在中，你模型在在多种下数值积分和高斯点高斯点的的概念概念概念概念。。。。在篇篇中中中中中中中中中在comsolMultiphysics®软件软件检查修改的可能性。最后，对。最后最后最后最后自由度
什么是数值？
在计算上函数积分时，我们时时采用方法方法。称为称为称为数值求积，其本质积分积分，其中其中在离散点被采样采样采样采样，可以
其中X一世是积分点，W，W一世是相应权重因子。称为称为高斯点，但是来说，这这仅适用于适用于高斯求积comsol Multiphysics中，真正的于一维，二维中一维一维一维一维边边边形形，三维中单元，三维中三维中的六面体单元等积分下下
高斯求积
在中，需要选择的位置及其权重权重权重权重权重权重权重及其及其及其对对阶次阶次尽可能尽可能高高的的的多项式多项式多项式进行进行由于由于由于由于由于由于由于由于由于由于包含包含包含n + n + 1个规则2M2m个++权重）
高斯求积对于一定程度的很好好近似积分场非常非常有效。一一一维中一阶高斯一阶高斯一阶高斯求积的的的积分点积分点和和和权重权重权重权重如如如如如如如下表下表下表]。
| （M） | （精度n） | 位置x x一世（） | 权重w一世（） |
|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 0 | 2 |
| 2 | 3 | ±0.577 | 1 |
| 3 | 5 | 0，±0.775 | 0.889（= 8/9），0.556（= 5/9） |
| 4 | 7 | ±0.340，±0.861 | 0.652，0.348 |
| 5 | 9 | 0，±0.538，±0.906 | 0.569，0.479，0.237 |
在comsol多物理学中，积分阶次由可以的阶次指定指定，仅的阶次指定指定阶次阶次阶次阶次。对于真正真正高斯点积分积分积分积分积分次实际上这些形函数上使用精度为为为阶阶高斯高斯。。
高斯求积示例
作为高斯一示例，设想设想函数函数函数函数
{2}
\正确的 ）
在-1≤x≤1，-1≤y≤1的上上上上上，积分为。示示示，该下图示示域
要积分的。
下表显示高斯的。只要可以一定阶次多项式合理合理，积分近似近似近似近似
| 积分点 | 精度 | 积分阶次 | 值 | 注释 |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 0（1）（1） | 2.9958 | 仅使用的值明显积分积分 |
| 2×2 | 3 | 2（3） | 0 | 在2×2规则中，高斯点位于于\ pm \ frac {1} {\ sqrt {3}}，余弦函数0（（太差！） |
| 3×3 | 5 | 4（4）（5） | 1.1519 | |
| 4×4 | 7 | 6（6）7） | 0.9887 | |
| 5×5 | 9 | 8（9）（9） | 1.0005 | |
| 6×6 | 11 | 10（11）11） | 1.0000 | |
| 7×7 | 13 | 12（12）（13） | 1.0000 | |
| 8×8 | 15 | 14（（15） | 1.0000 |
：多项式最高斯有：不有：不不很好地地对非常非常不不连续函数连续函数积分积分。。。假设假设假设我们我们我们：F（x，y）= 1，其他其他，f（x，y）=0。。函数在四分之一区域上的值为为为为为为为为为为为为为为为为为精确积分为为。结果表所。。
| 积分点 | 值 | 注释 |
|---|---|---|
| 1 | 0 | （0,0） |
| 2×2 | 1 | 四分之一点的计算为为1，权重权重为为1 |
| 3×3 | 0.8025 | 1，权重为为为为为为为为为权重为\ frac {25} {81}，\ frac {40} {81} |
| 4×4 | 1.2269 | 五个点计算结果为为1 |
| 5×5 | 1.0325 | |
| 6×6 | 1.0918 | |
| 7×7 | 0.9892 | |
| 8×8 | 0.9961 |
4×4积分点情况橙色是是为的的的，绿色的区域是对积分值有贡献
