如何在comsol多物理学GydF4y2Ba^®GydF4y2Ba中生成随机GydF4y2Ba

为了为了生成几，comsol多物理学GydF4y2Ba^®GydF4y2Ba软件内置一功能函数和，例如函数和和均匀和高斯高斯分布分布的GydF4y2Ba求和GydF4y2Ba算子。博客，我们这博客将将如何相当于相当于使用使用个个个线性个个线性个个生成生成一一，并个随机，并并随机并并GydF4y2Ba

表征表面GydF4y2Ba

有许多方法。一种是使用它的的GydF4y2Ba分形分形GydF4y2Ba，2〜3之间之间。维数维数维数为的的是一个普通的，近乎近乎绝对光滑光滑的；2.5表示表示相当崎岖的表面表面;3d表示表示表示表示表示表示表示空间空间空间。。。相应相应相应。。相应。，1的为维数为相应相应为的的的的曲线曲线曲线曲线几乎几乎在在所有所有所有地方是是是是是是是平滑的是是”的的内容GydF4y2Ba

曲线曲线的的范围范围范围的1（左）到1.2（中）再1.6（右）。GydF4y2Ba

使用分形度量可能一有用的的近似的的的近似的的的的近似记住的需要需要需要记住需要记住需要的的的表面表面在表面在在在在超过超过几个个个数量级的数量级的的的数量级的的的的尺度尺度尺度尺度尺度上上上上上上上不不不不不是是是分形分形并且当它细微细微“放大”，其后后后特征仍与原来的一样GydF4y2Ba

表征表面另种方法是它它含量含量变成可以一种种种，通过种种方法建设性一一一种一一种建设性一建设性通过的每都在空间中振荡的某频率。这这也也在在本文本文本文中中中将将将使用使用的的的方法方法。在数介绍介绍数之前之前之前GydF4y2Ba

空间空间GydF4y2Ba

在物理学，随时间随时间的振荡一般数学形式的，例如，例如GydF4y2Ba

其中其中GydF4y2BaFGydF4y2Ba的的单位单位1/s，也也赫兹赫兹或。GydF4y2Ba

通过空间振荡的空间，如的，我们所所，我们示，我们只所时间GydF4y2BatGydF4y2Ba替换为空间GydF4y2BaXGydF4y2Ba，将将时间GydF4y2BaFGydF4y2Ba替换为空间GydF4y2BavGydF4y2Ba。GydF4y2Ba

其中空间频率的单位单位单位单位1/GydF4y2BamGydF4y2Ba。GydF4y2Ba

空间频率频率由GydF4y2BakGydF4y2Ba= 2GydF4y2BaπGydF4y2BavGydF4y2Ba表示。GydF4y2Ba

一个的是，它它与和频率和GydF4y2Ba\ lambda = \ frac {1} {\ nu}GydF4y2Ba有关，如下式：：：GydF4y2Ba

空间可能多个，因此因此存在多个空间频率频率频率。。频率。频率频率。空间空间空间频率频率，使用使用中：使用GydF4y2Ba

其中，波矢量GydF4y2Ba\ bf {k} =（k_x，k_y）=（2 \ pi \ nu_x，2 \ pi \ nu_y）GydF4y2Ba并且GydF4y2Ba\ bf {x} =（x，y）GydF4y2Ba

波矢量GydF4y2Ba\ bf {k}GydF4y2Ba表示波波方向GydF4y2Ba

基本波GydF4y2Ba

粗糙的GydF4y2BaFGydF4y2Ba（GydF4y2BaXGydF4y2Ba，GydF4y2BayGydF4y2Ba（）可以可以由许多基本组成组成GydF4y2Ba

其中，，GydF4y2BaφGydF4y2Ba是相位角GydF4y2Ba

由于，相位角GydF4y2Basin（\ theta）= cos（\ pi/2- \ theta）GydF4y2Ba也也表示正弦函数GydF4y2Ba

对于完全随机，应该应该认为相位角GydF4y2BaφGydF4y2Ba可以取，例如，0到GydF4y2BaπGydF4y2Ba或–π/2到GydF4y2BaπGydF4y2Ba/2GydF4y2Ba
之间。为合成基本波，我们时基本波基本波可以这样的的GydF4y2BaπGydF4y2Ba的的内均匀分布中中GydF4y2BaφGydF4y2Ba，因为因为允许GydF4y2Bacos（\ phi）GydF4y2Ba取-1到+1之间之间所有可能值请，如果请注意。注意选择大小GydF4y2BaπGydF4y2Ba的的，则则出现终点环绕。这是是GydF4y2Bacos（\ pi \ theta）= - cos（\ theta）GydF4y2Ba，余弦函数余弦函数自己，步长，步长步长GydF4y2BaπGydF4y2Ba。GydF4y2Ba

