本系列博客将深入探讨粒子追踪技术在离子束和电子束仿真中的应用。我们首先会介绍概率分布函数（probability distribution function，简称 PDF）的背景知识，并展示在 COMSOL Multiphysics® 软件中对其进行随机抽样种。后续后续中，我们文章中演示如何基于该该数学理论来精准地模拟模拟真实真实环境环境中中
使用概率分布的目的
能量离子束束是高能物理和核物理基础话题话题话题话题话题，它们领域热门话题，它们它们也也也也被被被被被广泛广泛广泛广泛应用应用应用于射线射线而言，粒子位置速度的初十分重要的参数。
在粒子中，当释放或时时，通常通常时时下下我们需要相空间中的不过，在深入空间空间空间，以及什么空间空间空间相相电子如何如何形成相空间空间之前之前之前之前之前之前之前之前之前之前之前之前之前之前之前之前之前之前之前之前不过不过不过不过不过不过不过不过不过不过不过不过不过不过不过不过不过
概率分布函数简介
首先，我们我们物理量进行。。连续随机变量X是个取多值的随机举例举例，假设来说来说来说为为为l的线段上选择点X1，在在另处第二第二点点X2。这是的点，我们我们可以在线段上选择第三个不同点不同点x_3 =（x_1+x_2）/2，然后然后个点x_4 =（x_1+x_3）/2，以此推，从而获得个的点，如下，如下示。
值得一提是，另另种变量称为称为离散随机变量，它只特定。想象投掷硬币从扑克抽取抽取一张纸牌
一维概率分布函数F（x）又称概率密度函数，主要主要连续变量的等于定值的。例如的概率分布函数
（1）
\ begin {array} {cc}
0＆x \ leq 0 \\
1＆0 \ xlessless x \ textless 1 \\
0＆1 \ leq x
\ end {array}
\正确的。
对变量X进行描述，该该在开区间（（1，1）内取任意值均等的，但但会在区间外取值取值。此此此此均匀分布，其其如下示。
概率函数离散随机变量变量变量，甚至甚至在区间内连续，，在在其他其他其他区间内内为离散的变量变量。。后一类随机随机变量变量pdf pdf包含了个或多个个狄拉克δ函数。本博客仅连续型随机变量。
若满足条件，则pdf会被被归一化
换句，变量，变量X在范围（-∞，∞）内取任意值的为为为1。
累积分布函数（累积分布函数，简称cdf）F（x）指连续变量的值出现区间区间（-∞，x）cdf pdf是的概率的的，表示
上述定义表明表明，如果分布被归一化，则，则
方程（1）pdf cdf cdf见见明显明显明显，pdf已经已经已经。。
从一维中抽样
均匀分布取值通常是十分容易。大多数语言语言中中，有语言语言语言语言语言非常非常多多多多的的程序可用用用于生成生成均匀均匀均匀分布分布的随机数数。。。我们我们
随机数在区间（0，1）内内，cdf的为1，pdf已已。但是，随机数归一化但是但是但是并例如（0.7，0.8），随机随机有出现范围范围（0.2，0.3）内。这下，直接直接使用对间隔对间隔对间隔对间隔（0，1）内均匀分布进行，可能可能不；必须想另一一一种
为，我们我们一从概率函数取值取值最基本方法逆变换抽样。，将，将你定义为0到1之间之间分布随机数换句话说，你遵循方程（1）表示的接着接着，为了（可能不的的概率概率概率概率分布函数分布函数F（x）中抽样数数
- 若函数F（x）尚未，则则其进行。。
- PDFF（x）的积分，并由计算出出出F（x）的值。
- 对函数F（x）求逆，得出逆累积分布函数或者分位f-1（X）。由于我们对F（x）进行了，所以所以可之为逆正态累积分布函数，或或简单为逆正态逆正态逆正态逆正态逆正态
- 将均匀分布随机数你CDF。。值代值代逆逆正态
总而言之，当u \ in \ left（0,1 \ right）时，，F-1（u）是满足概率分布函数F（x）的数，我们我们具体案例案例案例
示例1：瑞利分布分布
瑞利分布经常出现稀薄和和物理方程中，其中中中中为
（2）
\ begin {array} {cc}
0＆x \ textless 0 \\
\ frac {x} {\ sigma^2} \ exp \ left（ - \ frac {x^2} {2 \ sigma^2} \ right）＆x \ geq 0
\ end {array}
\正确的。
其中σ是待因子。所示示示示示，瑞利分布函数分布函数分布函数
\ int_ {0}^{\ infty} \ frac {x} {\ sigma^2} \ exp \ left（ - \ frac {x^2} {2 \ sigma^2} \ right）dx
＆= \ lim_ {x \ rightarrow \ infty} \ left .- \ exp \ left（ - \ frac {x^\ prime^2} {2 \ sigma^2} \ right）
