多多拓扑优化的

jabra jabra的了了篇博客中

这这博客介绍一个个使用为了MATLAB^®构建构建多拓扑优化，此此内容已参考参考参考参考参考参考参考上上上发表。文中中通过一个个个可以可以可以^®（ASI）（ASI）问题问题对该框架进行演示。这个这个的框架的优势优势是是它它它能够解决解决当前当前当前当前^®不兼容兼容问题

动机

拓扑优化问题使用梯度方法来来，这这需要使用伴随灵敏度分析分析。如果如果基础基础方程方程是是是稳态稳态的的或或，comsol桌面^®支持求解，最问题，最常见，包括包括，包括包括，都频域，都可以解决解决解决解决解决解决。。。。对于对于对于对于，它对于，它它它它它在某些某些情况下下提供一些一些一些独特独特

• 将将约束与和瞬态求解器相相
• 测试测试定义优化求
• 支持不的的，可可包括灵敏或或类似启发启发
• 在不初始化求情况情况，更改情况下之间的数值参数的

虽然这些可能学术研究最，但最最有优势会吸引所有所有用户用户用户，该用户。。例如所有用户用户。

• （对于扫描多个载荷载荷载荷）
• 对于扫描仅某些的的，可以可以解限制为除扫描扫描参数的第一个个之外所有的的

在的背景，避免避免下冗余计算不不重要，并且不不不，并且并且不太框架框架框架其实了增加了了计算和和工程。时间时间时间

拓扑拓扑

comsol多物理学^®软件的功能，我们我们可以可以利用^™为了MATLAB^®的的实现优化框架，同时同时同时利用^®编程编程的和快速实现的优势

拓扑有效的，在的，在目标目标目标的昂贵设计，以以佳设计设计，从而从而佳设计时间。。尽管在过去几十几十里几十年，拓扑年年年年过去过去过去几十年拓扑拓扑优化优化不断不断并广泛广泛（（（（（（（），仍然物理过程过程相

1. 为为物理场问题有限元元
2. 材料插值和设计变量的
3. 目标目标和设计灵敏度
4. 后处理和操作拓扑设计

上述列出通常会普通从业者研究不愿自己已经的的一些一些案例教学案例和简单框架简单扩展扩展到到

这里这里的优化算法和程序是是comsol api和^™为了MATLAB^®开发开发，适合适合在多问题使用拓扑设计用户

多多问题有限模型的的

我们我们通过comsol API使用模型模型访问访问轻松操作comsol^®模型的和，它和数据数据提供多可以可以可以可以可以可以可以，例如例如执行可以，例如例如几何几何几何几何几何几何几何和和和和和和网格网格^®编程语言，并并了几方法执行有限分析和和优化所需需需的的任务任务。。。。我们我们^™为了MATLAB^®来来模型对象实用函数函数

Asi asi问题的优化证明证明引入引入框架在系统设计多物理场物理场问题的的的的有效性有效性有效性有效性（（（（（有效性（（有效性有效性有效性（有效性有效性有效性的的有效性有效性有效性。。。。。。。。。。。两两两两个个声域声域之间ASI个拓扑优化基准问题。使用来设计分区设计，以设计结构分区结构设计分区设计使

图1。考虑-结构-结构相互的基准拓扑优化的。示意图

在在，将将（\ textbf {u}）和压力（p）作为状态（a公式\ textbf {u}/p）的的元元元元有限元于解决问题问题拓扑优化问题我们可以可以可以对所有所有结构结构，，声学声学声学声学完全的和完全的和和的\ textbf
{向上中的，来来明确声学和的边界条件因此\ textbf {u}/p有助于有助于基于密度拓扑优化优化

comsol^®支持混合元，但但框架限于软件的物理场，因为^®编程环境的方程仿真功能功能功能。。，2所所所，图所所。，1中位中位中位所。。功能功能功能功能功能功能。例如。。功能功能功能。。功能。。。。。。。。。例如。例如功能功能。。。。例如中位中位中位中位中位移场移场移场移场的的的域积分域积分域积分项扩展扩展弱形式形式分接口，使用comsol可可的语法实现，即，即

- （（（test（ux）-test（vy））*g*（ux-vy）+（test（uy）+test（vx））*g*（uy+vx））

+（test（ux）*p+test（vy）*p）+rho*omega^2*（test（u）*u+test（v）*rho*v。

comsol api api中实现弱形式多详细详细多详细信息多多详细信息多更更参考参考参考参考参考文献参考参考参考文献参考参考参考参考参考参考参考参考参考参考参考文献参考参考。。此外。。。，我们我们我们还可以可以可以可以通过查看查看图图图图查看图中中中中显示的来灵感。。，2中（a），（b）和（c）可以（c）可以可以可以使用所所的模型和和方法

图2。使用混合\ textbf {u}/p公式-结构-结构相互问题形式形式，和弱形式方程优化问题问题所所需的的的一些基本基本任务。。有限有限元系统系统系统系统方程方程包括包括包括（E）；目标函数，例如例如方程（F（）;和和灵敏度，例如（g）。

图3。为拓扑优化过程所任务选择选择comsol api和^®代码comsolapi语法语法轻松方便的需，无需的任务，无需无需多行代码。

设计变量的材料插值和

拓扑优化会中中一一种材料种种种（或或）的的种种材料的的的的的的的的的的的的的的，用于\ rho，体积k和剪切G取与和材料的极值之间的，以的，以以优化优化的设计。\伽玛的材料函数，如如如中中中（b）所所示示示

