Bose-Einstein凝结是一种量子机械现象，其中宏观数量的玻色子（如光子或氦4）占据了相同的量子状态，从而导致超过，超导性和激光等效果，并且最近在被困的稀释冷稀释的冷冷稀释中实现了。原子。当这种系统受到旋转扰动而不是整体旋转时，就会形成涡旋晶格。在这里，我们介绍了一个模型，用于模拟涡旋晶格编队的迷人过程，该过程符合ComsolMultiphysics®软件的5.6版。
Schrödinger方程物理接口
这Schrödinger方程物理界面可在半导体模块中获得，这是Comsol多物理的附加组件。在最简单的用例中，它描述了在势能景观的影响下，非偏移粒子的动力学。（（参考。1）使用包络函数近似，它可用于建模量子限制的固态系统，例如量子井，电线和点。（（参考。2）通过铸造成毛的形式参考。3和4），正如我们在此博客文章中显示的那样，它也可以用来模拟玻色传感系统。
涡旋晶格组实验
麦迪逊，雪佛兰，布列汀和达利巴德在2001年发表了他们的实验工作（参考。5）显示了一系列引人注目的图像（图3中的图3）生动地证明了在被旋转激光场搅动的玻色 - 因斯坦冷凝水原子云中涡旋晶格的成核和形成。在同一图中，他们还绘制了椭圆度的时间演变| \ tilde \ alpha |（看等式。（7）下面），显示初始振荡，然后崩溃| \ tilde \ alpha |当系统经历动态不稳定性时期，然后以涡旋晶格的低能状态沉降，直至接近零。
麦迪逊等人的实验论文的图3。（（参考。5）。
主要的诱捕电位的特征是横向和纵向诱捕频率\ omega_t和\ omega_z：
在哪里m是原子质量。
捕获频率的比率\ lambda \ equiv \ omega_t/\ omega_z为9.2，如图3的图表中所示参考。1。
旋转激光场的光电位可以通过
（2）
在哪里X和y轴以频率旋转\欧米茄周围z-轴。
总潜力v_ {陷阱}+v_ {laser}然后以诱捕频率为特征\ omega_ {x，y}^2 \ equiv \ omega_t^2（1+ \ epsilon_ {x，y}）和\ omega_z。
可以调整激光场以产生纵横比的不同值\ Epsilon， 定义为
（3）
特征频率参数\ bar \欧米茄被定义为
（4）
作为旋转频率的参考\欧米茄：\ omega \ equiv \ tilde \ omega \ bar \ omega。
例如，图3 in参考。1由\ tilde \ omega= 0.7。此外，\ bar \欧米茄也用于量化椭圆度| \ tilde \ alpha |，很快将在下面详细介绍。但是，实验是用纵横比进行的\ Epsilon在时间演变中上下倾斜。因此，价值\ bar \欧米茄如果定义（4）用于任何组合\ epsilon_x和\ epsilon_y。
保持恒定价值\ bar \欧米茄作为旋转频率的可靠参考\欧米茄和椭圆度| \ tilde \ alpha |，我们使用恒定值0.03和0.09用于\ epsilon_x和\ epsilon_y评估时\ bar \欧米茄在模型中。0.03和0.09的参考值基于同一组的早期实验论文，与参考。2。
最后，椭圆度| \ tilde \ alpha |定义如下。托马斯 - 费尔米剖面很容易近似捕获的冷凝水的密度曲线：
（5）
在哪里\ mu_ {tf}是化学势（在托马斯 - 费尔米近似中）吗？g = 4 \ pi \ hbar^2a/m是由散射长度设置的耦合常数一种（= 5.5 nm87| f = 2中的rb，mf = 2>基态）。
参数\α根据横向大小定义（r_x和r_y）密度曲线由等式。（5）多于：
（6）
然后椭圆度参数\ tilde \ alpha被定义为
（7）
理论