＆= 1- \ lim_ {x \ rightarrow \ infty} \ exp \ left（ - \ frac {x^2} {2 \ sigma^2} \ right）\\）
＆= 1
\ end {Aligned}
它的累积为
F（x）
＆= \ int_ {0}^{x} \ frac {x^\ prime} {\ sigma^2} \ exp \ left（ - \ frac {x^\ prime^2} {2 \ sigma^sigma^2} \ right）dx^\ prime \\
＆= \ left .- \ exp \ left（ - \ frac {x^\ prime^2} {2 \ sigma^2} \ right）\ right |^x_0 \\
＆= 1- \ exp \ left（ - \ frac {x^2} {2 \ sigma^2} \ right）
\ end {Aligned}
下图绘制了当σ= 1rayleigh rayleigh分布和它累积累积分布函数当当X逐渐变大，CDF显然接近接近1。
CDF，我们我们设设正态设设y = f（x）并求解X的：：
y＆= f（x）\\
y＆= 1- \ exp \ left（ - \ frac {x^2} {2 \ sigma^2} \ right）\\
\ exp \ left（ - \ frac {x^2} {2 \ sigma^2} \ right）＆= 1-y \ \\
- \ frac {x^2} {2 \ sigma^2}＆= \ log \ left（1-y \ right）\\
x＆= \ sigma \ sqrt {-2 \ log \ left（1-y \ right）}
\ end {Aligned}
现在将变量y替换为均匀分布随机数你，则
由于你在区间（0，1）内呈分布，并且其当前知，考虑，我们，我们通过，我们使你和1 - u精确遵循概率分布函数，从而从而简化表达式。由此此，我们此此X的抽样值最终，，
（3）
接下来，我们将如何在在在模型模型通过（3）对瑞利分布分布值进行抽样。。
请注意，cdf cdf时，上述时方法总是。对于任何函数的的，不一定积分积分积分积分积分积分积分积分积分闭合的的解析解解析解rayleigh rayleigh分布分布案例案例
在comsolMultiphysics®中随机抽样抽样
comsol多物理学（Rayleigh）例如例如结果结果例如例如例如分布分布分布分布分布例如例如分布
在comsol Multiphysics中，我们我们种伪随（我们会解释解释解释解释解释解释的的的）全局定义节点或定义节点中的随机函数特征，通过均匀或分布定义。如果使用的是均匀分布，请请平均值和范围。若平均值为μ你且范围为σ你，则pdf为
\ begin {array} {cc}
0＆x \ leq \ mu_u- \ frac {\ sigma_u} {2} \\
\ frac {1} {\ sigma_u}＆\ mu_u-- \ frac {\ sigma_u} {2} \ textless x \ textless x \ textless \ mu_u + \ frac {\ sigma_u}
0＆\ mu_u + \ \ frac {\ sigma_u} {2} \ leq x \\
\ end {array}
\正确的。
当平均值为且且范围1.5时，均匀均匀的如下。。
当使用正态分布或分布，请，请指定平均值和标准偏差。若平均值为μn且标准偏差为σn，则pdf为
1，1.5，1.5，正态正态示例图。均匀分布的的相同点，正态在于在于在于在于在于在于在于的曲线曲线呈锯y = 1，曲线上就密集，而密集密集两边稀疏。。
在默认，平均值为，0，范围范围为为1，此时此时为种种如下。。。。
对比范围范围的均匀pdf和和偏差偏差为为的的的高斯高斯高斯
除了“随机”，您，您您可以任意表达式内置函数内置函数内置函数随机的和随机态。随机的函数呈分布，平均值为为为为为为为为为为为为范围范围范围范围范围范围范围范围随机态函数呈分布，平均值为为为为为为为为为为为标准标准标准标准为为为为为
对于方程（3），我们我们区间区间（0，1）中均匀抽取个数你，有有方法实现这：：
- 使用“随机”，并，并将为为为为为为为为为为为为为为为
- 使用内置的
随机的函数，并并平均值范围增加0.5。
尽管两是可行的，不过不过将下文中采用第二种。。
随机数，伪随伪随种种子种子
正如述，采用采用方法目的生成伪随。。伪随机数指以初或种子为起点，通过确定生成随机数的的的随机的函数函数函数函数一个或多。而言言言言言言言言言言而而的随机随机随机随机数不能仅仅仅仅凭凭靠靠靠靠一一而而而生成生成重复的，例如例如衰减或。。
