comsolMultiphysics®软件软件中个后模型个模型个模型模型希望将数据数据到到到在仿仿中定义定义的的一一组组函数函数中。。在中中中。，我们我们对连续数据进行。之后，我们介绍的，并的并数据合组组正正，从而正，从而从而为为
曲线拟合的
在上上篇拟拟离散试验的博客博客中，我们了使曲线有助于有助于工作例如。。，如果。。工作工作尝试尝试使用使用原始原始实验数据定义属性属性属性定义材料材料定义定义定义数据拟合可以获得的的，而高阶的原始原始数据进行数值微分可能可能产生产生很很干扰干扰
将原始实验（黑黑）拟合拟合三次（红曲线）。
comsol多物理学模型模型以前研究解数据曲线拟合会怎么样一个个直接直接的的的好处好处是数据压缩。如果如果我们我们我们可以可以可以找到找到找到与与解有解有解有解有良好良好的的函数的的函数函数函数系数值描述来自完整解的信息。（（请请，对于，对于，没有，没有没有请，没有没有（（。。描述信息信息信息，没有没有。。来来描述描述信息。信息减少减少的解数据量目介绍了其他种种，例如例如探针表探针表和。）。）。
，对此外解进行曲线可以可以地的空间的高阶高阶高阶高阶软件软件软件软件软件软件软件软件的的许多许多物理场接口接口接口使用使用使用使用了了由由由由，这些这些是二阶下情况情况，导数，导数是，三阶连续，三阶
最小二乘拟合
（让简单二乘的基本数学原理。用用用用用用用用某个的某个某个某个模拟域模拟域（（或或或或或中或边中中中）你。我们目标通过将视为一组函数的线性来来似你在该域的，，
其中，，F我是是组，，C我是我们必须求解的系数
确定这些知系数方法是方法方法方法，求2范数，，
然后，找到找到对应于l2范数范数局部最小值C我。
在ω内局部极，未知系数小，未知系数导数必须等于，
其中，使用下标下标以避免求和的。混淆
假设积的所有都都，通过导可，它则，它法，它简化
约掉约掉2，交换交换和和，得到，得到
最后一结果一有n n个系数n维线性的方程组，如果方程组。方程组
＆\ begin {bmatrix}
a_ {11}＆a_ {12}＆a_ {13} \\
a_ {21}＆a_ {22}＆a_ {23} \\
a_ {31}＆a_ {32}＆a_ {33}
\ end {bmatrix}
\ begin {bmatrix}
C_1 \\
C_2 \\
C_3
\ end {bmatrix}
=
\ begin {bmatrix}
B_1 \\ B_2 \\ B_3 \\
\ end {bmatrix} \\
＆a_ {ij} \ equiv \ int_ \ omega f_i（\ mathbf {r}）f_j（\ Mathbf {r}）\ textrm {d}
\ qquad b_ {j} \ equiv \ int_ \ omega u（\ mathbf {r}）f_j（\ mathbf {r}）\ textrm {d}
\ end {Aligned}
因此，n（n+3）/2次积分（注意注意左边的矩阵矩阵，即，即F我Fj的积分F我Fj的的和一n个线个线代数方程的。解
正如将下面小节中看到，如果中中的的相应的F我，使使我们拟合解数据的是正交，那么，那么系数是正交的C我的计算就会大大简化
正交函数正交函数
在讨论的概念，我们我们必须给出给出一过于狭隘狭隘的定义。。。。。\ langle u，v \ rangle = 0，属于属于一向量的的个不同向你和v在内下正交正交，内积内积确切定义向量向量空间改变改变
由于由于讨论的n维实维实（\ Mathbf {r} \ in \ mathbb {r}^n）的的ω上，一一个变化的对组函数组函数1（（r）， F2（（r），…Fn（（r）的曲线，因此因此可以具体具体的，将将的函数的的内积内积
其中，W（W（Wr）为某尚定义权函数，对于对于定义的中中中r，限制：w（r）> 0。
例如，，f_1（x）= 1，，，，f_2（x）= \ sin x，和f_3（x）= \ cos x在内积积正交
也就也就，ω的区域一维一维一维x \ in [ - \ pi，\ pi]，w（x）= 1。。可以来这些函数函数的的，w（x）= 1。是。。我们可以可以通过通过
