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在comsolMultiphysics®中中皮尔斯皮尔斯

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作者克里斯托弗·布歇（Christopher Boucher）

2020年11月19日

电子枪于于管管显微镜显微镜，和加速器加速器加速器加速器粒子粒子加速器粒子粒子加速器和加速器粒子加速器原理工作工作原理原理原理原理原理原理原理是是从从从从热阴极热阴极热阴极热阴极或或或等离子体电子电子电子电子电子电子因此因此束容易散开今天，我们我们如何一种最早抵消这种静电的的电极电极配置配置进行进行进行

电子枪电子枪

一个的设计必须做到做到：

  1. 提取足够电子，即即足够的束流束流
  2. 将电子加速到一定的
  3. 将将聚焦在特定

通常，当从或离子出来发射，速度，速度慢，然后，然后速度相当会会加速加速一种非常加速简单加速的的方法通过通过

两两带电之间的的

所有发射的都会产生斥力。考虑在在r1和r2处处个带，其其电荷为为问1和问2。根据库仑，可以可以计算计算计算施加施加施加施加施加施加上上上，

\ Mathbf {f} _1 = \ frac {q_1 q_2}
{4 \ pi \ epsilon_0} \ frac {\ mathbf {r} _1- \ mathbf {r} _2} {\ weled | \ mathbf {r} _1- _1- _1- _1- \ mathbf {r}

其中，ε0= 8.854187817×10-12f/m是是被称为介电常数的物理物理

如果问1和问2（（两即正电负电或正电或或或将指向向。。，同性，同性，异性异性相吸。

随着粒子，吸引力吸引力斥力变得更。将两电子电子之间的距离距离缩小，它们一，它们它们，它们它们它们

大量带电粒子之间的

大多数世界系统大量大量的的的的电子的电子是是。。作用作用在电子上上上上的的的总库仑力总库仑力总库仑力是是是所有其他粒子粒子的的和力之

\ Mathbf {f} _1 = \ sum_ {j = 2}^n \ frac {q_1 q_j} {4 \ pi \ epsilon_0} \ frac {\ mathbf {r}\ Mathbf {r} _1- \ \ mthbf {r} _j \ right |^3}

其中，，n是电子总数

一个许多的圆柱形。。对于靠近电子的中心电子，在中心的中心中心中心束束中心任任任任任任任一一一一一一一侧一一侧侧侧侧上都上上上上都都都有有有相同相同相同数量数量对于一，对于一一另一的的的，净力会的，净力会净力会的的的的的的的推向推向推向推向推向推向推向离离离中心中心中心更更远的的的。地方，它们它们开始或发散

在comsol多物理学中中使用色色表的发散发散电子束的电子束的电子束的模型
发散的。束电子速度平行束腰束腰束腰（束腰束腰被

查看演示束在自由空间发散的的发散自然自然引起的电子和相对相对电子束引起的束发散。

电子束的在束流电子最慢的地方，因为最地方地方最地方最地方这些这些区域区域区域区域通常通常通常通常具有具有最最高高高密度密度密度密度密度密度束聚焦在第一加速间隙中参考参考1）。

寻找最最电极

我们的是种电子枪几何几何，以以电极形状抵消抵消电子束之间之间

首先，考虑考虑平面外（z）方向方向的是均匀的电子束将y方向方向。束流首先从从y= 0的的阴极v= 0）发射发射，并并吸引位于某个y=d的阳极（v=vA）。

让我们一简单的解，其中解解解束束X方向上宽这种情况，任何下情况都被被认为是是在在，左右的的电子束的电子束的的

两两之间带有的简单薄板梁的示意图示意图
在两扁平电之间的简单薄X和 -X方向上上延伸

在不电子排斥的情况，理论理论可以从阴极提取的电流存在存在个个最大大大。这这空间电荷，而而电流下释放的阴极阴极空间电荷。在个电极之间进行电荷发射发射发射参考2（）给出，

