从comsol多物理学®软件5.6版本开始，半导体半导体的的薛定谔方程物理场接口了多分量波函数的功能在在使用comsol对对器件的能带结构仿真仿真仿真的文章，我们讨论如何使用此处理。本篇博文博文博文博文博文博文博文博文博文博文博文博文博文博文博文本篇本篇。。。。。。。。。。
量子点简介
LEDS（LEDS），，，，，部分部分部分部分部分部分部分部分部分部分部分部分，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，二极二极二极二极二极量子位应用领域相关（（参考文献1）。。文补充说明说明说明说明说明说明，提供提供公式公式公式公式公式公式，并并的公式公式公式的中硅量子点中硅量子点中硅量子点中硅量子点中硅量子点中硅量子点中硅量子点中硅量子点中硅量子点中硅量子点补充补充补充补充补充图补充图图图图图1。
硅量子点的薛定方程
在参考文献1的补充中，，方程1给出了均匀磁场\ mathbf {b}中硅量子点的哈密顿量，不包括自旋：：
（1）
+\ frac {p_y^2} {2 m_ \ perp}
+\ frac {p_z^2} {2 m_ \ Parallel}
+v（\ mathbf {r}）
+\ \ mu_b \ mathbf {b} \ cdot \ sigma
其中，，m_ \ perp和M_ \并行是分别横向垂直方向上的有效；；v是量子点的势能；\ mu_b是玻尔磁子；\ Mathbf {\ Sigma}Pauli矩阵矩阵；根据论文所所述述述述述述\ mathbf {p}由下式：：
（2）
式，，e是基本，，\ mathbf {a}是给定的磁矢势\ Mathbf {a}（\ Mathbf {r}）= \ frac {1} {2} {2} \ Mathbf {b} \ times \ times \ Mathbf {r}，并且虚数单元一世前面没有，因为comsol多物理学中中所有接口采用符号符号符号EXP（-i k x + i \ omega t）而不是Exp（I K X - I \ Omega T）。
约束势能v（\ mathbf {r}）项由中的等式式给：
（3）
+\ frac {1} {2} m_ \ perp \ omega_y^2 y^2
+q f_z z
+u_0 \ theta（z）
其中，前两表示各向谐波捕，其中，其中\ omega_x和\ omega_y分别在x x和y方向上的角频率，第三第三描述一在在在z方向上的电场势f_z，问是粒子电荷电子q = -e（）；在在在Z = 0的的存在一为为为为为U_0的潜在势垒。
参数和变量
建模参数如下表：：
| 名称 | 表达式 | 值 | 描述 |
|---|---|---|---|
| MXY | 0.19 * me_const | 1.7308e-31公斤 | 横向有效质量 |
| MZ | 0.98 * me_const | 8.9272E-31公斤 | 垂直有效质量 |
| WX | 1 [mev]/hbar_const | 1.5193E12 rad/s | X方向上捕获势函数的角频率 |
| 怀疑 | 3*WX | 4.5578E12 rad/s | y方向上捕获势函数角频率角频率 |
| fz | 10 [mv/m] | 1E7 V/M | 电场 |
| U0 | 3 [ev] | 4.8065e-19 j | 氧化物势垒 |
| b | e_const * hbar_const/2/me_const | 9.274e-24 m2·一个 | 玻尔磁子 |
| b | 1 [t] | 1t | 磁通密度 |
除磁场了一个推测值1 [t]外，所有所有在中均。。。
磁矢势\ Mathbf {a}（\ Mathbf {r}）= \ frac {1} {2} {2} \ Mathbf {b} \ times \ times \ Mathbf {r}使用指定，假设假设匀磁场指向y方向：
| 名称 | 表达式 | 单元 | 描述 |
|---|---|---|---|