\ int _ { - \ pi}^\ pi（1）^2 \ textrm {d} x＆= 2 \ pi \ qquad \ qquad \ qquad \ int _ { - \ pi}^\ pi（\ sin x）^2 \ sin x）x = \ pi \ qquad \ int _ { - \ pi}^\ pi（\ cos x）^2 \ textrm {d} x = \ pi \\
\ int _ { - \ pi}^\ pi（1）（\ sin x）\ textrm {d} x＆= 0 \ qquad \ qquad \ int _ { - \ pi}^\ pi（1）（1）（\ cos x）\ textrm {d} x = 0 \ qquad \ int _ { - \ pi}^\ pi（\ sin x）（\ cos x）\ textrm {d} x = 0 \\
\ end {Aligned}
事实上，我们可以扩展这，sin（2x），cos（2x），sin，sin（3x），cos（3x）等性性傅立叶级数的基础。
正正的最二乘拟拟
现在，让让对交函数交函数，重新的，重新小二乘拟合二乘拟合，正最，正如我们我们之前之前所所看到我的，使得，使得
现在，假设假设f我都都以下内积下是的
你可能注意到：在在谈到在在在n维向量空间，我们的时内积内积的使用使用了使用使用了了了了使用使用了了使用了了将将将将我们选择的系系系（笛卡尔笛卡尔系系系极不同表达。如我们将在在示例中看到的，为了看到的的那样看到看到看到的看到程度程度程度程度程度程度程度程度程度的的的的的的，我们的，我们我们，我们我们我们我们。
由于函数，所有所有的对对在在在项项角线角线角线矩阵矩阵左边左边左边左边消失我的的
）^2 \ textrm {d} \ omega}
如果我们这些函数，使使表达式分母为1，我们分母分母分母分母分母就就会得到看起来表达式简单
c_i = \ int_ \ omega u（\ mathbf {r}）f_i（\ mathbf {r}）\ textrm {d} \ omega
因此，将将拟合组组组个函数的任务简化为计算计算计算计算个个个的。。®软件，我们，我们可以定义积分耦合，以以任何，，边几何点的的（我们我们的不在在在积分耦合耦合重新;只只需需更新更新”即即）
在接下来内容，我们我们研究更实际实际的：将将将将的的变形拟合到到组组组组组组
泽尼克多
光学中常用正交函数是泽尼克多多，它它泽尼克圆的的径向径向坐标
其中，，
- ρ是径坐标（0 \ leq \ rho \ leq 1）
- θ是角（0 \ leq \ theta <2 \ pi）
- n_n^m是归一化
- r_n^{| m |}（\ rho）是径向
- m（m \ theta）是是午项或方位
- n是径向（n \ in \ left \\ {0,1,2，\ dots \ right}）
- m是子或方位角（对于的n，m \ in \左
{-n，-n+2，-n+4，\ dots，n -2，n \ right}）
需要注意，对于如何定义泽尼克项式项式解释解释，有其其其，有有几几几种种种不同不同不同不同的的的的的标准标准标准格式格式标准标准标准格式标准标准格式格式格式格式标准标准标准标准标准格式格式格式格式格式格式格式格式格式注意注意注意注意注意注意注意注意注意的注意注意符合（Ansi ansi和ISO标准标准参考1、2）。。。泽尼克项式通常是单位单位单位圆圆定义定义，但但但但但但但但通过将r来来任何其他半径r的圆（这会影响影响）。
下面下面了部分多项式项式
| 项 | 表达式 | 通用通用 |
|---|---|---|
| Z_0^0 | 1 | 平移 |
| z_1^{ - 1} | 2 \ rho \ sin（\ theta） | 垂直垂直 |
| Z_1^1 | 2 \ rho \ cos（\ theta） | 水平水平 |
| Z_2^{ - 2} | \ sqrt {6} \ rho^2 \ sin（2 \ theta） | 斜散像 |
| Z_2^0 | \ sqrt {3} \ left（2 \ rho^2-1 \ right） | 散焦 |
| Z_2^2 | \ sqrt {6} \ rho^2 \ cos（2 \ theta） | 散光 |