v = v_ \ textrm {a} \ left（\ frac {y}
{d} \ right）^{4/3}

现在假设假设仅X<0区域区域，并且，并且X> 0区域区域没有电荷

具有电子电子束的，该该仅在个中中流动而没有电荷电荷

如果电极其扁平，则则由于束静电静电排斥，一些，一些y轴轴电子将溢出X> 0的的区域。

，因为因此边缘附近感觉感觉到来自不不不不不不不平衡库仑力库仑力库仑力库仑力不的库仑力的当当当电子电子束有限有限的的的尺寸时时的的时有限的的的方法来电极的，以以束直接直接，并且并且直接朝上溢出电子X> 0的的区域。

电子枪设计设计皮尔斯

假设阴极阴极阳极X<0区域区域是扁平，但是但是扁平现在现在在X> 0区域区域呈现的形状这些电极的确切功能尚不不

具有平坦阳极的，它们薄板不同不同形状具有未知未知功能形式形式
因为因为X> 0的的没有没有，所以所以电势满足拉普拉斯，

\ nabla^2 v = 0

考虑考虑你=y+ix。皮尔斯皮尔斯方法参考1、3）首先首先观察你的任何二次微分函数（F（你（））也也满足。这可以反复链式链式证明来来证明

\ begin {align}
\ frac {\ partial^2 f} {\ partial x^2} + \ frac {\ partial^2 f} {\ partial y^2}
＆= \ frac {\ partial} {\ partial x} \ left（\ frac {\ partial u} {\ partial x} \ frac {\ partial f} {\ partial f} {\ partial u} \ right）
+\ \ frac {\ partial} {\ partial y} \ left（\ frac {\ partial u} {\ partial y} \ frac {\ partial f} {\ partial f} {\ partial u}
＆= \ frac {\ partial} {\ partial x} \ left（i \ frac {\ partial f} {\ partial u} \ right）
+\ \ frac {\ partial} {\ partial y} \ left（\ frac {\ partial f} {\ partial u} \ right）\\
＆= \ frac {\ partial u} {\ partial x} \ frac {\ partial} {\ partial u} \ left（i \ frac {\ partial f} {\ partial f} {\ partial u} \ right）
+\ \ frac {\ partial u} {\ partial y} \ frac {\ partial} {\ partial u} \ left（\ frac {\ partial f} {\ partial f} {\ partial u}
＆= i^2 \ frac {\ partial^2 f} {\ partial u^2} + \ frac {\ partial^2 f} {\ partial u^2} \\ \\
＆= - \ frac {\ partial^2 f} {\ partial u^2} + \ frac {\ partial^2 f} {\ partial u^2} \\
＆= 0
\ end {align}

考虑到一，将，将X> 0区域区域的电势定义F的，，

v = \ textrm {re} \ left [f（u）\ right]

然后，，v在该无也将满足方程为了为了电势电势X= 0处，，v必须孩子定律定律定律参考2）给出，给出电势，

v = v_ \ textrm {a} \ textrm {re} \ left [\ left（\ frac {u} {d}
\ right）^{4/3} \ right]

阴极只是在复平面中v= 0方程方程组坐标类似，阳极类似，阳极是在中v=vA方程方程一组坐标

在这上，用用形电极写写你很，，

u = re^{i \ theta}

注意注意上式，θ＝ 0是正y方向而不X方向，我们，我们我们X> 0区域区域的电势的表达式

v = v_ \ textrm {a} \ textrm {re} \ left [\ left（\ frac {r}
{d} e^{i \ theta} \ right）^{4/3} \ right]

由于r和d是，因此，因此可以为

v = v_ \ textrm {a} \ left（\ frac {r} {d} \ right）

然后调用欧拉公式得出最终

v = v_ \ textrm {a} \ left（\ frac {r} {d}
\ right）^{4/3} \ cos \ frac {4 \ theta}
{3}

