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在comsolMultiphysics®中中电子枪电子枪电子枪

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作者克里斯托弗·布歇（Christopher Boucher）

2020年11月19日

电子常于射线管，显微镜，和粒子加速器中中中中中中中中中中加速器加速器工作工作原理原理原理原理原理原理是是是是从热阴极热阴极热阴极或等等等离子体离子体中电子电子电子电子电子因此电子束散开。今天，我们将如何一最早设计抵消这静电斥力斥力的电极配置进行进行模拟模拟模拟

电子枪设计

一个的设计必须做到以下：：

  1. 提取足够电子，即即足够束流束流束流
  2. 将电子到一定的动能
  3. 将光束聚焦特定位置

通常，当从或体源时时，速度出来，速度慢，然后相当慢慢相当会加速。一

两个电粒子之间力力

所有发射之间都产生相互斥力考虑位置位置位置r1和r2处的带电粒子，其其分别为为问1和问2。根据定律，可以可以粒子粒子粒子施加施加施加粒子粒子粒子上上，

\ Mathbf {f} _1 = \ frac {q_1 q_2}
{4 \ pi \ epsilon_0} \ frac {\ mathbf {r} _1- \ mathbf {r} _2} {\ weled | \ mathbf {r} _1- _1- _1- \ Mathbf {r}

其中，ε0= 8.854187817×10-12f/m是一称为真空介电的常数。。

如果问1和问2（（两（负电负电负电负电负电负电负电负电将指粒子粒子。，同性电荷，异性，异性电荷。。

随着彼此，吸引力或会变得变得如果两个电子之间的的距离缩小一，它们倍，它们它们倍

大量带粒子之间的力

现实世界包含大量的电子，而而电子两个作用作用在在电子上上的的的的总库仑力总库仑力总库仑力是是是所有其他粒子施加施加力之和和和

\ Mathbf {f} _1 = \ sum_ {j = 2}^n \ frac {q_1 q_j} {4 \ pi \ epsilon_0} \ frac {\ mathbf {r}\ Mathbf {r} _1- \ Mathbf {r} _J \ right |^3}

其中，，n是电子总数。

一包含电子的圆柱形电子束。靠近电子电子中心的电子电子电子电子电子电子电子电子电子电子电子的的任任任一一一一一一一一一侧侧侧侧侧侧上上上上都都都都有有有有相同相同相同数量数量数量电子对于方面，对于方面方面方面方面的的电子电子，它们它们开始或。。

在comsol多物理学中中彩虹色表的发散电子束的的的的的的的模型模型
发散的电子在电子速度的束腰（（（（被被释放。。

查看演示束在自由中发散示例示例自然电位引起电子束发散和相对论电子束引起束发散束发散。

电子束斥力束流束流最慢的地方最强，因为最最最最最最这些区域区域区域通常通常通常通常通常具有具有具有最高高高电荷密度密度。因此束聚焦在加速间隙中（参考文献1）。

寻找最佳形状

我们的一种几何几何，以形状形状形状形状电子束之间之间之间

首先，考虑考虑平面（（z）方向方向二维薄均匀的。电子沿正沿正沿正y方向传播束流电子首先位于位于y= 0的阴极（v= 0）发射，并，并被到位于高度高度y=d的阳极（v=v一个）。

让我们一简单解，其中开始，其中电子在在X方向上。这种情况，任何下下可以可以被认为是在在电子束电子束的的的中心中心中心

两个之间标签的薄板梁的示意图。
在两扁平电之间的薄电子束电子束， + + +X和 -X方向上无限。

在不向排斥情况下，理论理论从阴极提取的电流电流一个个最最大值。。这这空间电荷极限，而而电流下电子阴极阴极是是空间电荷极限。在平行电极进行空间极限发射期间期间期间，间隙中的的的参考2）给出，

v = v_ \ textrm {a} \ left（\ frac {y}
{d} \ right）^{4/3}

现在假设电子在X<0区域中，并且，并且X> 0区域区域没有。。

具有电子电子束示意图，该示意图仅在一区域中流动而。

如果电极扁平形状，则则电子的静电作用作用，一些，一些y轴的电子溢出到X> 0的的中。

，因为因为附近的感觉到其他电子平衡平衡平衡平衡平衡平衡平衡平衡平衡平衡平衡平衡平衡平衡平衡平衡不当电子电子束具有具有尺寸尺寸时时时时时时时时时时时方法来的形状，以使束朝上朝上，并且并且朝上朝上到X> 0的的中。

电子枪设计的方法

假设阴极和在X<0区域中扁平的，但是但是的在在在X> 0区域中不同形状。这些电极的功能形式尚不。

具有平坦的梁，它们梁梁的形状具有未知的。。。
因为在X> 0的区域没有电荷，所以所以必须拉普拉斯拉普拉斯

\ nabla^2 v = 0

考虑复数你=y+ix。皮尔斯的（参考1、3）首先观察到你的任何次微分函数（称为F（你（））也也拉普拉斯。这可以反复链式法则证明证明

\ begin {align}
\ frac {\ partial^2 f} {\ partial x^2} + \ frac {\ partial^2 f} {\ partial y^2}
＆= \ frac {\ partial} {\ partial x} \ left（\ frac {\ partial u} {\ partial x} \ frac {\ partial f} {\ partial f} {\ partial u} \ right）
+\ \ frac {\ partial} {\ partial y} \ left（\ frac {\ partial u} {\ partial y} \ frac {\ partial f} {\ partial f} {\ partial u} \ right）
＆= \ frac {\ partial} {\ partial x} \ left（i \ frac {\ partial f} {\ partial u} \ right）
+\ frac {\ partial} {\ partial y} \ left（\ frac {\ partial f} {\ partial u} \ right）\\）\\
＆= \ frac {\ partial u} {\ partial x} \ frac {\ partial} {\ partial u} \ left（i \ frac {\ partial f} {\ partial f} {\ partial u} \ right）
+\ \ frac {\ partial u} {\ partial y} \ frac {\ partial} {\ partial u} \ left（\ frac {\ partial f} {\ partial f} {\ partial u}
＆= i^2 \ frac {\ partial^2 f} {\ partial u^2} + \ frac {\ partial^2 f} {\ partial u^2} \\
＆= - \ frac {\ partial^2 f} {\ partial u^2} + \ frac {\ partial^2 f} {\ partial u^2} \\
＆= 0
\ end {align}