为了获得的的有效，我们我们允许一组离散：GydF4y2Ba

νGydF4y2Ba_XGydF4y2Ba=GydF4y2BamGydF4y2Ba，GydF4y2BaνGydF4y2Ba_yGydF4y2Ba=GydF4y2BanGydF4y2Ba

其中，，GydF4y2BamGydF4y2Ba和GydF4y2BanGydF4y2Ba是整数。GydF4y2Ba

考虑一由形式基本波基本波：：GydF4y2Ba

通过通过GydF4y2BamGydF4y2Ba和GydF4y2BanGydF4y2Ba以相等正值和，应该应该能够得到方法来合成一个个没有首选GydF4y2Ba

请请，如果采用种，每每波波方向将两次次。。。，方向，（-2，-3）与（2,3）相同（2,3）相同;（2，-1）与（-1）与（-2,1）与（-2,1）相同；等等。GydF4y2Ba

如果我们我们空间GydF4y2BamGydF4y2Ba和GydF4y2BanGydF4y2Ba分别取最大整数GydF4y2BamGydF4y2Ba和GydF4y2BanGydF4y2Ba，那么那么位置的：：GydF4y2Ba

由于也允许，因此因此以下位置：：GydF4y2Ba

在GydF4y2BaXGydF4y2Ba方向方向具有空间频率GydF4y2Ba\ nu_ {xmax} = mGydF4y2Ba意味意味表示的最短是GydF4y2Ba\ lambda_ {xmin} = \ frac {1} {m}GydF4y2Ba，对于GydF4y2BayGydF4y2Ba方向也，即，即GydF4y2Ba\ lambda_ {ymin} = \ frac {1} {n}GydF4y2Ba。GydF4y2Ba

基本波的相关GydF4y2Ba

每个都一个相关的，因此因此个：GydF4y2Ba

最终表面是这些：：GydF4y2Ba

最简单振幅是选择一来自均匀或高斯分布的GydF4y2BaAGydF4y2Ba_MnGydF4y2Ba，事实，事实，这会生成起来特别的在在在在，不同，不同，如过程，如如，使得磨损，使得和和侵蚀，这这根据种分布逐渐：：GydF4y2Ba

其中频谱GydF4y2BaβGydF4y2Ba表示表示频率衰减的速度根据GydF4y2Ba分形图像GydF4y2Ba（GydF4y2Ba参考参考1GydF4y2Ba），谱谱分形维数，但分形维数覆盖高频的，并且无限，并且，并且仅仅适用于指数指数指数GydF4y2BaAGydF4y2Ba（m，n）将将数量的乘具有高斯的GydF4y2BaGGydF4y2Ba（（GydF4y2BamGydF4y2Ba，GydF4y2BanGydF4y2Ba）生成：GydF4y2Ba

AGydF4y2Ba（（GydF4y2BamGydF4y2Ba，，，，GydF4y2BanGydF4y2Ba）=GydF4y2BaGGydF4y2Ba（（GydF4y2BamGydF4y2Ba，，，，GydF4y2BanGydF4y2Ba）GydF4y2BaHGydF4y2Ba（（GydF4y2BamGydF4y2Ba，，，，GydF4y2BanGydF4y2Ba）GydF4y2Ba

选择高斯正态获得获得平滑随机随机，而随机的的没有没有限制没有限制GydF4y2Ba

相位角GydF4y2BaφGydF4y2Ba将从GydF4y2Ba你GydF4y2Ba采样，函数GydF4y2Ba你GydF4y2Ba在–π/2和GydF4y2BaπGydF4y2Ba/2之间之间：：GydF4y2Ba

φGydF4y2Ba（（GydF4y2BamGydF4y2Ba，，，，GydF4y2BanGydF4y2Ba）=GydF4y2Ba你GydF4y2Ba（（GydF4y2BamGydF4y2Ba，，，，GydF4y2BanGydF4y2Ba）GydF4y2Ba