| Z_3^{ - 3} | \ sqrt {8} \ rho^3 \ sin（3 \ theta） | 斜向三叶草像 |
| Z_3^{ - 1} | \ sqrt {8} \ left（3 \ rho^3-2 \ rho \ right）\ sin（\ theta） | 垂直垂直 |
| Z_3^1 | \ sqrt {8} \ left（3 \ rho^3-2 \ rho \ right）\ cos（\ theta） | 水平水平 |
| Z_3^3 | \ sqrt {8} \ rho^3 \ cos（3 \ theta） | 水平三叶草像 |
| Z_4^{ - 4} | \ sqrt {10} \ rho^4 \ sin（4 \ theta） | 斜四叶草像 |
| Z_4^{ - 2} | \ sqrt {10} \ left（4 \ rho^4-3 \ rho^2 \ right）\ sin（2 \ theta） | 斜次阶散光像 |
| Z_4^0 | \ sqrt {5} \ left（6 \ rho^4-6 \ rho^2+1 \ right） | 球差 |
| Z_4^2 | \ sqrt {10} \ left（4 \ rho^4-3 \ rho^2 \ right）\ cos（2 \ theta） | 阶散光像 |
| Z_4^4 | \ sqrt {10} \ rho^4 \ cos（4 \ theta） | 水平四叶草像 |
已经选择，以便，以便
如果如果个下标相，则kroneckerdeltaδ等于1，否则0。
与我们的保持，泽尼克泽尼克多在项式在w（\ rho，\ theta）= \ rho下的圆是正交的在笛坐标和圆柱极\ textrm {d} \ omega = \ rho \ textrm {d} \ rho \ textrm {d} \ theta之间转换时，权函数ρ可以可以方便的比行列式完全匹配匹配
泽尼克多广泛于光学界。如果你看过眼科，那眼科过，那那你你你z_2^{\ pm 2}）或“慧差”（z_3^{\ pm 1}）之类之类，而“近视”和“老”只只是“散焦”（Z_2^0）一一的不同表述表述
高达五阶Zernike多项式图。
用泽尼克多多表示
，让，让我们学的做做个例题。示例的几何体是几何体是是是一一个侧面侧面和和固定的的的的平面柱面镜的的，而而的柱面镜和和和和和和和上表面膨胀
未未（（左）和和（（右）的的形状
我们计算拟合变形表面移场移场的泽尼克多多项式。如以下以下以下以下屏幕屏幕屏幕截图截图截图所屏幕截图截图，为了截图屏幕以下以下以下如如如如如如如以下以下以下以下以下以下如如如如如如如Z_0^0，散焦Z_2^0，球差Z_4^0）由于位对而发挥了作用为了对与每泽尼克泽尼克泽尼克多的项式的积分，在在表面定义定义积分耦合。。使用变量节点来每项式项式与乘积乘积的，这乘积，这决定了了相应泽尼克相应泽尼克
最后最后最后出位在镜面镜面外径向上上的的的的的面外面外分量的面外的单独，并并它们线性组合与位了比较。。解与与泽尼克泽尼克泽尼克多项式项式拟合的的看看看起来起来起来，并且60）进一步进一步改进
位位（（蓝色）与泽尼克多多拟（（紫色）比较比较分别显示了（（绿色），散焦（（红色）和和（（青色）。
结论
曲线拟合消除数据数据中的的的，它噪声的的噪声噪声噪声可以可以应用应用到到到到到模型模型求解模型模型求解求解模型求解求解求解本身到求解，效果模型到到的的一一方便的数据压缩。
下一
通过点击的来尝试这博客讨论的的的的，comsol comsol案例案例下下载条条条条目目和和
参考参考
- ISO 24157：2008：眼科和仪器 - 报告人眼的畸变，国际标准化组织，瑞士日内瓦。修正案1，同上，2019年。
- ANSI Z80.28-2017：美国国家国家国家标准 - 报告眼睛光差的方法。美国国家标准研究所，弗吉尼亚州亚历山大。
评论（2）
TX孙
2021-10-12请问在中导出空间距的的/三三维绘图
洋洋洋洋
2021-10-20 comsol员工右键右键“结果” - “导出”，添加“数据”，“子”，在在子子要的的的点点点里栅格栅格栅格或规则规则规则规则规则规则规则