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拓扑拓扑
密度密度进行优化的最常常见见见密度密度特征实现最的是结构力学力学，通常通常力学正则化才才能获得有意义密度密度pde特征方程方程方程分分分的的的的，也亥姆霍兹滤波器进行正则化。的结构力学显示显示参数优化和和和和拓扑优化优化之间的的的差异的差异。。。有关有关有关多更多多详细多多多详细详细详细多详细详细多详细详细多多详细详细详细之间优化之间优化优化优化详细优化详细详细详细通过通过方法进行拓扑”。
图1梁的设计，分别模型模型参数，形状解决解决中中。。。是是在约束右约束右上角位移下使梁梁最最最小只有只有。
铣削铣削
在密度密度特征特征，铣削是参考文献出版物（（（出版物（来实现的它的基本概念使用使用一一在\ hat {m} _ \ mathrm {mil}^i上具有的：：
第一个方程，使用使用控制变量场$ \ theta_c $来计算最小长度尺度$ l_ \ mathrm {min} $的的$ \ theta_f $。。流方程第二）位位于亥姆霍兹滤波器投影之间。。r_ \ mathrm {mil}的的通常可以网格大小设置。数值数值$ p_ \ mathrm {mil} $与铣削\ theta_m^i（（（）2〜3个个铣削铣削\ beta也如此，它它平时重要重要重要的的的，因为因为的的的输入输入输入）\ theta_ \ beta固定固定0.5。。使用\ theta对密度进行，对对各向同性材料使用使用使用使用使用对对对对对对进行进行插值\水龙头）。，使用，使用p_ \ mathrm {simp} = 3避免最终中，当当数值导致略为，使用，使用\ theta_ \ mathrm {min} = 10^{ - 3}来确保鲁棒性
我们我们单一的的，因此因此因此因此v等同于m，可以可以积分并与\ rho相乘：：
在公式铣削引入多局部局部局部最，并且并且一系列优化优化优化被被求解求解的的的情况下下使用连续性使用连续性可能可能可能是是有益有益的的的。这这这情况情况情况情况下下一一个个无关
示例1：二维梁二维梁
下图是是是的，与的与中的一样一样，它的一样，它也也是是是一一一一一问题结构力学，目标结构力学，目标目标结构力学目标目标目标目标约束右上约束右上角位角位角位移时移时移时使使使质量最最小小最小分布。有个个坐标轴的的的，这这意味着材料材料材料只只能通过通过通过来自左侧左侧或或或的下方或或的的
图2。带铣削约束约束梁拓扑模型的问题，包括包括方向方向\ hat {m} _1和\ hat {m} _2，梁梁是，顶部顶部则承受分布。
如下图示，，密度密度特征具有约束设置启用投影非常，而且投影非常时候时候需要需要需要将控制控制控制变量场变量场初始化为初始化为初始化为明显明显明显明显小于小于
图3。启用启用约束，显示，显示显示密度密度（UI）（UI）。投影部分在处于状态，但但本例例，投影投影例是使用默认斜率
在优化研究步骤，定义定义了问题。MMA是推荐求解器，有时有时/或/或移动或限制是有益的。默认使用默认使用全耦求解器也地实现优化优化，但但一节的的方程组包含一一个个个用用于过滤过滤的的的的的的的方程的耦合。。一个方程固体固体接口相关相关，还还另种耦合，使用，使用，使用分离式求解器求解要得多在这个示例示例，分离式求解器求解器计算速度了了约倍倍倍倍
图4.线性线性耦合问题分离式求解器设置。使用固体固体接口定义时，甚至将将单次为，来单次，来单次单次单次固体固体接口步骤中使用多次。
优化结果的动画。在二维建模在，引入在二维建模在在产生产生防止产生防止，因此，因此防止，因此这个防止防止防止防止防止二维建模在在在在变形的优化。，最最约束的是，我们的，我们我们是在在接下来
图示图示的次数绘制的的材料\ theta。。约束的优化优化结果结果1。
示例2：三三维扭转球
这了，这了设计更更容易一最最最最最，但是个最最优最最最最，但是但是最，在引入引入引入\ beta和p_ \ mathrm {simp}使用策略，就就在某种上避免这情况情况这种种策略策略通常通常通常通常会会会产生良好良好良好良好设计设计设计设计设计设计设计设计设计但
考虑球球，这这一一的的的的问题的沿扭矩轴沿扭矩轴，设计设计约束（相当约束体积）。）
图5。扭转球扭转球的的。。个，但了，但强加了
下面动画，在在不带的情况的优化结果密度密度特征支持流方程和常数常数，这和离散化示例了输出输出太太平滑
（（（（（（））和和不带带）铣削铣削约束0.5 <\ theta的单元。迭代都会目标和和参数参数
对不铣削的结果是个含内腔内腔的设计设计。这这种种种设计设计设计设计不不可能可能用用传统传统的减材减材减材方法方法制造制造制造制造制造制造制造制造制造制造但（（（）（但是（刚度刚度的。
3：轮辋：轮辋
最后一是一个三维结构问题是是使受体积约束的的刚度，但大最最最的刚度刚度最刚度最但但但个这个个个个示例示例示例
- 使用12个载荷个载荷而不不是1个
- 扇区扇区称仅于设计（不不）
- 对对使用了线性
12个载荷个载荷导致更多计算。工作工作，这些这些工作工作。可以并行，因此，因此，因此，如果如果，如果合适硬件的合适合适。
图6。用各颜色的载荷工况用黑色的铣削方向来轮辋轮辋的设置请注意，在轴向还第二第二组，并且有第二设置
扇形区对称性是广义广义算子强加，该该设计变量变量变量控制控制映射映射到其他。
（（（（（（））和和和和和和和和和和和不不铣削铣削铣削铣削）0.5 <\ theta的单元。
在这，使用使用铣削约束优化是含非分支辐条的简单拓扑拓扑辐条面面的z形形，以以两的弯曲弯曲
对对的体网格进行
与方法的几何表示会会会。非零刚度非零刚度由于由于由于，以及以及由于是这是是实体以及实体实体和和和空隙空隙之间过渡过渡区域中中中的的单元单元地位，因此因此表示法低估了。验证设计的，可以，可以过滤器数据将转移个个新组件组件。我们可以剪切剪切元单，这样单单元剪切剪切剪切表达式剪切表达式单表达式表达式表达式表达式表达式表达式表达式表达式表达式表达式表达式表达式表达式表达式表达式表达式这样这样这样这样大部分这样网格网格（（（）支持物理场接口接口物理场（粘贴粘贴粘贴粘贴的组件组件使用
7. 7.绘制绘制个示例（（（（（的的拓扑优化位移场网格。。了了带带带（（带带带和不和带不不带带带带带底部带带底部（（）示例示例质量和约束
下一
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参考参考
- L.C.Høghøj和E.A.Träff，“用于拓扑优化的可加工设计的基于对流扩散的过滤器”，应用机械和工程的计算机方法，卷。391，p。114488，2022;https://www.sciendirect.com/science/article/pii/s0045782521007003
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