在此模型中，我们遵循Tsubota等人的理论方法。（（参考。2）通过在旋转框架中求解旋转框架的总pitaevskii方程来模拟这种壮观的时间演变过程（现象阻尼（参考。3）：
（8）
在哪里\伽玛是阻尼系数，\亩是始终调整的化学潜力参数，以保留冷凝物原子的数量，并且- \ Omega l_z = i \ hbar \ omega（x \ partial_y-y \ partial_x）是旋转框架中的离心项。
Choi等。（（参考。3）提供了一个公式来估计阻尼系数\伽玛：
（9）
在哪里K_1是一种修饰的贝塞尔功能，我们假设冷凝水及其周围热原子之间的平衡。
Thomas – Fermi近似提供了许多重要参数的良好估计，例如阻尼系数\伽玛。这里总结了圆柱对称陷阱中的峰密度和大小参数：
（10）
\ rho_0 \ equiv \ frac {\ mu_ {tf}}} {g}＆= \ frac {15n} {8 \ pi r_r^2 rz}
r_r＆= \ left（\ frac {15g \ omega_z n} {4 \ pi m \ bar \ bar \ omega^3} \ right）^{1/5} \\ \\
r_z＆= \ left（\ frac {15g \ bar \ omega^2 n} {4 \ pi m \ omega_z^4} \ right）^{1/5}
\ end {align*}
在哪里n是冷凝物中的原子数。
建模涡旋晶格形成
模型参数
总pitaevskii方程（8）可以使用Schrödinger方程物理接口半导体模块。构建模型时，我们特别注意将模型参数与实际实验条件匹配参考。1，导致与已发布数据的模拟时间演变达成了良好的一致性。
根据Bretin的论文，激光场瞬间打开，之后纵横比\ Epsilon在20毫秒内升高，然后保持常数300毫秒。因此，在模型中，我们始终保持激光场并使纵横比\ Epsilon与时间相关。要在时间依赖性和固定研究之间共享相同的公式，我们使用相同名称定义时间参数t作为时间依赖性研究的内置时间参数。坡道持续时间为20毫秒和300毫秒的关闭时间定义为参数tau和T_OFF， 分别。然后，我们定义一个步骤函数以升高纵横比\ Epsilon，假设相同的坡道停机时间为20 ms。公式
EPST = 0.032*step1（（（t+tau）/tau）*（1-step1（（（t-t_off）/tau）））
设置使坡道上升以-20毫秒开始，并在时间完成t= 0\ Epsilon设置为0.032，它基于两者中的文本参考。1和Bretin的论文。
从论文中尚不清楚激光场的半隔轴和半轴轴是否随纵横比而变化\ Epsilon。但是，假设椭圆形的面积在坡道期间保持恒定，这似乎是合理的。因此，我们获得了以下公式\ epsilon_x和\ epsilon_y来自搅拌激光场的光电位的参数：
EPSX =（EPST+SQRT（0.03*0.09+EPST^2-0.03*0.09*EPST^2））/（1-EPST），，，，
EPSY =（-EPST+SQRT（0.03*0.09+EPST^2-0.03*0.09*EPST^2））/（1+EPST）。
准备好这些纵横比参数，如图所述输入陷阱参数实验部分。选择冷凝物中的原子数为1.5E5，这与实验范围一致，并且最适合实验中的涡旋数量。用于估计阻尼系数\伽玛，根据参考。1。
由于我们使用2D模型近似3D冷凝物，因此我们采用Thomas -Fermi公式（10）计算合理的平面外厚度。选择平面外厚度的标准，以使2D模型中的峰值密度匹配托马斯 - FERMI峰密度，我们获得了以下平面外厚度的公式l：
（11）
初始固定条件
首先，用与相关模型示例相同的方式使用两个研究的固定状态用于使用两项研究。Bose -Einstein凝结的毛– Pitaevskii方程。这会产生随后的瞬态研究的初始条件。