从中，计算可以种不不精确积分是重要重要的，2×2积分偶然偶然
为什么这很？在有限元分析，你你呈现场场场场场场场场场固体固体力学中塑性开始时的问题。在在包含这这突变的的单元上上的收敛性减弱当高斯点其状态时，解时时时微小微小变化可以
这下，选择下个比用于场的形函数认值更更更低的的的多项式阶次可能更更好好。较较低低的分辨率分辨率可以通过通过使用使用使用避免的将在具有较少的较小单元。
此外，如果在处理中连续函数的，要，要，数值记住记住
弱贡献的积分
在元，有内内进行积分积分积分，以便进行，以便刚度矩阵矩阵矩阵，质量质量质量矩阵矩阵，，载荷载荷载荷矢量矢量残差等。以固体力学虚功原理：：内应力作用变化做的等于作用于的虚位移变化所做的。。
这里，（波浪号〜）表示测试（）运算符表示。包含体积力F和边界牵引力t，但也其他的。贡献刚度刚度矩阵矩阵
为了检查comsol多物理学中中元元的的公式，你需要启用方程视图。
打开方程视图。
如果我们在固体力学接口中材料模型（比如线弹性材料）下的方程视图，会会一名为弱表达式的栏可以看到用于形成各的表达式；例如刚度。
检查稳态情况下固体力学接口中线弹性材料的弱表达式。
在中中，你看到积分阶次的框，本，本中文本文本文本文本文本文本文本文本文本文本，4。comsol多物理学中中中积分阶次的数字是是可以可以精确（（（（））的中位移位移位移的的的阶次这里这里了默认默认的的形函数阶形函数阶次次次次次次次次次次次次次次次次次次次次次次次默认默认默认默认默认默认默认默认默认默认默认默认默认默认默认默认默认变化的次的的，这这这表明阶超过程度。为什么选择这个值将。。。。
第二个，我们来看固体力学中的边界载荷。
边界载荷的弱表达式。
这里这里，4。。位函数多多项式项式
关于弱的一些微妙处处
（（（）时例如例如（（（（（例如，时名义单元结构转换。例如例如，如果如果二二四边形边形单元上上进行进行进行积分积分积分，则理想单元单元边形边形边形四四四四四四四四，则理想单元单元例如例如例如例如例如例如例如例如例如例如例如例如例如例如例如例如维例如维维例如
\ displaystyle \ int _ {\ omega_e} f（x，y）\; da = \ int _ { - 1}^{1}^{1} \ int _ { - 1}^{1}^{1} f（\ xi，\ eta，\ eta）\ left | left | left |\ dfrac {\ partial \ mathbf x}
{\ partial \ boldsymbol \ xi}
\ right |\;d \ xi d \ eta
（（（（），所以是是项式项式项式项式）量。，雅可比雅可比是严重真的具有理想形状的单元表现更更差的这这。关于在comsol多物理学中中网格的文章文章文章包含了多关于质量的信息。
“二称为”，“，”，（（（（）使用比乍更的规则的个原因原因是
对于某贡献，你你会在方程视图中看到更的的另原因原因，可能是是，可能需要确保确保刚度
修改积分阶次
你可以编辑文本框更改更改方程视图中任何的次。你想要有两个主要。。
：你比较的：你你原因原因想提高精度精度假设载荷（一般来一般来说说说可以，，热通量热通量热通量等等等等等等等等等等等等等会域或通量。但是但是，靠近。。。。条件条件的的位置的的局部局部局部局部解解解仍然仍然不不是很
然而，还还一个的：降阶积分，，这意味种，积分阶次原因原因需要的阶次其中一个原因是是是加快加快计算计算速度速度。。在在求解时时时装配）和和方程组求解方程所花费时间比更更快快快快快快快快快快快快快快快通常通常大约是单元单元数量的的平方平方平方。在在装配上花费花费的（（（））。的乘积乘积。。的的的
降阶积分也数值装置，有时有时人工刚度刚度锁定。在二维轴的壳接口可以此目的使用降阶积分的的虚功方程中中中中中中中中中方程方程方程方程方程方程方程采用阶次阶次阶次阶次阶次阶次阶次阶次阶次虚功虚功虚功虚功虚功虚功虚功虚功方程虚功虚功方程方程方程方程方程方程方程方程方程方程方程方程方程方程方程方程方程方程方程方程方程厚度小时，单元实际上变得使用降阶积分降阶积分降阶积分，可以使用降阶积分降阶积分地地
轴对称壳接口的虚功贡献。
