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什么是单元，为什么为什么使用？？

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作者利普刘

2019年12月30日

旋度单元，有时称为或矢量，广泛矢量矢量单元矢量矢量中中以以解决电磁电磁学学问题。今天这这篇篇博文博文全面介绍介绍了这这类型类型类型Multiphysics®软件使用然而然而，理解理解使用单元不简单简单。因此

电磁学中的的的种基本方程形式形式

电磁学建模的是解受特定边界条件的的麦克斯韦方程组。麦克斯韦的微分：：

（1）

\ nabla \ cdot \ textbf {d} = \ rho

（2）

\ nabla \ times \ textbf {e} = - \ frac {\ partial \ textbf {b}}} {\ partial t}

（3）

\ nabla \ cdot \ textbf {b} = 0

（4）

\ nabla \ times \ textbf {h} = \ textbf {j} + \ frac {\ partial \ textbf {d}}} {\ partial t}


其中\ textbf {e}和\ textbf {h}分别是强度和磁场；；\ textbf {d}和\ textbf {b}分别是移场和磁通；；{\ rho}和\ textbf {j}分别是密度和导电。。

为了获得系统，麦克斯韦麦克斯韦包括包括描述宏观宏观属性属性属性的借助借助借助借助借助借助借助借助借助借助借助借助借助借助借助借助借助借助借助借助借助借助借助借助借助借助借助借助借助借助借助借助借助借助借助借助借助借助借助借助借助借助借助借助借助借助借助借助借助借助借助借助忽略了并介质是线性的的的，从而的的的的的一一个个简单简单的的本本构构

（5）

\ textbf {d} = \ epsilon \ textbf {e}
\ textbf {b} = \ mu \ textbf {h}

其中\ Epsilon是介电，，\亩是磁导率。

请，，方程（1）-（4）对连续的有效有效有效边界条件表示：：

（6）

\ textbf {n} _2 \ cdot（\ textbf {d} _1 - \ textbf {d} _2）= \ rho_s

（7）

\ textbf {n} _2 \ times（\ textbf {e} _1 - \ textbf {e} _2）= \ textbf {0}

（8）

\ textbf {n} _2 \ cdot（\ textbf {b} _1 - \ textbf {b} _2）= 0

（9）

\ textbf {n} _2 \ times（\ textbf {h} _1 - \ textbf {h} _2）= \ textbf {j} _s


其中\ bf {n_2}是介质介质的的向向，{\ rho_s}和\ textbf {j} _s是表面密度和表面。。

方程（7）和方程（8）代表切向磁通场的法向分量边界处连续，而，而方程（6）和方程（9）意味着量场分量和切向磁场是不连续的。

对于问题，求解麦克斯韦的子集或很方便方便的的的的的的的的的的方便很方便方便方便方便不同不同不同的的的的电电电电，，，磁或磁或电磁电磁电磁公式公式公式AC/DC模块，RF模块和波动光学模块），以及每中多个。。。

例如，AC/DC模块的的静电接口可以仅存在静电荷的静电问题。对于类，我们我们需要求解方程（1）和方程（2）。通过引入电势v并定义\ textbf {e} = - \ nabla v，，，，方程（1）和方程（2）被简化一方程，即，因为，因为，因为\ nabla \ times \ nabla \ textit {v} = 0始终成立泊松方程：：

（10）

\ nabla \ cdot（\ epsilon \ nabla \ textit {v}）= - \ rho

在comsol多物理中，所有所有电势用个形式的泊松方程方程表示。对于对于没有没有电流电流的磁场磁场方程（4）被简化静电场形式。通过磁标量势势势势势势势势势势可以可以表述表述为为为泊松泊松方程方程方程方程方程。。。。对于对于情况情况情况情况情况情况情况情况情况情况情况情况情况情况静磁场，我们我们求解方程（3）和方程（4）。通过引入势\ textbf {a}并定义\ textbf {b} = \ nabla \ times \ textbf {a}等式（3）和等式（4）被简化下面方程，因为，因为\ nabla \ cdot（\ nabla \ times \ textbf {a}）= 0始终成立。