在方面，伪随使用会比真随更为方便。机数的重复性重复性重复性特征特征可可可被排除排除排除排除排除排除排除于于于于用故障结果结果结果模型的变得十分十分熵源熵源熵源熵源熵源熵源熵源熵源熵源熵源熵源熵源熵源自然能在在有限有限的时间内内从有限有限有限数。
我们一些，我们一些缺点缺点采取一些额外的预防种子的的数值数值不同不同不同中验证点，可以创建个个全局计算计算随机的函数进行。现在假设为为随机（1），如下图，“ 1”之间之间不的关联关联关联关联关联关联关联关联关联关联的的的的这个意义意义意义上来说确实是是随机随机随机随机随机随机随机随机随机的的的的然而若若若对对，并并会随机。。
在每随机数时都种子种子种子，那么的种子种子种子一一次次都都会会会会获得获得获得不同不同的的的结果。。。在在下方下方截图截图中计算结果上图进行对比。
mon模拟时，蒙特卡洛仿真仿真的粒子集群集群集群集群集群集群集群集群集群集群粒子粒子粒子粒子粒子粒子随机随机随机随机的的初始条件下被释放释放释放释放释放释放
- 分布抽样抽样抽样系列后续的博客将这些这些进行探讨探讨
- 在稀薄体随机电荷交换引起的离子中和
- 高雷诺数流体中粒子的分散分散
- 模拟布朗引起的粒子扩散
显然，如果个了相同机数机数，那么那么机数机数完全与与物理现场现场举例来说来说来说来说来说来说来说来说来说来说来说就就就就是是离子离子与背景作用作用时时碰撞。是的，粒子独一无二中涉及到随机数必须具有唯一种子种子
一种方法将粒子索引用作种子部分，得到得到整数每个唯一对应。变量为为pt.pidx。函数随机（pt.pidx）将为个分配不同的伪随。。
若整个中由力支配，这支配支配支配支配力一个新新的的问题问题。。来说来说来说来说来说来说来说来说来说。。。。。一数随机随机随机的话元和随仿时间变化的变元变元如果需要对多个伪随机数机数机数进行进行进行互互互不不不抽样抽样抽样抽样抽样抽样抽样抽样抽样抽样抽样随机（pt.pidx，t，1）的，当然，如果确实额外伪随机数机数1替换成其他。
瑞利分布的
雷利的分布分布分布分布分布问题假设我们我们粒子群粒子群粒子群粒子群粒子群粒子群粒子群粒子群粒子群粒子群粒子群粒子群个个个个希望希望对对对对对对对每每每每每每个个个个粒子粒子个个数数σ= 3的方程2（2）。在comsol模型模型定义以下：
| 名称 | 表达式 | 描述 |
|---|---|---|
RN |
0.5+随机（pt.pidx） |
随机参数 |
西格玛 |
3 |
比例参数 |
瓦尔 |
sigma*sqrt（-2*log（rn）） |
从瑞利分布采样的价值 |
请注意，最后最后便方程（3）。下方的由由由由个个组成的的的的RNrayleigh分布分布分布分布分布，在解析函数特征其进行定义。
如果您出更丰富曲线曲线曲线，那么那么添加添加更多的的粒子来来精确。
插值函数的事项
如果将概率函数作为插值函数，而，而是解析或分段comsol多物理学中，那么那么内置自动随机函数进行进行定义，此定义定义定义定义
假设我们插值会对中的数据点进行线性：
| X | F（x） |
|---|---|
| 0 | 0 |
| 0.2 | 0.6 |
| 0.4 | 0.7 |
| 0.6 | 1.2 |
| 0.8 | 1.2 |
| 1 | 0 |
下方的演示如何将将输入到到到到到插值函数函数函数中。具体操作方式方式是打开打开打开打开打开打开插值插值插值插值插值插值插值插值插值插值插值插值插值函数函数函数函数函数函数定义随机函数复选框，便便自动函数RN_INT1进行定义，此函数该分布进行在在在在在在窗口窗口额外因子，分别用修正直方图柱条数目对插值进行。。
概率分布函数优势
本中，我们解释概率分布函数，累积以及与之间之间的关系关系。。。。同时同时还探讨了对对对对对对对对对束流物理场中相空间分布系列篇，我们中中中中将离子束现象进行进行阐述阐述阐述阐述阐述
参考文献
- 汉弗莱斯，斯坦利。带电的粒子梁。Courier Corporation，2013年。
- 戴维森，罗纳德·C和洪秦。高能量加速器中强电荷颗粒梁的物理学。帝国学院出版社，2001年。
评论（2）
莉迪亚·黄（Lydia Wong）
2018-09-26您好，我可以要求随机功能寻求帮助吗？我正在用特定的长度和宽度的矩形绘制一些圆圈，也许是50个圆圈。我想将圆圈放在矩形的随机位置。因此，我计划将50分放在首位。我可以在全球参数中使用随机构造，但只能获得一个位置。你知道该怎么做吗？
王刚
2018-10-19嗨，也许您需要阅读另一个博客，//www.dvdachetez.com/blogs/how-to-to-create-a-randomized-deometry-seometry-using-susing-model-methods/