薛定谔-泊松泊松泊松多物理场用模拟模拟诸如量子量子量子，量子线量子点量子点载载流子的的的量子量子量子量子约束约束约束约束系统。。在在在在本在在本中在在在本中约束约束约束约束量子约束约束量子量子量子量子量子约束量子软件附加“半导体”提供提供的项项项。
薛定谔-泊松泊松方程多物理场
自comsolMultiphysics®5.4版本，用户版本使用的全新薛定谔-泊松泊松泊松多，在，在静电接口接口薛定谔接口双向，借创建模拟模拟量子约束中。的载流子载流子静电载流子载流子静电的的的电势对谔方程薛定谔方程谔方程中的势能势能势能有有有贡献有有贡献薛定薛定薛定薛定薛定薛定薛定谔谔谔谔特征态特征态特征态特征态中的电荷贡献。此所有空间，包括空间所有空间所有一维一维，一维轴对称，二二维维维，二
求解-泊松-泊松泊松
- 泊松泊松特殊处，静电，静电稳态，而，而稳态，而求解薛定谔方程定谔方程谔方程需要特征值特征值研究为了为了求解耦合双向双向双向迭代过程包含：：
第1步
为了为了的迭代迭代，求求求求
（1）
从而计算出v，其中\ epsilon是介电，，\ rho是空间空间密度
在在一步骤步骤，\ rhothomas-fermi近似近似近似近似近似近似近似值的。值值值
第2
上上步获得的v对薛定谔方程中的势能v_e有有
（2）
问为载流粒子，其其公式公式公式
（3）
其中z_q是，，e是单位电荷
第3步
利用利用等式。2推导出新势，求解求解谔，得到谔，得到得到组特征特征特征E_I和一组对应的归一化\ psi_i。
第4步
利用利用的加权，计算计算粒子分布分布N_ \ Mathrm
{和}
（4）
= \ sum_i
{你}
〜| \ psi_i |^2
其中，权重你通过对连续态-狄拉克-狄拉克狄拉克狄拉克进行积分计算出来因此因此取决于取决于模型模型的的。空间）
（5）
{m_d} {\ pi \ hbar^2} k_b t〜f_0 \ left（\ frac {e_f-e_i} {k_b t} \ right）~~~ \ mbox {1d}
（6）
{2 m_d}
{\ pi \ hbar^2}
\ right）^
{1/2}（k_b t）^{1/2}
〜f _ { - 1/2} \ left（\ frac）
{e_f-e_i}
{k_b t}
\ right）~~~~ \ mbox
{1D轴对称或2D}
（7）
\ right）} ~~~~ \ mbox
{2D轴对称或3D}
其中，，g_i为谷简并，，E_F是，，k_b是玻尔兹曼，，t是绝对，，m_d是是密度，，F_0和f _ { - 1/2}是-狄拉克-狄拉克狄拉克积分
为简单见，，等式。4的的和包含一个用于求和的我。，求和求和包含个。文的模型计划计划对角量和（每个个角量角量子数的的子数的
第5步
对于对于的粒子密度N_ \ Mathrm
{和}，我们我们计算电荷电荷\ rho，并并重新泊松泊松，由由获得的电势v。。的电荷密度的简明算式
（8）
此算式往往发散。下列可以出出更好的
（9）
{和}
\ exp \ left（e^
{-\α}
〜\ frac {-q（v-v_ \ mathrm
{老的}
）
{k_b t}
\正确的）
其中v_ \ mathrm {old}是是一的的，\α是一个额外调整参数
上方公式依据，我们我们到到密度密度n_ \ mathrm {sum}
是是V_ \ Mathrm
{老的}的计算，一旦泊松方程，即，即可得到的v，n_ \ mathrm {sum}
也也变化句句，等式。8可以更更地
（10）
因为n_ \ mathrm {sum}是v_ \ mathrm {old}