（11）

\ nabla \ times（\ frac {1} {\ mu} \ nabla \ times \ times \ textbf {a}）= \ bf {j}

方程（11）用包含\ nabla \ times（\ nabla \ times。）。算子的方程形式，其他，比如，比如，比如电磁波也是这种形式。。

为便于讨论，我们谐场例。频域中，将方程（2）代入方程（4）得到

（12）

\ nabla \ times（\ frac {1} {\ mu} \ nabla \ times \ times \ textbf {e}） - \ omega^2 \ epsilon \ epsilon \ textbf {e} = -

其中，，\欧米茄是，，j是虚数单位。

形函数和拉格朗日单元

在comsol多物理中，，有限元法（FEM）通常用于偏（PDE），麦克斯韦麦克斯韦不。元法分几几个步骤求求解偏

  1. 将划分许多的，重叠单元单元，这些单元单元称为。网格。。
  2. 每个的解由形函数或基函近似。。。
  3. 将偏微写成弱形式，对对网格进行以获得矩阵矩阵
  4. 将局部装成全局矩阵，然后然后。。。

我们以泊松方程（10）为来元法是如何工作的。可以根据使用的使用使用不同不同的的单元单元单元单元。。。。为为为为简单起见见见见见见见见见见见见见见我，j，k单元中的电势v可以用线性函数n_ {i，j，k}（x，y）近似表示为

（13）

v（x，y）=
\ begin {bmatrix}
v_i，v_j，v_k
\ end {bmatrix}
\ begin {bmatrix}
n_i（x，y）\\
n_j（x，y）\\
n_k（x，y）
\ end {bmatrix}
= v_i n_i（x，y） + v_j n_j（x，y） + v_k n_k（x，y）

从中我们看到，每个都都增加一一个个个自由度自由度自由度自由度自由度自由度自由度自由度个个个个个个个个个个个个个个个个个个个个个个个个个个个个个个自由度的的的的的的形函数形函数形函数形函数在在顶点处等于等于等于等于等于等于等于等于等于等于等于等于等于等于等于等于顶点处而单元上，而且其他也位于因此拉格朗日也称为节点单元线性线性拉格朗日拉格朗日单元的形函数如下图

线性三角形单元的形状。。

拉格朗日单元个单元中，而且连续，如连续，如连续，如下图。。

拉格朗日元素边界连续的。。

介质1和介质2共享享一边界边界边界ki。靠近边界ki的电场分别介质介质介质介质中中以红色箭头绘制。电势电势电势v在边界是的，因此，因此v（（（（（））是是是是的方程（7）自动满足因此，我们我们需要考虑方程（6）中存在地方。接下来接下来

推导泊松方程（10）的弱并困难。测试函数乘以\ phi等式（10）的两，域域的给出

（14）

\ int _ {\ omega} \ nabla \ cdot（\ epsilon \ nabla \ nabla \ textit {v}）\ phi = \ int = \ int _ {\ omega} - \ rho \ rho \ phi

对方程进行部分积分得到

（15）

- \ \ int _ {\ omega} \ epsilon \ nabla \ textit {v} \ cdot \ nabla \ nabla \ phi + \ phi + \ int _ {\ partial \ omega} \ epsilon \ epsilon \ nabla \ nabla \ nabla \ nabla \ textit \ textit {v}\ int _ {\ omega} - \ rho \ phi