总结总结GydF4y2Ba

为了表示粗糙，我们我们使用以下二：GydF4y2Ba

其中，，GydF4y2BaXGydF4y2Ba和GydF4y2BayGydF4y2Ba是空间;GydF4y2BamGydF4y2Ba和GydF4y2BanGydF4y2Ba是空间;GydF4y2BaAGydF4y2Ba（GydF4y2BamGydF4y2Ba，GydF4y2BanGydF4y2Ba）是是;GydF4y2BaφGydF4y2Ba（GydF4y2BamGydF4y2Ba，GydF4y2BanGydF4y2Ba）是是。表达式类似于截断的。尽管该该数用用余弦函数表示表示表示余弦函数余弦函数，但的的余弦函数用用余弦函数表示表示用余弦函数表示表示但但但求由于求角度角度角度数：GydF4y2Ba

确定确定GydF4y2Ba

由于由于GydF4y2BaFGydF4y2Ba*（（GydF4y2BaXGydF4y2Ba，GydF4y2BayGydF4y2Ba）的，它它周期性的获得的的，应该，应该让表面的GydF4y2BaXGydF4y2Ba和GydF4y2BayGydF4y2Ba在某些之间变化变化变化适当适当部分;否则，合成，合成合成合成数据的周期性就会很明显明显。这些值值应该应该GydF4y2Ba

整体周期性由慢振荡，最慢决定振荡振荡分别分别于GydF4y2BaXGydF4y2Ba方向方向GydF4y2BayGydF4y2Ba方向的空间GydF4y2BamGydF4y2Ba= 1或GydF4y2BanGydF4y2Ba=1。。使个方向上的周期周期长度长度长度GydF4y2Ba

我们可以矩形[GydF4y2BaAGydF4y2Ba，，，，GydF4y2BaAGydF4y2Ba+ 1]×[GydF4y2BabGydF4y2Ba，，，，GydF4y2BabGydF4y2Ba+ 1]或更的矩形生成，“避免”周期性周期性周期性GydF4y2Ba

在comsol多物理学GydF4y2Ba^®GydF4y2Ba中定义定义和GydF4y2Ba

关于关于comsol多物理学中中的，首先首先定义几空间频率分辨率和和：GydF4y2Ba

振幅的将在两个变量中具有分布分布的。随机函数。。软件软件软件GydF4y2Ba全局全局GydF4y2Ba节点提供了：：GydF4y2Ba

在，，GydF4y2Ba标签GydF4y2Ba和GydF4y2Ba函数函数GydF4y2Ba已分别分别改GydF4y2Ba高斯高斯GydF4y2Ba和GydF4y2BaG1GydF4y2Ba。，，GydF4y2Ba变元变元GydF4y2Ba被设置GydF4y2Ba2GydF4y2Ba而不是GydF4y2Ba1GydF4y2Ba，分布类型设置“正态”，相当于分布正态分布或高斯分布GydF4y2Ba

对于对于相位，以类似方式，我们我们需要 -GydF4y2BaπGydF4y2Ba/2和GydF4y2BaπGydF4y2Ba/2的的一个均匀：GydF4y2Ba

标签GydF4y2Ba更改GydF4y2Ba均匀均匀GydF4y2Ba，GydF4y2Ba函数函数GydF4y2Ba更改GydF4y2BaU1GydF4y2Ba，GydF4y2Ba变元变元GydF4y2Ba更改GydF4y2Ba2GydF4y2Ba，GydF4y2Ba范围GydF4y2Ba更改GydF4y2BapiGydF4y2Ba。GydF4y2Ba

我们可以GydF4y2Ba使用随机GydF4y2Ba，以便以便次相同的输入获得获得的的。GydF4y2Ba

定义参数化GydF4y2Ba

下下步使用一个相当长GydF4y2BazGydF4y2Ba坐标，在，在GydF4y2Ba几几GydF4y2Ba下添加一GydF4y2Ba参数化GydF4y2Ba节点，如下：：：GydF4y2Ba

0.01*sum（sum（if（（m！= 0）||（n！= 0），（（m^2+n^2）^（ - b/2））g1（m，n）*cos（2*pi（m*s1+n*s2）+u1（m，n）），0），m，-n，n），n，-n，n）GydF4y2Ba

其中，，GydF4y2BaXGydF4y2Ba=GydF4y2BaS1GydF4y2Ba和GydF4y2BayGydF4y2Ba=GydF4y2BaS2GydF4y2Ba在0和1之间之间变化变化GydF4y2Ba