现在，阴极阴极阳极就是刚一个表达式时给出v= 0和v=vA的曲线。

v= 0的的是是

\ frac {4 \ theta} {3}
= \ frac {\ pi} {2}

67.5°角角角角角角角角

v=vA的解曲线，，

r = d \ left（\ sec \ frac {4 \ theta} {3} \ right）^{3/4}

因此，皮尔斯枪的，使用使用与束传播方向成方向传播方向方向角的直直阴极阴极阴极，可以直阴极，可以

创建comsol多物理学®几几

在上中的阳极曲线地线，但接近，但但线从未完全与阴极线X方向无限，因此因此必须在点。切断

在下图，直线阴，而而上方长曲线是阳极阳极这两两条条线线线可以远地远地延伸远地地地远远地地远地但但会会会相遇相遇相交相交的，然后然后然后®中中转换为操作来由曲线所的区域相交线段阴极阴极，因为垂直于绘制垂直于垂直于绘制

左侧的矩形是束传播，直线，直线X= 0是是一称轴因此。。，整个整个的几何在在电子束两两边边具有相同相同弯曲弯曲

截断阴极曲线曲线，皮尔斯皮尔斯枪的模型形状形状
在截断阴极曲线之前的电子枪的几何形状形状

对对相互作用进行

在此模型，我们我们专用的空间电荷受限多多耦合节点在y方向释放受限的。。然后，为了为了电子电子的相互相互静电斥力静电斥力，我们的电--粒子场相互多物理场。束流束流对域的电荷密度做出，然后密度做出做出密度密度密度密度静电接口中。

然后，获得获得电势轨迹的自洽解的最终：

  1. 跟踪跟踪，而无需束流之间。根据此，估算此，估算估算此束
  2. 使用估计空间密度以及和阳极边界边界边界边界，计算的边界边界电势
  3. 使用使用步中电势来定义粒子上上电力。再次，并并电子束的空间密度密度
  4. 2和在在之间之间固定次数次数，或者或者次数到到解迭代迭代之间

结果

镜像数据集集于y轴上电势下图显示了其其的的，其中粒子，其中其中是是是是是最最最最快快快快快的的的的的的的的。。。。。域域域中中中的的的空间空间空间空间在靠近的区域中，并且最最粒子加速而减小

以，黄色，橙色橙色红色的枪的电势分布和和粒子
皮尔斯枪皮尔斯枪电势分布和粒子。

以下显示在接近阳极时。。在，灰度。。。。。背景显示显示了了了一些一些一些等等等等等等轮廓轮廓电位。轮廓。。。电子电子束束区域区域区域中中粒子粒子都很地倾斜阴极弯曲弯曲阳极地了了电子束中的的静电斥力斥力

自己自己

请单击的，下载下载电子枪电子枪。。

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延伸延伸

在另另个孩子定律定律基准中，提供提供了定律定律定律其的一些有用理论理论细节细节

儿童定律是近似的的简化，它它实际上速度速度实际上，室温下速度，室温下的速度速度langmuir-fry模型模型模型模型模型模型模型模型模型模型模型模型参考4，5（））的的更多多，请平面平面中的电子发射发射。

参考参考

  1. S. Humphries，斯坦利，带电的粒子梁，多佛，2013年。
  2. J.R. Pierce，光束中的直线电子流，，，，应用物理学杂志，卷。11，不。第8页548–554，1940。
  3. 光盘。孩子，“从热cao出院”，物理评论（第I系），卷。32，不。5，第492–511页，1911年。
  4. T.C.Fry，“平行平面电极之间的热电流；根据麦克斯韦法律分配的排放速度”物理审查，卷。17，不。4，第441–452页，1921年。
  5. I. Langmuir，“空间电荷和初始速度对平行平面电极之间电势分布和热电流的影响”，物理审查，卷。21，否。4，pp。419–435，1923。

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