形状优化可用于改善许多不同物理区域的设计。在这篇博客文章中，我们将重点介绍Wave Optics中的形状优化。我们将介绍comsol多物理学中的形状优化功能®软件并显示这些功能用于Wave光学应用程序时可以实现的目标。
这是关于电磁学中形状优化的两部分系列中的第一篇博客文章。第二篇文章将重点放在RF应用程序的形状优化上。读第2部分这里。
参数优化与形状优化
形状优化与基于梯度的优化兼容，因为通过变形网格可以实现几何变化。这可能以较低的元素质量为代价，这可能会限制几何形状可以改变的程度，尤其是在3D中。参数优化与基于梯度的优化不兼容，因为如下所示，几何变化是通过重组实现的。
参数优化涉及重组，而形状优化变形了网格。
原则上，参数优化比形状优化更通用技术，但实际上，与基于梯度的优化的不兼容使该方法慢了。这限制了优化变量的数量，从而限制了设计自由。可以使用参数优化解决此博客文章系列中介绍的示例。comsol®确实支持了这一点，但是，尽管示例相对简单，但该方法的计算成本却很高。因此，与参数优化更好地适合形状优化存在多种问题。
comsol多物理包括一组内置功能，这些功能简化了形状优化问题的设置。这多项式外壳和自由形状外壳特征是专门为壳的，通常是在结构力学的背景下制作的。但是，大多数问题是在域（而不是壳）上定义的 -多项式边界和自由形状边界功能可用于优化这些域附近的边界。顾名思义，您可以根据多项式或自由偏微分方程（PDE）的方法进行选择。这转型特征限制了对翻译，缩放和/或旋转的形状变化。此功能可以用于域和边界。这些功能将倾向于在点处改变边界和角度的曲率，但是可以使用一阶多项式或A来保持直线转型特征。最后，对称/滚筒功能可以将边缘限制在平面表面，或者指向2D的直线，如下所示。
说明了四种不同类型的形状优化，以改变正方形的上边界的问题，以使其近似我们的目标边界（蓝色）。为了优化第一个图的初始设计，转型功能与对称/滚筒功能允许运动y方向。第二个图显示了还启用旋转的转换，这需要使用一阶多项式而不是使用对称/滚筒特征。最后两个示例分别显示了多项式和自由形状方法，但两者之间几乎没有差异。但是请注意，在这些示例中没有与左边界相关的功能，因此左上点是固定的。
这转型功能与设计自由相比，与其他功能相关，但这在将优化的设计转换为CAD几何形状方面是一个优势。该博客系列将重点介绍2D中的形状优化，但是所有功能都可以在3D中使用。在以下各节中，您将看到Wave Optics的两个示例。
示例1：过滤
第一个示例考虑了具有弯曲的光子晶体的设计。晶体由由GAAS制成的支柱组成，转型使用功能，使支柱的位置可以改变。目的是实现一个波长（1 µM）的高传输，而对于其他波长（1.3 µm），则实现较低的传输。因此，以下表达将被最大化：
优化的几何形状如下所示，但是由于问题的非直觉性质，很难理解工作机制。但是，从输出边界处的功率，可以清楚地看到优化强调了较大波长的功率的最小化，因此最好以Minimax目标来表达目标函数。这将在下一个示例中进行演示。
左：以灰色绘制的初始设计的几何形状，并以黑色绘制的优化设计。右：将输出功率绘制为波长的函数，在优化中考虑了两个波长（显示为点）。
示例2：撤消者
第二个例子还考虑了光子晶体，但这一次是为了消除杂物。我们想设计一个路由两个不同波长的设备（\ lambda_1和\ lambda_2）到两个不同的输出端口，同时阻止其他波长。您可以表达有关阻止的目标，\ phi_b和路由，\ phi_r， 作为：
在哪里p_ \ mathrm {min}和p_ \ mathrm {max}是路由和阻塞的最小和最大功率。请注意，路由目标的定义取决于是否对其进行评估\ lambda = \ lambda_1或者\ lambda = \ lambda_2，以便鼓励信号向所需的输出端口。如果对相关波长实现所需的功率，则两个目标等于-1，而如果未达到所需的功率，则获得较高的值，因此应将目标最小化。目标组合成最小值公式，这意味着该目标被视为几个目标的最大值。某些目标只会有所不同，因为它们在不同的波长下进行评估，而其他目标则不同，因为设备的理想行为取决于波长，因此目标的定义也取决于波长。最终目标表示为：
如果波长在\ delta \ lambda / 2，将使用路由目标；如果不在\ delta \ lambda / 2，将使用阻止目标。
与第一个示例类似，我们将使用转型功能以优化光子晶体中支柱的位置。下面的动画说明了设计的优化p^1_ \ mathrm {out}和p_ \ mathrm {out}^2。还显示了电场\ lambda_1和\ lambda_2，但是每次优化迭代总共评估了14个波长。
这z- 电场的组件用于两个波长，而输出功率则显示在端口上。
在此示例中，我们选择了p_ \ mathrm {min} = 5p_ \ mathrm {max}。这产生了下面所示的频谱，但是可以通过更改参数来优先考虑阻止或路由。
为优化（点）中使用的波长绘制了输出端口功率。将这些与在变形配置中重新绘制后的端口功率图进行了比较。
重新捕捉之前和之后的端口功率之间存在很小的偏差，但仅针对一些波长，而优化结果似乎并没有利用数值效应。此外，我们可以看到，即使目标仅要求在主端口处具有高输出功率，我们也只能在辅助端口处获得较小的输出功率。最后，值得注意的是，对于所有优化迭代，考虑每个柱子对每个波长的位置的敏感性。因此，为每次迭代提供了大量高度相关的信息。因此，只有50个迭代后，可以找到234个控制变量的值。
选择用于优化的波长有一个反复试验的元素，最后一个示例使用31波长，这是计算上昂贵的。可以通过使用群集来降低计算时间，我们将在第2部分在此博客系列中，我们将在其中查看射频频谱中的优化问题。所显示的所有示例将结合使用Minimax配方转型和多项式边界特征。
下一步
下载此博客文章中突出显示的模型，以对其设置和结果有更深入的了解：
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