在以前的有关弱者的博客系列中，我的同事Chien Liu引入了固定问题的弱形式和在ComsolMultiphysics®软件中实施它的方法。这篇博客文章是弱形式系列的扩展弱形式PDE界面。如您所见，该过程没有太大变化。允许我们展示…
示例问题：瞬态偏微分方程
让我们考虑一维零件差异给出的初始边界价值问题
（1）
这种差异有边界条件
（2）
和
（3）
以及初始条件
（4）
该方程仅具有一阶时间导数，因此，我们只需要为主变量指定初始值t。对于具有二阶时间导数的方程式，我们必须提供速率的初始条件\ dot {t}也是。
边界条件等式。2是诺伊曼的条件，通常用于描述机械载荷或热通量。零值意味着没有载荷或等效的热绝缘。边界条件等式。3是一种罗宾或混合条件，通常用于描述弹簧边界或对流热通量（请参阅此部分的诺伊曼条件和罗宾条件。以前的博客文章。
获得瞬态问题的弱形式
为时间依赖的偏微分方程（PDE）得出弱形式（PDE）遵循与详细显示的固定问题相同的步骤上一个博客系列的第1部分。回顾一下，我们首先将PDE写为\ Mathcal {l}（t）= 0。在今天的问题中，我们有
接下来，执行\ Mathcal {l}（t）= 0从虚弱的意义上；也就是说，整合了该方程和任何测试功能（也称为加权函数）\ tilde {t}在域上应返回0。第三，应用衍生物的乘积规则和发散定理来减少（削弱）因变量的最高阶空间衍生物t在加权积分中。在1D中，这归结为按部分集成，从而给出弱形式。
因此，繁殖（1）通过测试功能并在域上集成，我们获得了
（5）
通过以最高阶空间导数在产品上应用零件的集成，我们得到
（6）
对于这种弱形式，我们可以合并边界条件以获得
（7）
请注意，时间导数的存在并没有改变我们如何得出弱形式的方式。部分时间导数仅乘以上述推导中的加权函数。弱形式的集成是空间整合，因此，我们不在时间导数上进行任何部分集成。加权功能\ tilde {t}仅是空间坐标的函数，而未知t是空间和时间的函数。
在弱形式pde接口中指定问题
指定瞬态PDE的弱形式涉及以下三个步骤弱形式PDEcomsol多物理学中的接口：
- 输入域贡献
- 进入边界条件
- 指定初始条件
域项已输入弱表达字段设置窗口弱形式PDE 1节点。对于手头的问题，这是测试（T）*TT +测试（TX）*TX， 在哪里测试（t）表示加权（测试）功能\ tilde {t}，对应因变量t。还，TT和TX分别是因变量的时间和空间部分衍生物t。
域术语的实施。
可以使用内置边界条件之一或边界处的弱贡献来指定边界贡献。出于教学原因，我们将使用后者，即使可以使用内置的当今问题中的边界条件指定通量/来源节点。
边界条款的实施。
左边界的贡献为零；我们不必为此做任何事情。右边界的贡献，这是弱形式中的第二项（7），可以输入如下。我们选择第2点边界选择窗口并输入表达式测试（T）*（T-1）在里面表达弱场地。
使用贡献弱节点。
最后一个成分是初始值。我们的问题仅需要对因变量的初始值。因此，我们只需要填写设置窗口初始值节点。在我们的示例中，我们正在考虑统一的初始值。如果不是这种情况，则可以键入包含空间坐标的表达式或函数，而不是数字。
实施初始条件。
现在，我们已经指定了PDE，边界条件和初始条件，在研究设置中剩下要做的就是提供我们想要解决此问题并达到的时间间隔计算按钮。模拟的时间范围为\ left [0，50 \右] S，以及各个时间实例的解决方案如下所示。
在不同时间实例的域沿域的温度变化。
幕后发生的情况会发生什么
我们上面衍生并在Comsol多物理接口中指定的弱形式是一个连续的问题。在内部，这将通过基于在离散化部分设置窗口弱形式PDE界面。例如，对于Lagrange插值函数，该解决方案近似为
在哪里n是我们有限元网格中的节点的数量，并且\ phi_i，i = 1 \ dotsc n定义形状（插值）函数。
如果我们以弱形式替代它，我们会发现我们为节点解决方案提供了一个普通微分方程（ODE）的系统t_i（t），i = 1 \ dotsc n。所有的空间衍生物都转到已知的形状函数。这种ODE系统是通过内置在COMSOL多物理学中的时间集成算法来解决的。（请注意，我们不需要在我们的问题规范中进行任何时间离散；这是在内部进行的。本节仅适用于您的信息。）如果问题是固定的，则方程式是一个代数系统，是节点的代数系统未知T_I。这次，节点未知数不是时间的函数。要了解有关离散化的更多信息，请检查一下关于形状功能和相关离散的博客文章。
关于瞬态问题获得弱形式的总结想法
在这篇博客文章中，我们演示了如何使用The The The The The Transient PDE解决弱形式PDE界面。瞬态问题的弱形式的推导与固定问题完全相同，并且也使用相同的接口。我们只需要指定问题的连续版本。在内部，空间离散是根据在离散化部分设置窗口弱形式PDE界面和时间离散化是根据软件选择的默认时间集成算法进行的。如果我们有充分的理由，我们可以通过去改变时间离散算法求解器配置节点。问题规范保持不变，因为我们指定连续版本而不是离散版本。
进一步阅读
在此博客系列中了解有关弱形式的更多信息：
评论（1）
陶菲克·纳桑（Taofik Nassan）
2018年10月17日不错的博客，但是这里一个问题，
我知道，在准备弱形式时，我们只对减少较高衍生品的顺序感兴趣，而无需触摸第一衍生物。例如，如果我将对流术语添加到上述方程式中，我们将不整合它，对吗？