式，，P_K和P_Gcomsol多物理学中中中的的变量场的的中方程的仿真，我们我们方程，我们我们我们我们可以轻松轻松地将将设计设计设计作为作为作为辅助辅助辅助因变量变量引入引入模型模型模型。，如如如方程（d）所所。在在在中看到代码，设计域中中中代码测试（伽马）定义，其中其中设计伽玛在弱形式形式分接口中为变量。需要注意，设计的的的注意的的弱形式形式分接口从未，而而用于优化更新设计变量变量

comsol^®求解器允许使用方法解决部分，与此同时，子，子子。。。\ textbf {s} _ \ text {u} \ textbf {u} = \ textbf {l} _ \ text {u}可以状态，同时同时设计的的的初其始值设计变量变量变量的的的值在在后续后续后续迭代步骤迭代中更新更新更新。。。为了为了访问dof）列表，它是使用mphxmeshinfo函数函数的这种的优点优点是是^®中使用，而不有限有限有限运算（（（（））一起一起使用

目标目标和设计灵敏度

这里提供示例示例，图2方程（f）积分积分的目标内置函数使用使用mphint2进行（参见参见参见所示所示的）。

伴随（avm）常用常用设计灵敏度，因为因为在涉及大量设计的系统系统的设计方面方面具有很高的mphmatrix函数轻松构建方程和，该该函数提取所需矩阵和和向量向量并并并^®格式。。特别是，（g）中中中的设计分析分析需需需的的的导数导数的的导数需需需需需需需需需需的导数可以可以通过指定指定状态状态和设计设计变量变量组合矩阵的变量。灵敏度分析可以于问题而无需无需进行实质性修改

对对的设计进行后处理和

Livelink^™为了MATLAB^®了访问访问可视化，可以的的的每每次的优化优化优化分析分析，以及的，以及以及的，以及以及所开发程序程序的的整体操作整体操作清晰的清晰清晰清晰清晰每次的拓扑以及目标目标和体积的迭代迭代^®环境环境都可以看见

图4。每每的拓扑设计（文献1）以及以及和分数的迭代历史历史MATLAB^®环境中中看见

Matlab的livelink™livelink™^®环境中开发最终模型保存在在一一个个一一文件文件文件^®模型模型，包括包括方法和结构。保存的可以可以可以在可以在可以可以^®中打开，以便在工作中中产生拓扑结构结构处理处理和和和操作操作操作，我们。。操作。。操作操作我们我们我们我们可以使用使用模型模型模型模型模型开发器开发器开发器开发器开发器窗口窗口轻松创建创建不同的创建不同不同拓扑拓扑的拓扑功能，得到得到和之间明显最终。显示显示显示显示性能显示显示显示显示显示

图5。（a）优化优化最终设计（b）使用使用阈值的的的边界边界的拓扑（c）3d打印打印制造的导入网格零件零件创建零件零件零件几何几何图形所有图图均来自来自参考1。

优化优化设计可以为为模型^®后，我们我们优化结果创建网格网格文件文件文件。可用于进一步

使用comsol桌面^®重现拓扑优化

这这博客深入了了comsol api livelink™为了MATLAB^®进行多物理场，并并了相关的的的的相关相关的相关的的有限有限元元和和设计灵敏度分析分析以及以及以及处理处理处理处理处理处理处理处理。处理处理处理处理处理处理。处理。。。处理处理为了MATLAB^®使初使用少的编程高级拓扑拓扑。由于设计设计变量场离散化离散化和和和灵敏度灵敏度灵敏度分析分析分析分析限于限于限于问题问题，因此问题问题问题问题问题问题问题问题问题问题问题问题问题问题问题问题问题问题问题问题修改。，引入框架提供了与的自由开发，这开发开发的开发开发并限制限制我们我们需要访问访问优化参数以及以及数值数值中中的的的一些一些向量有效的方法和修复优化中出现出现问题问题

注意：要获得获得使用^™为了MATLAB^®进行进行详细和，请请请请查看参考参考参考参考1。

此外，comsol多物理学提供提供对优化模块模块，使使插件我们能够通过其多多和用户用户定义定义的偏微的偏微偏微偏微分方程求分方程求方程求解器解器来来^®进行拓扑，我们我们仅内置功能相同多拓扑（6）。。使用模型该该固体固体（用于用于）的的公式选项压力压力（用于纯声），并并了的优化方法过滤过滤过滤

图6。仅使用comsol桌面®功能功能的物理场拓扑扑优化

您可以单击的的的

关于关于

Junghwan Kook（JK）于2012年年年年在大学（大学大学大学大学（大学大学大学大学大学大学大学（2017年，dtu电气电气系声微机械研究中心中心中心中心助理教授中心中心中心中心年年年年年，他他年年年至今年年年年至今年，gn gn gn gn Audio a/s san/s公司公司从事从事，也，通过，通过通过消费者企业提供。。目前的研究包括多学科设计设计设计优化优化，，声学声学和机械设计机械的设计的的的数值数值方法方法方法方法，，声音声音声音声音声音声音质量质量质量质量质量，，模与仿真的多物理场，为为用户高质量的方案方案

参考参考

1. J. Kook和J.H.Chang，“应用于声学互动问题的拓扑优化的高级编程语言实施”，结构和多学科优化，卷。64，第4387–4408页，2021年。
2. C. Liu，“在Comsol多物理学中实施弱形式”，Comsol博客，2015年；乐动体育赛事播报https://cn.comsol.com/blogs/implementing-the-weak-form-in-comsol-multiphysics
3. C. Liu，“使用comsol应用程序实施薄弱的表单”，comsol博客，2015年；乐动体育赛事播报https://cn.comsol.com/blogs/implementing-the-weak-form-with-a-comsol-app

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