\ partial \ omega是域边界，，\ textbf {n}是远离域的。

这一很重要并且有有个：

  1. 减少空间最阶阶阶阶阶阶阶（（一）单元单元单元求解二阶偏微分方程
  2. 明确方程自然条件（不考虑则满足满足）

如果\ nabla \ textit {v}的法线边界消失，则则的第二积分消失。为了清楚清楚地了解了解它它它是是如何如何等式（15）重写为

（16）

\ int _ {\ omega} \ textbf {d} \ cdot \ nabla \ phi - \ int _ {\ partial \ omega} \ textbf {d} \ cdot \ cdot \ cdot \ cdot \ textbf {n}\ phi

很，自然，自然条件为\ textbf {d} \ cdot \ textbf {n} = 0。

在ac/dc模块的接口，该，该自然边界条件被默认值对于边界条件是由而是由电荷密度给出给出的的情况情况情况方程（6）合并为等式（16）。

旋度单元

也可以基于单元的元法将矢量方程（12）分解为的分量来求解\ textbf {e} _ {x，y，z}。然而，描述条件复杂，特别是特别是。即便即便，结果即便，结果是，因为虚假\ textbf {e} _ {x，y，z}在边界连续，这这了的分量在界界面处可能不不不连续连续的的事实

我们以comsol案例库案例库的的Sierpinski分形单极模型模型1.6 GHz的的的的电场如下如下所所示。明显，边缘，边缘\ textbf {e} _ {x，y，z}发生了很变化。

comsol Multiphysics中lagrange元素元素，使用图形图形函数。。。

如述，拉格朗日拉格朗日标量形函数近似。使用形函数来来近似矢量场矢量场是很很很自然的的方程（12）中的可以：：

（17）

\ textbf {e} = e_i \ textbf {w} _i + e_j \ textbf {w} _j + e_k \ textbf {w} _k

如方程（17）所所，不节点添加自由度，因为自由度自由度方向。获得获得一个个标量值标量值，我们标量值，我们可以在自由度。，我们，我们等式（17）改写：：

（18）

\ textbf {e} = e_ {ij} \ textbf {w} _ {ij} + e_ {jk} \ textbf {w}

与形函数，矢量矢量一条条切向非零常零常数数数数数数数数数数数数数数非非非非非非非沿沿沿沿其他其他其他边边边则则为零零。。。。满足满足满足满足上述上述上述参考文献1，参考2），其：：

（19）

\ textbf {w} _ {ij} = n_i \ nabla n_j - n_j \ nabla n_i
\ textbf {w} _ {jk} = n_j \ nabla n_k - n_k \ nabla n_j
\ textbf {w} _ {ki} = n_k \ nabla n_i - n_i \ nabla n_k

一阶三角形单元的如下图所示。

一阶三角元素的形状。。

从数学角度看，边边在在在H（卷发）空间中一致的（参考3），因此它被旋度单元。在在在在在在在在，我们更多。为两个相邻的单元绘制的图，共享享边界边界边界边界边界ki的两旋度单元基函数如下所示

共享享边界两旋度元素函数。。

我们可以的电场是连续，这的的的单元单元求解泊松解泊松方程的的情况情况情况非常非常相似相似相似相似因此因此，通过方程（7）自动满足，让我们来如何有限法求解边界边界方程（9）。

与求解泊松方程\ textbf {w}类似，将将函数以以等式（12）的边，域域的积分为\欧米茄

（20）

\ int_ {\ omega} \ nabla \ times（\ frac {1} {\ mu} \ nabla \ nabla \ times \ textbf {e}）textbf {e} - j \ omega \ textbf {j}）\ textbf {w}

对左侧进行积分得到

（21）

\ int_ {\ omega}（\ frac {1} {\ mu} \ nabla \ times \ times \ textbf {e}）} \ times（\ frac {1} {\ mu} \ nabla \ times \ textbf {e}）\ textbf {w} = \ int_ {\ int_ {\ omega}（\ omega^2omega \ textbf {j}）\ textbf {w}