的，所以，所以\ rho可可重新解泊松方程以以得到v。
为了获得，更更优方程式为
（11）
{new} = Q〜N_ \ Mathrm {sum，new}
此时n_ \ mathrm {sum，new}是未，因为因为下一次薛定的解。。。解，我们我们，我们我们可以使用v_e = qv和粒子n_ \ mathrm {sum}之间之间的指数关系
（12）
{sum，new}
= N_ \ Mathrm
{sum，旧}
〜\ \ exp \ left（\ frac {-q（v_ \ mathrm {new} -v_ \ mathrm
{老的}
）
{k_b t}
\正确的）
当\ alpha = 0时，得到等式。9。此适用于高温，此时此时玻尔兹曼是个个好的的近似值。。。在较较较低低\α设为设为有利于加快收敛
第6步
通过通过求松方程获得新的电势v后，将将上一次电势的v_ \ mathrm {old}
进行比较如果次分布预期范围内，则内，则自洽解自洽解，回到
专用专用薛定谔-泊松研究研究在求解器中自动生成上述步骤步骤
基准：纳米线纳米线模型
砷化镓纳米线教学J.H.luscombe，a.m。Bouchard和M. Luban发表发表的一题为为题为“量子纳米结构中的电子限制：自洽的poisson-schrödinger理论”的
在几何长呈对称的假设假设，选择选择假设假设维轴对对称称半导体分支下薛定谔-泊松泊松泊松多，从而，从而从而薛定谔接口接口静电接口接口薛定谔-泊松泊松泊松多物理添加添加“模型”中中中
为纳米线模型薛定谔-泊松泊松泊松接口。
50 nm。半径的的中的的中中的的半径的半径半径半径。电子电子质量质量设设为为为为自由为自由自由电子自由电子的的自由电子自由自由0.067倍倍倍电子电子电子自由电子自由自由自由自由自由自由自由自由自由自由自由自由自由倍倍倍倍倍倍倍倍倍（论文中中中的的结果费米费米（（将费米能费米能设设设级级设级，壁上壁上-0.7 v，使之使之使之研究人员描述的费米能能级钉扎边界边界边界边界边界边界条件条件条件相匹配相匹配匹配为了。。为了为了为了比较为了比较比较为了为了为了比较论文10k温度下了2-1018厘米–3的均匀电离。上述数字作为参数参数模型模型
纳米线纳米线的全局参数
thomas-fermi近似近似近似的
纳米线纳米线的局部变量
定义定义和局部，“模型”中模型模型中中直接它们输入输入到几何，材料物理场物理场节点节点下下下：
- 如上文所，角量子被被，以便以便进行扫描扫描，然后扫描到与求和薛定谔物理场节点物理场节点设置窗口窗口
- 回想回想计算超晶格的，特征值，特征值λ规模与λ相乘，得到得到能量E_I（E_I=λ规模λ）
- 举例举例，如果λ规模等于1ev，特征值1.23，则则特征能量能量1.23eV
- 如上文，在，在静电接口中电势边界，并，并设定的线壁的
- 此外，添加添加个个空间电荷域条件，一用于掺杂，thomas-fermi近似近似在（在在（薛定谔-泊松泊松泊松（中应该一一）
创建-泊松多-泊松多泊松多物理场
在薛定谔-泊松泊松泊松多物理场节点设置窗口中方程栏，查看查看此节点公式公式公式的的的你你求解-泊松-泊松泊松的的，应该应该熟悉。设置设置耦合耦合栏栏选择个耦合的物理场接口模型模型栏设置系统系统温度，如下方如下方：：
薛定谔-泊松泊松泊松节点节点设置窗口的上半部
粒子密度（（（（））指定指定概率密度的，参考等式。4。如果费米-狄拉克，抛物型，抛物型带这这，则，则则等式。5〜等式7计算权重你。用户也自定义选项不同的权重表达式表达式