对于相互作用的能量项g | \ psi |^2在（8），内置变量schr.pr除非平面厚度l给出3D的粒子密度。（请注意schr.pr从常规的schrödinger方程中，与通常的“概率密度”不同。在这里，因变量\ psi表示总pitaevskii冷凝水订单参数和schr.pr（（\ equiv | \ psi |^2）代表2D原子密度。）在全局方程式中，用于波函数n = \ int | \ psi |^2在固定研究中，总能量由Thomas -Fermi化学势缩放\ mu_ {tf}因此，要解决的全局变量是团结的顺序。
下图比较了所得的粒子密度曲线X- 带有托马斯 - 费尔米近似的轴。他们同意，正如预期的那样。
粒子密度曲线的计算固定解X- 轴（蓝色）和托马斯 - 费尔米近似（绿色）的轴。
旋转框架，耗散和归一化
获得固定溶液后，为时间依赖性研究添加了更多的物理特征。特别是，使用了Comsol Multiphysics版本5.6的两个功能。一个是旋转框架功能，如下屏幕截图所示。
设置窗口旋转框架特征。
对于这样的2D模型，旋转轴固定在平面外方向上。对于3D型号，用户可以在任意方向上选择轴。
另一个是耗散现象学阻尼的特征，这对于系统放松到涡旋晶格的低能状态至关重要。请参阅下面的屏幕截图。
设置窗口耗散特征。
下列的参考。2与固定研究类似，使用一个全局方程来通过调整化学电位来维持冷凝物中的原子数量，并且要解决的全局变量与托马斯 - 费尔米的能量尺度的统一范围缩放到统一的顺序化学潜力\ mu_ {tf}。
动态不稳定性
在沉降到低能涡流晶格状态之前，该系统经历了动态不稳定性的时期。从运行到运行，这种物理过程的随机性质导致模拟时间历史记录有显着变化。生成的晶格中的涡旋数也可能有所不同。为了提高数值收敛，对求解器设置进行了一些调整。由于初始条件是固定研究的物理解决方案，因此可以禁用一致的初始化。它通常有助于将代数状态排除在误差控制之外。具有大量迭代的自动牛顿方法有助于穿越不稳定的时期，当时非线性很严重。
下面的动画显示了计算的粒子密度曲线随时间的函数。在凝结物的最初振荡/旋转时期后，涡旋开始在外围形成。动态不稳定性时期随机移动。（在此期间，动画放慢了速度。）最终，系统沉降到涡旋晶格的低能状态。欣赏表演吧！
计算的粒子密度曲线随时间的函数。
下图显示了动画中的一些快照。
计算的粒子密度曲线随时间的函数。
由于实验设置中光学成像系统的实际限制，因此无法获得密度曲线的图像，如上图所示，在原子仍被捕获时。取而代之的是，在实验中，原子从陷阱中释放出来，并允许云自由膨胀25 ms，大小约为300 um。自由扩展之前和之后，云的长宽比也发生了巨大变化。最初的雪茄形状变成了最终的煎饼形状，在膨胀之前和之后，长尺寸和短尺寸交换。当将模拟的陷阱密度曲线与已发布后扩张原子云的图像进行比较时，您应该牢记这一点。
结果分析
动画和图表中显示的时间演变过程可以蒸馏到单个椭圆时参数| \ tilde \ alpha |，通过将粒子密度曲线拟合到简单函数以提取椭圆的主要和次要轴来获得r_x和r_y然后申请等式。（7）。对于上图中显示的模拟陷阱密度曲线，托马斯– FERMI近似提供了良好的拟合函数。通过将其拟合到每个时间点的密度曲线，我们可以计算椭圆度参数| \ tilde \ alpha |作为时间的函数。下图显示了结果（蓝点）。初始振荡的时间尺度和最终的崩溃| \ tilde \ alpha |与图3所示的数据非常吻合参考。1。幅度略有不同，但这是可以理解的，因为如上所述的自由膨胀之前和之后可能的形状变化。
每个原子的椭圆度参数和角动量（单位\ hbar）。