系数0.01用用在在GydF4y2BazGydF4y2Ba方向上。，该该比例可以被振幅中中去去GydF4y2Ba

参数化几何特征于生成的的随机表面表面GydF4y2Ba

请注意，每当参数曲面参数表达式，都，都表达式时设置窗口GydF4y2Ba高级高级GydF4y2Ba部分中GydF4y2Ba使用更新更新功能GydF4y2Ba按钮。GydF4y2Ba

此表达式表达式整数GydF4y2BamGydF4y2Ba和GydF4y2BanGydF4y2Ba在–n到GydF4y2BanGydF4y2Ba之间的和如果将其与的讨论讨论讨论，可以讨论进行讨论讨论讨论GydF4y2BamGydF4y2Ba=GydF4y2BanGydF4y2Ba，从而从而了个表面。补丁GydF4y2BamGydF4y2Ba和GydF4y2BanGydF4y2Ba同时为零项不不需要需要需要需要需要需要需要，并项，并GydF4y2Ba如果GydF4y2Ba语句语句总和中消除GydF4y2Ba

和GydF4y2Ba（）算子算子：：GydF4y2Ba

总和（expr，索引，下，较高）GydF4y2Ba

对于所有GydF4y2Ba低GydF4y2Ba到GydF4y2Ba高GydF4y2Ba的，它，它计算表达式GydF4y2BaExprGydF4y2Ba的总和。GydF4y2Ba

如果GydF4y2Ba（）算子算子：：GydF4y2Ba

if（cond，expr1，expr2）GydF4y2Ba

条件条件GydF4y2Ba条件GydF4y2Ba的计算结果GydF4y2Baexpr1GydF4y2Ba或GydF4y2Baexpr2GydF4y2Ba，具体具体条件值值GydF4y2Ba

在在个，通过，通过通过GydF4y2Ba最大GydF4y2Ba设置设置设置（（（默认值（（（（（（默认值（了的。。，GydF4y2Ba相对相对GydF4y2Ba1e-3（（（（默认值1e-6）。。。参数表面的底层表示有理有理有理有理有理有理有理有理样条（样条样条（（（（（（（。。。。。。的节点分关注例生成表面近似，所以精度近似精度容差。容差GydF4y2Ba

通过生成，我们我们获得表面表面表面可，如下所。示示GydF4y2Ba

网格随机表面GydF4y2Ba

请，n = 20意味着使用使用单位单位GydF4y2BaXGydF4y2Ba和GydF4y2BayGydF4y2Ba方向方向周期性在x = 0，GydF4y2BaXGydF4y2Ba= 1和GydF4y2BayGydF4y2Ba= 0，GydF4y2BayGydF4y2Ba= 1的的GydF4y2BayGydF4y2Ba轴轴GydF4y2BaXGydF4y2Ba轴的的看到GydF4y2Ba

为了更地看到，我们我们在在[0,2]×[0,2]上绘制：GydF4y2Ba

表面在GydF4y2Ba[0GydF4y2Ba，GydF4y2Ba2]×[0GydF4y2Ba，GydF4y2Ba2]GydF4y2Ba上上周期性表面高度由颜色表示GydF4y2Ba

在[0，1]×[0，1]上生成的表面，方法方法是左上角左上角图像顺时针针针方向针方向针针针针方向方向方向方向针方向个频率，幅度β= 0.5β= 0.5β= 1.0β= 1.0，β= 1.5β= 1.5β= 1.5β= = 1.5β= = 1.5β=1.8。表面由颜色表示GydF4y2Ba

在在中使用表面GydF4y2Ba

在comsol多物理学中，这这类型生成表面可的物理仿真物理物理物理仿真可用材料，方程，条件。使用这个，可以这个这个使用这个使用这个循环循环中中使用GydF4y2Ba

通过将和为，3d非均匀非均匀数据材料。。。。但是。GydF4y2Ba

基于基于的裂缝数据的裂缝流动模拟模拟GydF4y2Ba岩石裂隙流GydF4y2Ba是GydF4y2Bacomsol多物理学GydF4y2Ba案例库案例库GydF4y2Ba的的个案例模型GydF4y2Ba

基于本参数表面化，对对对个个具有材料界面的界面界面厘米厘米厘米厘米大小的的金属块金属块金属块通用通用热膨胀分析分析。。底部材料材料板von Mises应力应力GydF4y2Ba

与离散余弦和傅里叶变换的GydF4y2Ba

求和GydF4y2Ba

类似于离散余弦或里叶里叶：：GydF4y2Ba

其中，下标GydF4y2BaCGydF4y2Ba表示，，GydF4y2BaXGydF4y2Ba和GydF4y2BayGydF4y2Ba现在采用。，相位角信息以傅里叶编码编码编码GydF4y2Ba