M =±1，±2，以以量子量子简并的的的的简并角量子量子1+（M> 0）来来简并简并g_i，当M= 0和2且M> 0时，计算计算结果为1。
薛定谔-泊松泊松泊松节点节点设置窗口的下半部
在电荷密度（（（（））输入z_q来来等式。3。如果选择修正gummel迭代默认，则，则等式。9计算计算的空间电荷\ rho。软件选项其他，其中其中包括自定义数学用户用户选项选项选项
全局误差的默认（schrp1.max（abs（v-schrp1.v_old）））/1 [v]，计算了个迭代的之间的最最，单位Schrp1应应薛定谔-泊松泊松泊松节点节点名称字段，变量，变量v应应静电接口的名称。在更加复杂模型，它们变成的的的的，若变成非默认，若变成，若若，若名称名称非默认变成变成模型的的的的的的的的的的的的的的模型模型的的的的的，若
建立-泊松-泊松泊松研究
“ 2”下下薛定谔-泊松研究步骤自动序列中生成自洽迭代。上文中中求解-泊松-泊松泊松的章节概述了迭代方案
如果我们的是个全新，那么，那么那么的的研究研究栏下栏下特征频率搜索菜单，我们，我们通常选择手动搜索默认查找能量能量范围一旦一旦，我们一旦确定确定可以可以切换可以切换区域搜索搜索，然后设置特征值范围，以范围和和和确保解器找到找到所有的重要特征态特征态特征态。。针对针对针对本本本教程前文所，它们它们-0.15和0.05。
输入框中实部虚部别特征值的实部和虚部。查找束缚态缚态的的的的，我们的的的缚态缚态特征束束束束束上下浮动，借此数值噪声略泄露的准束
薛定谔-泊松研究步骤设置窗口的上半部
正正我们之前指出，第二第二空间电荷thomas-fermi近似近似近似近似近似近似。因此因此如上方上方，物理场和变量栏禁栏禁了该条件
在迭代栏下，，终止终止下拉菜单的的选项最小化全局，它它结果，后者后者了中次后的全局误差变量变量内置内置全局全局schrp1.global_err计算两最新生成生成电势场之间的最最薛定谔-泊松泊松泊松多物理场节点中请，前缀，前缀Schrp1应该应该薛定谔-泊松泊松泊松（（（（））因此，将，将将容差设1E-6意味着当大差值差值差值差值差值，迭代时时时结束。设置请参考
薛定谔-泊松研究步骤设置窗口的下半部
在因变栏下，我们我们“研究1”中thomas-fermi近似近似研究的条件。使用然后辅助辅助功能功能求解一系列负角量子量子m。如上文所，至于，我们，我们可以公式1+（M> 0）来计算简并g_i。专用求解器将自动所有特征态概率密度统计统计和和
检查自洽
thomas-fermi近似近似了初始，而且，而且等式。9为空间密度了前前前向，经过经过次八后后求解器解器便便完成了了收敛收敛电子密度，，，势能和和和轨道贡献图
比较电子密度和部分轨道与文献文献中的数据
friedel型型型型型型型型型型空间振荡。
friedel型型型型型型型型型型空间振荡。
下一步
在本博客，我们我们砷化镓纳米线模型自洽薛定谔-泊松-泊松泊松结果结果，证明结果，证明薛定谔-泊松泊松泊松接口接口薛定谔-泊松研究类型，用户更地并-泊松-泊松泊松泊松泊松要想亲自尝试尝试尝试此，请此尝试尝试亲自亲自亲自亲自尝试亲自亲自尝试请请请请下方下方下方按钮按钮跳转跳转跳转跳转案例案例，还mph文件文件文件文件文件
希望这些你你，我们我们欢迎各位分享在研究中使用使用功能功能经验的的
参考参考
- J.H.卢斯科姆（A.M.）Bouchard和M. Luban，“量子纳米结构中的电子限制：自一致的泊松schrödinger理论”，”物理。b，b，卷。46，不。16，第1页。10262，1992。
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