重写等式的部分，可以可以得到得到

（22）

\ int_ {\ omega}（\ frac {1} {\ mu} \ nabla \ times \ times \ textbf {e}）\ textbf {n} \ times \ textbf {h}）\ textbf {w} = \ int_ {\ omega}（\ omega^2 \ epsilon \ epsilon \ textbf {e} -W}

我们，边界，边界条件方程（9）可以很地并入弱。。

旋度单元的优缺点

已经证明，通过，可以可以自然处理方程的。旋度旋度单元单元强制强制切向是是连续的的，并的的的的（参考4）。

例如，在电磁波，频域频域中，，完美电导体边界被为默认值，用于模拟表面，例如表面，例如。边界条件强制\ textbf {n} \ times \ textbf {e} = \ textbf {0}，即磁场中，默认边界磁绝缘磁绝缘磁绝缘，它将切向磁矢\ textbf {n} \ times \ textbf {a} = \ textbf {0}使用逐点有限可以很容易地条件条件，因为条件条件条件，因为正是是是边界边界边界上上上上上的的的切向场切向场切向场切向场。使用使用使用旋度单元单元单元还还还有有其他参考5）。，边界边界自然应该。。。

使用旋度有缺点。，线性例如例如例如的局部误差误差为哦），其中H是大小，而使用拉格朗日时，局部时，局部o（h^2）（参考6）。这旋度是单元单元单元，其中个混合混合阶次阶次在不同不同方向上\ textbf {w} _ {ij}沿边IJ和任何平行边IJ方向的都常数，尽管尽管在方向上是线性函数。。也可以可以可以通过通过查看查看查看分量分量分量来来来来来

（23）

\ textbf {w} _ {ij} = n_i \ nabla n_j - n_j \ nabla n_i
=（a_i+b_i x+c_i y）（b_j，c_j） - （a_j+b_j x+c_j y）（b_i，c_i）
=（d_i + d_ {ij} y，d_j - d_ {ij} x）

A B C D是常数，仅仅的。。

\ textbf {w} _ {ij}的X分量是沿X轴，沿，沿y轴是的个分量的空间空间精度差异。。因此因此，在。因此因此因此。，在对对对对对旋度旋度旋度旋度单元进行进行后后处理处理处理处理处理处理方程（23）表明线单元的形函数可以特定方向保持不变使得使得局部误差误差收敛收敛收敛收敛比比比使用线性线性拉格朗日元素日元素方面方面方面方面方面方面消除。方面，与与边界的优点，此，此变得不，因为方程（12）遇到的不通过高阶形函数或网格来弥补。

结束语

在中中，我们先从麦克斯韦条件条件开始开始开始开始开始开始开始条件条件条件条件建模建模建模中中经常出现两种基本基本类型的方程方程\ nabla \ times（\ nabla \ times）。证明证明，利用经典解泊松方程解泊松方程解泊松方程解泊松方程解泊松方程解泊松方程解泊松方程解泊松方程解泊松方程解泊松方程切向的的条件条件。。然而然而然而然而然而然而

可以旋度，可以旋度单元地地切向同时同时同时同时同时，我们。同时同时同时同时同时同时同时同时同时同时同时同时同时同时同时同时同时同时同时同时同时。。。。。。。。同时推导弱推导弱推导弱推导弱推导弱推导弱单元的缺点，但是这些远没有重要。。

参考文献

  1. 惠特尼，《几何整合理论》，普林斯顿，普林斯顿，1957年。
  2. Nentchev，通过矢量有限元中的微电子中的数值分析和模拟，2008年。
  3. C.Nédélec，混合有限元素ℝ3。Numerische Mathematik，35（3），第315–341页，1980年。
  4. P. Webb，Edge Elements及其可以为您做什么。IEEE磁学交易，29（2），第1460-1465页，1993年。
  5. M. Jin，电磁场的理论和计算。John Wiley＆Sons，2011年。
  6. Mur，边缘元素，它们的优势和缺点。IEEE磁学交易，30（5），pp.3552–3557，1994。

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