根据离散傅变换，我们我们索引的的，用于用于的的：GydF4y2Ba

或：：GydF4y2Ba

更常见的，离散傅离散傅变换的：：GydF4y2Ba

其中，，GydF4y2Ba

请请，为了数据实值，共轭系数轭称关系，以对对称称正弦函数贡献。使用使用余弦函数的总和总和（（余弦变换GydF4y2Ba

生成大量傅里叶的方法是是（fct）或（fft）。（fft）。。。这可以在在另一一一个个个，GydF4y2Ba^®GydF4y2Ba用户界面中三角插值计算计算，但计算较较可以直接直接非结构化非结构化非结构化网格网格网格网格上上GydF4y2Ba

有关使用fft合成合成说明，请请请请请GydF4y2Ba参考参考1GydF4y2Ba。GydF4y2Ba

一维和维和体GydF4y2Ba

最后，comsol多物理学中中随机生成几有趣有趣的，包括特殊，包括包括圆柱体和GydF4y2Ba

随机随机GydF4y2Ba

在2d仿真仿真，可以可以以下表达式生成：GydF4y2Ba

0.01*sum（if（（M！= 0），（（M^2）^（ - b/2））*g1（m）*cos（2*pi*m*m*s+u1（m），0），m，-n，n）GydF4y2Ba

其中，g1和u1是是维随机函数机函数GydF4y2Ba

请请，在生成，“与”的随机的表面表面，谱的表面表面GydF4y2Ba

谱指数GydF4y2Ba0.8GydF4y2Ba的随机曲线GydF4y2Ba

随机极性GydF4y2Ba

可以在极坐标一条圆的随机偏差的随机：GydF4y2Ba

x = cos（2*pi*s）*（1+0.1*sum（if（（m！= 0），（（m^2）^（ - b/2））*g1（m）*cos（2*pi*m*s+u1（m）），0），m，-n，n））GydF4y2Ba

y = sin（2*pi*s）*（1+0.1*sum（if（（m！= 0），（（m^2）^（ - b/2））*g1（m）*cos（2*pi*m*s+u1（m）），0），m，-n，n））GydF4y2Ba

对应于坐标中：：GydF4y2Ba

谱谱指数0.8的的极性曲线。GydF4y2Ba

随机随机GydF4y2Ba

3d中中中随机的GydF4y2Ba

x = cos（2*pi*s1）*（1+0.1*sum（im（if（（m！= 0）||（n！= 0），（（m^2+n^2）^（ -b/2））*g1（m，n）*cos（2*pi*（m*s1+n*s2）+u1（m，n）），0），m，-n，n），n，n，-n，n））GydF4y2Ba

y = sin（2*pi*s1）*（1+0.1*sum（im（if（（m！= 0）||（n！= 0），（（m^2+n^2）^（ -b/2））*g1（m，n）*cos（2*pi*（m*s1+n*s2）+u1（m，n）），0），m，-n，n），n，n，-n，n））GydF4y2Ba

Z = S2*2*PIGydF4y2Ba

其中，参数GydF4y2BaS1GydF4y2Ba和GydF4y2BaS2GydF4y2Ba在0和1之间之间变化变化GydF4y2Ba

这对应于坐标的参数：GydF4y2Ba

这种单一机代表一种表面自相交种，comsol多物理学中中中不的。。我们可以可以通过通过GydF4y2BaS1GydF4y2Ba的四表面来解决此此此，这些这些解决解决这些这些这些表面补丁补丁补丁0〜0〜0.25、0.25〜0.5、0.5〜0.75 〜0.75 〜0.75 〜1.0 〜1.0 〜1.0 〜1.0之间1.0之间GydF4y2Ba\ frac {\ pi} {2}GydF4y2Ba的极角跨度GydF4y2Ba

使用使用坐标的管状表面表面GydF4y2Ba

comsol多物理学GydF4y2Ba^®GydF4y2Ba5.5版本的的新零GydF4y2Ba

从5.5版本，comsol多物理学的的库几新零零零GydF4y2Ba

comsol多物理学GydF4y2Ba中零件库中零件库GydF4y2Ba的GydF4y2Ba随机平面平面件GydF4y2Ba

参考参考GydF4y2Ba

• 分形图像的科学GydF4y2Ba，编辑：Peitgen，Heinz-Totto，Saupe，Dietmar。eds。GydF4y2Ba