就像磁场理论和其他一些物理学一样,是一个真正的三维问题,任何二维方法都只是一个近似,但正如你所展示的,通过一些研究,人们仍然可以有效地使用二维结构分析。

And a special thanks for the “Note on Equivalent Stresses” chapter, as really the thermal stress buildup in 2D that one may notice has surprised, and given quite some white hear, to more than one of us, but once understood, it’s rather “evident”.

真诚
Ivar

杰伊•帕克特
杰伊•帕克特
2021年5月27日

很好的文章。关于许多与平面应力和应变有关的话题的很好的陈述。一篇简练的文章能说明很多问题。

Belouadah AbdelHakim
Belouadah AbdelHakim
6月3日,2021年

非常有用的文章,谢谢

Cheol-woong金
CHeolWoong金
2021年7月23日

谢谢你的好文章。
我对COMSOL的平面压力有一个问题。
我能找到额外的变量(e_zz)是如何在COMSOL桌面实现的吗?
当我看到“Linear Elastic Material”下的“Equation view”时,我只找到了wZ的形状函数。
但是,在COMSOL的桌面上,我找不到e_zz应该满足的任何方程。

真诚

Henrik Sonnerlind
Henrik Sonnerlind
2021年7月23日 COMSOL员工

自由度WZ代表(部分)衍生DW / DZ。对于几何线性研究,这与横向菌株E_ZZ相同。

然后将该应变用于一个完整的三维本构关系;最后,平衡采用完整的三维弱表达式,S:test(e)=0。这个和中的一项是S_zz*test(e_zz)由于没有作用于Z方向的负载,这个方程强制S_zz = 0。

注意,仅确定横向应力在弱(有限元)意义上为零。这就是为什么你有时可以在横向上看到很小(但可以忽略不计)的应力。

Cheol-woong金
CHeolWoong金
7月24日,2021年

非常感谢!
我完全明白你说的话。

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