考虑到一，将，将X> 0区域区域的电势为为F的，，

v = \ textrm {re} \ left [f（u）\ right]

然后，，v在该电荷也满足拉普拉斯方程为了确保电势在X= 0处，，v必须孩子定律定律（参考2（）给出，的，

v = v_ \ textrm {a} \ textrm {re} \ left [\ left（\ frac {u} {d}
\ right）^{4/3} \ right]

阴极只在复平面中满足v= 0方程方程组。类似地，阳极地地地满足满足v=v一个方程的一坐标。

在这上，用用形写写写你很，，

u = re^{i \ theta}

注意上式，θ＝ 0是正y方向而不是X方向，我们，我们对于X> 0区域区域的的为为

v = v_ \ textrm {a} \ textrm {re} \ left [\ left（\ frac {r}
{d} e^{i \ theta} \ right）^{4/3} \ right]

由于r和d是，因此，因此简化为

v = v_ \ textrm {a} \ left（\ frac {r} {d} \ right）

然后调用公式得出最终结果

v = v_ \ textrm {a} \ left（\ frac {r} {d}
\ right）^{4/3} \ cos \ frac {4 \ theta}
{3}

现在，阴极和的就是插入个表达式时分别给出v= 0和v=v一个的曲线。

v= 0的的是直线

\ frac {4 \ theta} {3}
= \ frac {\ pi} {2}

67.5°角。。。。。。。。

v=v一个的解曲线，，

r = d \ left（\ sec \ frac {4 \ theta} {3} \ right）^{3/4}

因此，皮尔斯枪设计算法，使用使用电子传播方向成成成成成成角角直阴极阴极和弯曲阳极

创建comsol多物理学®几何

在上中的曲线渐阴极阴极，但线线线线线线X方向延伸，因此因此在某个任意。。。

在中，直线极，而而而长曲线是阳极这两两条条线线线可以无限地延伸延伸，但延伸，但但但永远会会。。相交的线，然后使用使用®中的转换为实体操作形成这些所界定区域。垂直于阴极绘制，因为绘制绘制绘制绘制

左侧的矩形电子束，直线，直线X= 0是的条因此因此因此因此，整个整个的形状在电子束的两边都都具有相同的弯曲弯曲

截断阴极曲线之前，皮尔斯皮尔斯枪模型几何。。
在截断阳极曲线的皮尔斯电子枪几何。。。

对粒子场相互进行建模

在此中，我们我们专用的空间电荷受限发射多物理场耦合在正y方向释放的。然后，为了然后然后电​​子电子的相互相互静电斥力电- -粒子场相互作用多物理场这束流电子对中的密度密度做出，然后贡献贡献贡献贡献贡献贡献静电接口中。

然后，获得获得和轨迹的自洽解最终最终：

  1. 跟踪粒子，而考虑电子的根据此此解，估算此解解
  2. 使用估计电荷以及阴极和表面边界条件，计算条件，计算出电势电势电势
  3. 使用上步的电势定义粒子上的电力。再次，并并束中空间密度。。
  4. 2和在在之间交替固定迭代迭代，或者的迭代迭代到解在迭代

结果

镜像数据集用反映y轴上电势显示了根据其粒子粒子粒子，其中轨迹轨迹，其中是是是是是最最快快快快快快的的的的的。。。域域域域域域域中中中的的的的空间空间空间以以灰度灰度在靠近狭窄中最，并且大大大加速而小小。

以，黄色，橙色橙色显示的枪中电势粒子
皮尔斯枪中电势分布和。。

动画了接近阳极时如何这里这里这里，灰度在这里这里这里在显示显示了了一些一些等等等等等等电位电位电位轮廓轮廓。。。电子电子束束区域区域区域区域沿直线沿直线沿直线移动都好表明的阴极弯曲的正确地了电子束中的的斥力。。。

自己尝试

请单击按钮，下载皮尔斯电子枪。。

获取教程模型

延伸阅读

在另一模型孩子定律定律指南中，提供了有关定律定律其推导的有用的细节。。

儿童定律是的近似近似近似，它它实际上。。。实际上，室温下实际上，室温下热实际上实际上langmuir-fry模型模型模型模型模型模型模型模型模型模型模型模型参考4，5（））的的更信息信息，请平面二极管的热电子示例示例。

参考文献

  1. S. Humphries，斯坦利，带电的粒子梁，多佛，2013年。
  2. J.R. Pierce，光束中的直线电子流，，，，应用物理学杂志，卷。11，不。第8页548–554，1940。
  3. 光盘。孩子，“从热ca中出院”，物理评论（第I系），卷。32，不。5，第492–511页，1911年。
  4. T.C.Fry，“平行平面电极之间的热电流；根据麦克斯韦法律分配的排放速度”物理审查，卷。17，不。4，第441–452页，1921年。
  5. I. Langmuir，“空间电荷和初始速度对平行平面电极之间电势分布和热电流的影响”，物理审查，卷。21，否。4，pp。419–435，1923。

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