二维带电粒子束相空间分布和发射度

“束流”系列的分布分布分布系列博客中中中中中，概率分布函数，PDF），comsolMultiphysics®软件软件软件软件软件软件种取样取样和电子束在环境中传播，pdf的的专业知识是必不可少的。。在在本篇相空间和发射度的概念，以及如何他们描述束流电子的释放问题。

离子束和电子束

离子或电子束的是，沿近似同一运动运动的集群。通常通常情况情况情况下，每下下下情况情况情况通常情况情况情况情况每每每个个个粒子粒子粒子的的的总总动能

首先我们观察电粒子束的图像。我们用z轴正方向束流传播方向（轴向），用X轴表示传播方向垂直（（横向）。虽然或许觉得这十分奇怪奇怪奇怪奇怪，但是，我们记住，我们记住记住，我们的讨论讨论讨论讨论讨论目的目的是是是是X和y轴表示横向方向会带来很的。。。

上文述，束流的在于它由大量运动方向能量都都近似相同的的粒子粒子粒子组成组成的集群集群集群集群集群集群集群集群集群集群集群集群集群集群然而然而是是是近似近似近似近似完全的。，与与的和相关数学问题基本上都都到到了束流粒子位置和和速度速度的

我们可以借助束包络来征束流形状，束包络是最外层外层，它它最外层外层让我们我们了解了解束流的的形状形状。如果束流存在存在个个个锐减锐减锐减锐减锐减锐减锐减- 那么降为降为包络或许是一曲线或包含轨迹轨迹轨迹的表面。。。然而更常见常见情况是是是是是是是是束流和周围的空白空间并没有明确的界限。在这种情况下，束包络可以被定义为包含绝大部分发射粒子数的曲线或表面，通常包含 95% 左右。若束流的包络在传播方向上会逐渐变小，则此束流为会聚束流；随着束流传播而变，则大大大大发散束流。束流腰部指的结束会聚并开始时的位置我们将在在下文中中对此此进行。

比较层束流非层束流

下图的束束束，并电子束束轨迹轨迹轨迹轨迹轨迹成一个的带状电子束———也就说，电子束电子束（（y）方向方向。指示路径路径路径，末端末端路径表示各自各自速度。每每条线上的的颜色颜色颜色X坐标轴（说横向位置）上，也，也称为横向位移。

请注意，我们我们是使使X轴的位于的中心同时将中心线或标称轨迹上的起点，这这让粒子的变得十分容易。。变化率变化率横向速度v_X。

上图后文中可以可以，横向看出看出看出看出看出夸张夸张夸张夸张，十分相当夸张，十分十分夸张夸张夸张夸张夸张夸张夸张夸张夸张夸张夸张夸张夸张夸张夸张夸张夸张夸张夸张夸张夸张夸张夸张夸张夸张夸张夸张夸张夸张夸张

由于下列属性，上图上图的束称为称为层束流：

1. 横向和存在对应的关系关系。横向位置位置上，电子束位置上上位置位置位置位置位置的的的的的路径不不不会会发生发生交叉交叉交叉。。唯一唯一唯一例外。
2. 横向位置速度比例关系是呈线性。。

第二的，因为意义意义意义意义它之后的过程会会被违背违背违背初始属性始属性始属性始属性。下方下方下方下方图示，会图示中中中中图示图示图示图示图示图示图示图示图示图示会会会（z = 0）粒子，但轨迹无轨迹无一点一点了。在中中的一一一一个交点交点上交点交点上交点交点交点交点交点交点交点一

如下图示，对于层而言言言言言言言言言（（所有所有轨迹轨迹轨迹），否则所有一点一点）

在环境，任意任意横向位置都速度的粒子粒子分布分布分布非层束流，上文讨论只种情况显示了种更更现实的的束流束流横向横向速度分布情况

接下来，为了更理解束流和的的，我们差异，我们来观察的的相空间分布相种形式，不过种形式中中中，我们，我们需要需要将将粒子粒子作为作为二维空间空间中的分布分布的的点研究研究研究研究研究研究位置和坐标轴，这样做影响分布区域区域，但区域区域区域相图绘图类型，我们可以方便地在在在在在在在中绘制

首先，让让一下束流的相图下图了时间t = 0时，一一边界上分布。。

正料，边界我们的点点一穿过原点的。。（（请请请，按照，按照，按照定义，层束流层束流层束流的横向束流的相图。

点不一直线上上上，而而在以原点中心的的相空间相空间中中中形成了了了一片边界边界模糊不模糊不模糊不清的的云。分布分布分布分布清楚地空间分布，我们我们将电子束的大幅大幅扩充到了了了了了了了了了了了

现在，我们得到张更加：粒子清晰：粒子形成一个个相空间椭圆椭圆最为，这最为密集密集密集与与相比相比相比相比相比相比，靠近的粒子相比，靠近靠近束轴线束轴线的的的的粒子粒子速度速度分布分布范围范围更更广束流束流中情况，椭圆比例取向变化变化变化，粒子粒子发生也也会会相应相应地地地改变改变。与与束包络描述一样一样一样一样一样一样一样种中中，我们可以进行定义定义，使其定义比例束流