| 斧头 | z*b/2 | WB/m | 矢量势 |
| 是的 | 0 [WB/M] | WB/m | 矢量势 |
| AZ | -x*b/2 | WB/m | 矢量势 |
物理场设置
薛定谔方程物理场接口了个波函数，PSIU和psid，分别分别向上自旋：：
默认的有效质量域条件指定横向垂直：：
在模型，尽管两波函数波函数分量的有效有效质量
为横向波陷波使用三个电子势能域条件设置能项v（\ mathbf {r}）（方程3）：
对于：：
对于：：
向量势（方程2（（（（））对对的贡献是使用洛伦兹力域条件来：：
最后，利用零阶哈密顿域条件自旋和自旋分量的磁耦合（方程1中的最后项项）：
请，由于，由于零阶哈密顿域条件自动乘以因子\ hbar^2/2m_e，所以所以需要该因子，以便因子因子和和和方程1的最后项：：
（4）
= \ mu_b b \，\ mathbf {n} _y \ cdot \ mathbf {\ sigma}
= \ mu_b b \ sigma_y
= \ left（\ begin {array} {cc}
0＆-i \，\ mu_b b \\
+i \，\ mu_b b＆0 \ end {array} \ right）
上面的屏幕为零阶哈密顿域条件设置窗口，，哈密顿输入表的第一行了方程4矩阵（1,2）元素
我们还个的扫掠网格，并并扫掠网格一个研究研究来查找前
理解结果
通过绘制个征态的自旋实部和虚部，我们虚部，我们发现它们它们具有具有相似相似的的的大小大小和和和和
| 自旋向上波函数分量 | |
|---|---|
 |
 |
| 基态，实部 | 基态，虚部 |
 |
 |
| 第一，实部，实部 | 第一，虚部，虚部 |
与自旋相比，自旋自旋波函数在之间具有这趋势。。
为了理解观察观察，我们评估峰值点附近的波函数：
| 特征值 | （1） | （1） |
| 0.03788 | 1.000 + 1.000i | 1.000-1.000i |
| 0.03799 | 1.000-1.000i | 1.000 + 1.000i |
（（），对于结果表第一行行）向量成，它是是是自自的下本下本征态。这与直观直观直观的的的的一致一致一致一致一致一致一致一致直观直观直观直观直观直观即即即即即磁场中中中旋与磁场。
类似，对于，直，直直到缩放比例约为为为为为为为为为为为为为为为为为为为为为为1+i =（+i）（1-i），并且并且向下的为为1-i =（1）（1-i）。因此，由两分量的向量与\ left（\ begin {array} {c} 1 \\+i \ end {array} \ right）成比例比例是是是旋算子的。直观的图片图片一致一致一致一致一致一致一致一致一致一致一致一致一致
通过将的之间的差在均匀下自旋向上和自旋向下的的电子之间之间能量能量能量2 \，\ mu_b b（）进行进行确认这观察结果
| 特征值 | （MEV） | （MEV） |
|---|---|---|
| 0.03788 | 0.1158 | 0.1158 |
我们看到个本征态计算出的能量和预期的能量差非常吻合吻合吻合吻合吻合吻合吻合吻合吻合吻合吻合吻合吻合吻合吻合吻合吻合吻合吻合
概率密度和密度
下图显示了xz（（（（（））和和变密度密度（（（红色箭头箭头）
下图显示了缩略的第八个激发态的密度密度（（（（和和和和动量动量动量动量动量密度箭头箭头箭头箭头箭头箭头箭头箭头箭头箭头箭头箭头箭头箭头箭头箭头箭头箭头箭头箭头动量动量动量动量。。。。。。）透明度子节点绘制的概率的等值面。
动手尝试
通过这博文和上篇篇有关锌矿锌矿锌矿的的k•p方法的文章文章文章，我们我们了波函数的薛定谔方程物理场接口。您可以自己动手使用功能功能建模建模。
单击下面按钮，尝试在的磁场对子建模建模建模
参考文献
- R M。Jock等人，“硅金属 - 氧化物 - 氧化型旋转轨量子值，”，自然通讯，9：1768，2018。
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