另一个重要参数是表征从振荡/旋转全云到涡旋晶格的过渡的另一个重要参数是角动量，该角度也绘制在上图（绿色曲线）中。初始振荡和最终获得与涡流数量成比例的一定角度动量的一般行为与Tsubota等人的仿真结果一致。（图3中参考。2）。但是，我们结果的时间尺度更接近实验数据。
优化
优化模块用于拟合粒子密度曲线。为了检查拟合的质量，我们可以将拟合数据的轮廓（模拟密度曲线）和拟合函数的轮廓（Thomas – Thomas – Fermi密度曲线）一起绘制，并比较它们，如下图所示。
拟合数据（模拟密度曲线，灰度）和拟合功能（Thomas -Fermi密度曲线，颜色）。
优化方案的设置始于拟合参数的定义，如下屏幕截图所示。
拟合优化方案的参数。
这些是第一个轴rxfit，第二轴ryfit，倾斜角Thetafit，峰密度Rho0fit适用于拟合密度。还定义的是索引参数指数用于解决方案参考和椭圆度参数的拟合值alphafit，如使用拟合参数计算的等式。（7）。
基于Thomas -Fermi密度曲线的拟合函数定义为变量fit_fn。然后，将计算数据和拟合函数之间的差异平方并在模拟域上进行平均，以作为优化研究最小化的目标。为了防止物镜的大小变得太大，无法处理优化器，我们可以通过Thomas -Fermi峰密度扩展差异（\ rho_0在等式。（10）），以便最终的目标接近统一的顺序。这被定义为变量Q0在下面的屏幕截图中。
拟合密度曲线和目标可以通过优化研究最小化。
目标Q0然后将4个拟合参数用于优化研究设置。每个拟合参数都使用Thomas -Fermi近似值的值给出了适当的初始值，比例和边界。请参阅下面的屏幕截图。
优化研究设置。
通过首先设置参数扫描，将每个时间点的解决方案挑选出来，以拟合指数，然后在一个虚拟的固定研究步骤中变量的值未解决部分设置为使用指数参数可以在每个时间步骤中选择时间相关的解决方案。请参阅下面的屏幕截图。
参数扫描参数指数。
虚拟固定研究步骤，具有未解决的变量值的值指数参数可以在每个时间步骤中选择时间相关的解决方案。
总结说
我们已经证明了Schrödinger方程物理界面与被困的冷原子形成的玻色 - 因子凝结物中涡流晶格形成的动力学过程模型。我们很想在下面的评论中听到您如何将这种物理界面用于其他有趣现象的方式！
自己尝试
尝试通过单击下面的按钮在旋转的玻色 - 因斯坦冷凝物中对涡旋晶格组进行建模，这将带您到应用程序库，您可以在其中下载MPH文件。
参考
- L. I. Schiff，量子力学，麦格劳 - 希尔（McGraw-Hill），编辑。3，1968。
- P. Harrison，量子井，电线和点，Wiley，编辑。3，2009。
- E.P.总体，“玻色子系统中量化涡流的结构”，Il Nuovo Cimento，卷。20，否。3，第454–457页，1961年。
- L.P. Pitaevskii，“不完美的玻色气中的涡流线”，Sov。物理。JETP，卷。13，不。2，第451–454页，1961年。
- K. W. Madison，F。Chevy，V。Bretin和J. Dalibard，“旋转Bose-Einstein冷凝物的固定状态：涡旋成核的路线”，物理。莱特牧师。，86，4443，2001。
- M. Tsubota，K。Kasamatsu和M. Ueda，“旋转Bose-Einstein冷凝物中的涡旋晶格形成”，物理。修订版，A 65，023603（2002）。
- S. Choi，S。A。Morgan和K. Burnett，“被困的原子玻色 - 因凝结物中的现象学阻尼”，物理。修订版，A 57，4057，1998。
评论（2）
朱塞佩·隆戈（Giuseppe Longo）
2020年11月24日一项非常好的任务
刘刘
2020年11月24日 comsol员工谢谢朱塞佩！基恩