积分耦合算子
在“模型”的定义下，你你创建积分算子，用来定义公式全局变量，但变量变量变量可以在结果期间显式地。
添加积分算子。
添加积分算子时，需要进行个主要：
- 应采用的域边界或边。
- 积分阶积分阶积分阶为你了个以换取速度请请请注意，实际注意注意注意注意注意注意注意可比。
- - - - - 此只当存在不同（如网格变形几何结构中中的几何非线性非线性非线性非线性非线性非线性时才时才时才就就就简而言之简而言之简而言之简而言之简而言之简而言之就简而言之简而言之简而言之积分积分积分
积分算子的设置。
后处理过程的积分
（使用派生值下添加积分节点。大程度上，选择。但是，在，在积分节点中，你无法选择框架它根据根据数据集节点中框架选择推断。。
在结果期间添加积分节。。
数据集的，从中从中选择解释框架。。
如果框架，你很应该使用将细微的风险风险降至最最低。。如果如果在在求解求解完成后后后添加添加添加更新解，然后然后能新。。
更新解。
记住选择次。特别是特别是特别是特别是特别是特别是特别是特别是特别是的表达式强非线性非线性或或不不不连续连续的的的的的的的或或或或或或或或或或或或或非线性非线性或非线性非线性传热后，你想温度高于的的体积，你体积体积体积体积t> 1066 [k]这样被。表达式在满足条件条件的为为为为为为为为为为为为为为为为为为为其他其他其他情况情况情况情况情况情况下下下下下计算为为为为为为为为为为为为为为为为结果结果为为结果为为为为为为为为为为为为为为为为为为为为为为为为为为为为为为为为为间的通常会穿过。。
积分精度后的布尔。。
高斯点形函数
如果要物理场进行，有时扩展扩展添加用户定义的（（因变量）。这个时，你你用表示它们形函数的类型。一是是是是是是高斯点数据。其他不同场场，这些场场场上连续连续连续分布，在分布，在在分布，在在分布分布，在单元之间之间之间之间之间之间之间之间分布分布分布连续连续连续连续连续连续连续连续连续连续连续连续连续连续连续连续连续连续连续高斯点数据类型不同，它仅每一个，但值，但与值单元单元中
为用户的因选择形函数类型。
当你存储状态时，高斯点数据类型比如，“在”记忆记忆的的相关非线性本构模型就就有这这这种种情况情况。本构模型主要主要是是在在刚度刚度矩阵矩阵矩阵和和和中唯一构模型。。所以所以，将将种种类型的数据准确准确存储
内部高斯点的个例子在材料非弹性应变，例如应变应变应变应变
决定存储后，就选择选择选择单元阶次这情况下下下下下下上面上面的相同。数据数据的的（（和和和和和和和和和和方面方面方面）的三方成正比。
选择积分点模式。
要添加以与物理场使用使用使用，通常通常使用用用用于于计算相关相关相关弱弱弱弱表达式表达式表达式的的的积分阶次积分阶次相同的积分阶积分阶如果不不不匹配传输值，这这下和性能。。。
gpeval算子
无论是中，无论是高斯点高斯点定义定义定义定义定义定义定义定义你需要在在单元上上插入变量这些。这在在后后处理过程中尤为尤为重要下下时，高斯点高斯点值是从最近高斯点的。gpeval（）算子可离散数据映射到连续场在最简单的形式，算子gpeval（gporder，表达）形式被，例如，例如，gpeval（4，solid.epe）。有关多信息，请请参阅参阅comsol多物理用户指南。
为了说明，请设想：：X（3）3）作为作为作为数据小型三模型模型中。这这是通过添加辅助辅助因因变量变量来来实现实现的的的的的的
将X坐标作为高斯点数据存储。
弱贡献（myx-nojac（x））*测试（myx）只：“将变量myx设置为当前值X。”添加算子nojac（）是为了防止myx和X之间出现。你想为赋值时，使用时，使用它是是是
如果高斯点变量myx（（），结果绘制之间的的的的的的的的的的的的的的的的不不连续的的。。在在每每每个个个单元单元，高斯点式gpeval（2，myx），我们我们精确的X坐标分布。
（（（（（））和外推高斯点变量（）图图箭头指示结果评估
后续操作
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评论（1）
雄纪
2021-11-24最后两“高斯点”和“ gpeval算子”看看懂啊啊