在真实中，多数多数电粒子为为近轴，这意味速度相比，横向的非常小近轴近轴极限处，我们，我们我们极限处X和倾角x'= v_x/v_z对其。可以将后者为为，是因为角角为sin（x'）\大约x'受近轴限制。束流的的X和X'值的分布即迹空间分布，包含包含分布椭圆是是迹空间椭圆。

相空间椭圆演化过程

上图中的关于X轴和v_X轴近。，这然而情况情况不一直持续下去束传播传播，即使时时时时时时时时时时时，即使施加任何力力力力力力，椭圆力，这也会改变改变dx/dt = v_x，横向横向值正（v_X> 0）的的空间中向右（（X（（）；地，横向横向为为的将向。。下图中中的的动画动画演示了了当不考虑时时时时时时

若椭圆关于X轴和v_X轴镜面对，我们我们称椭圆为直立的。的椭圆的是束流上的束流腰部。

束流发射度简介

在束流中，更为方便做法是空间（（X-X’（平面）中，而，而非在X-V_X平面或X-P_X平面中部分在于在于，与与或动量相比，借助，借助X'对束流可获取更加实用的迹空间椭圆（位于位于X-X’（（（（（））的的的的

其中，参数γ，β及α被称为Twiss参数或Courant-Snyder参数，它们它们独立参数参数参数参数，共同Courant-Snyder条件，

（1）

物理量\ gamma \ beta- \ alpha^2courant-snyder不不。。。

参数γ，β，α及ε可用迹空间椭圆形状，和取向

• 相对于方程（1）使用的参数言，，γ是最的参数，它它于束流的。。ε恒定不，，γ增加时，束流占据空间将减（（X（值范围），与与速度分布之（（（X'（值扩大）。
• α用于空间椭圆倾斜度。在椭圆中中，α对应的，且，且α= 0。若α> 0，则则会；若α<0，则则束流。
• β也被称为振幅函数或电子感应加速函数，用用描述的。。ε恒定不，，β增加时，束流占据空间将增大（（X（值范围），与与速度分布之（（（X'（值缩小）。
• ε用于空间的大小大小，又被称为称为称为发射度。因为正在横向和，所以动量，所以将称为称为横向发射度会更加形象。

束流的的大小乘积来，此时，此时a =4πε。下方图表这一方式，同时同时进一步演示了了了了参数

将上述发射度以以以是是种常见的，此时，此时a =πε。一些中还将发射度除以π，使a =ε，这这并不特别述述述，在综上述述束流束流发射度记录记录

从统计学角度发射度

到为止，我们已经了发射度发射度代表被被的的相空间相空间面积面积。。。除了除了除了之外之外之外之外之外之外之外之外之外之外之外来描述发射度。

均方根发射度（RMS发射度）可以可以被为为为

（2）

其中尖括号的算术，即，即

在发射度几何中中中

（3）

在comsol Multiphysics中，为了，为了发射度，我们了：将：将：将2（2）称为1-RMS发射度，并将方程（3）称为4-RMS发射度。如果空间椭圆的与与X-X’平面的，则，则（x）=（x'）= 0，并且方程2（2）可以简化为

其中，方程的下标，是下标下标下标更它是是是是是是是是是是发射度发射度发射度。同样同样（x）=（x'）= 0）：

由twiss参数参数定义可以：当当粒子位于位于空间的的第二象限象限和和第四第四象α为正，这这正在。。

：为了还一一：为了为了一不规则空间分布分布的的的性同时方法有个缺点，那个个个个不存在明显的的截断截断截断度的之外，例如分布分布分布尾巴上上的。。。

有关束流的讨论

较小发射度数值

• 束流尺寸较（X（（（范围小））
• 速度分布较（X'（（（范围小））

人们通常地束流发射度。，在，在下，束流下，束流要么，要么为，要么恒定不，要么变变束流冷却或者降低，但本博客不对冷却技术深入。。

为什么要降低发射度的的问题原因原因不不谈，我们不不不不不不还还记得记得记得记得粒子粒子物理学物理学的的的基础基础研究研究极极极大大大推动了的的的高碰撞碰撞，一定一定碰撞粒子粒子粒子碰撞截面。

上述原因原因原因的技术目标是尽可能多能粒子粒子进入进入一个个空间狭窄狭窄狭窄狭窄狭窄从而从而从而最大最大限度地地提高碰撞概率概率。。较较高差异大，后者后者粒子较。无论是哪个原因原因

扩展到三维环境

到为止，我们探讨什么粒子束粒子束非层非层束流束流，以及和非层非层，以及非层束流束流的相空间分布如何与与与横向横向发射度发射度的的，真实的束流通常在相空间或迹空间中占据有限尺寸的区域，同时其发射度是一个品质因数，且通常在某种程度上与相空间的面积成正比。此外，我们还探讨了束流发射度的两种解释方式：相空间区域内的几何法和以束流粒子的平均值及其倾角进行表示的统计法。

本仅的二维带状电子束进行了到三维时三维时三维时三维时三维时，我们到到到到考虑考虑考虑考虑两两两两两个个正交横交横交横向上的的的发射度发射度。。。真实真实的的产生纵向发射度。

下文章，我们文章文章文章我们次对束相空间分布分布进行进行

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参考文献

1. 汉弗莱斯，斯坦利。带电的粒子梁。Courier Corporation，2013年。
2. 戴维森，罗纳德·C和洪秦。高能量加速器中强电荷颗粒梁的物理学。帝国学院出版社，2001年。