弱形式的

（comsol多物理学），就你仿真你元有限你有限元元软件软件（（（（（就会在在某些时候某些时候某些时候遇到某些时候遇到某些时候弱弱弱弱弱形式弱弱弱弱这这这表述表述。。一个非常强大的概念今天，我们我们了解了解的基本使用所带来的好处好处

弱方程的

（PDE）建立物理场仿真偏微分建立的这些来自原理原理原理的的的的的的的原理原理原理原理原理原理原理原理原理的原理定律例如例如质量质量，能量能量和和动量被被任意域上的积分。

体积积分描述域内存储的或的的体积积分。由于使用的是是是，因此因此任意方程在在在每个个点点上上都都都独立独立独立有效有效有效独立有效独立独立

然而条件。的偏微分方程无法满足满足意义上上合理性合理性的的的的上上称称该该方程过于方程严格严格严格（这这形式形式弱弱弱弱弱发挥），弱方程弱方程反转过程。意味着方程比经典方程更接近基础基础基础

如何从经典方程推导出

我们我们偏微分方程，并并导出弱应项的的过程过程过程。。为为扩散扩散：

comsol软件软件大多数方程包含相似的。传热传热，扩散扩散C，以及以及F，分别分别热系数热源如果知函数未你，是原偏方程的，也也以下积分：：

其中，，v为，在，在偏微方程两侧v后，等式等式侧分别在域\欧米茄上积分。

反反，如果如果积分足够数量数量v都，那么，那么你可能是微分方程解。就就是为什么为什么v被，在，在有限元中起着。我们将下面讨论讨论如何选择试函数

将偏方程转换为积分方程方程已经弱形式的，但形式形式形式的的的还还还需要需要进行进行第二步步。这个这个这个将高斯高斯格林。在的例子例子，我们我们将的方程方程的改写改写：

其中，，\ partial \欧米茄为域\欧米茄的，，n为指向域的。使用这个这个，扩散方程最终：

边界边界负责与周围\欧米茄相互作用在，边界条件，它发挥，它发挥种，从而种，从而，从而从而相互，从而从而使整个个方程具有具有唯一-c \ nabla u \ cdot n项描述上热通量热通量，如果没有，那么热通量，那么那么边界就的绝热

试函数的

如果一个你能求解求解不同v的弱方程，则偏微方程的弱解确切确切地地，我们地地一一试函数，，v代表系列，其中每个试函数都个方程当然，我们。。。，我们我们不可能可能可能考虑有可能可能可能的。。是元发挥作用作用的

大家都都都研究之前对计算域网格划分网格网格划分将几何体几何体划分为为为一组组更更体积的体积的体积体积体积的的体积体积的的体积小的的单元只在邻单元上，以外以外为零这种方式构造的的最常见拉格朗日形函数，comsol软件的许多接口使用这函数函数函数

选择（（（离散化（））。。离散化设置，，默认使用（元素（）。

当然也的试函数，但但但在不不这些细节需要注意注意注意注意的是是注意注意，由于是，由于由于与与不同不同不同不同网格网格单元它们的的分辨率

上述这些你解有什么关系？？的结果实际上实际上是相关试函数试函数的的的的叠加叠加叠加叠加叠加是是是，尽管。是也就也就是是是叠加叠加叠加叠加叠加叠加叠加叠加叠加叠加叠加尽管尽管尽管尽管的函数网格，包含越越多越多多越多越多多函数越函数多越越就越越越好好（（尤其是尤其是梯度陡峭陡峭区域的的区域的的的区域的的的需要多多的多的多网格网格的再发生，你就成功网格无关性无关性，你你无关性解很可能是原始

这这试函数近似求解的的方法丽思 - 加勒金方法，从意义说，它上它好有限方法，因为有限元元元元能能计算和和精确求解的的的误差最最最小离散化关于离散化离散化的主题主题。现在下面的，它它代表一个下的的的弯曲膜。它它它显示了随着分辨率网格分辨率分辨率分辨率分辨率分辨率分辨率的的

增加增加数量可对解优化

数学极限会极限会什么

理论，网格可以进一步，这这意味数更大。。想象可以可以。想象角度来，这不，但并但论点产生了一和解和解的的的唯一性唯一性的的的理论。作为作为作为作为作为作为虽然作为作为作为虽然作为作为虽然虽然作为理论虽然虽然数学数学。作为数学数学的的的令人人欣慰

comsol语法语法的的

说到说到，你可能知道在在在在语法语法如何表达的。。。，软件测试算子，用用试函数试函数v。测试算子算子对因你及其进行，即，即V = \ Mathrm {test}（U）。以将试函数与关联关联是有的所所述述所所述，如果如果如上。。如上如上。。如上如上解解解解解在在在在网格网格网格网格网格上上上多多多多多方程。

为了将中方程的第一项为为X，y和z的偏导来梯度。，一这里。阶偏导偏导记作\ frac {\ partial u} {\ partial x} = ux。

类似，试函数，试函数的数表示\ frac {\ partial v} {\ partial x} = \ mathrm {test}（ux）。

以以，弱弱的在在

边界项特殊特殊特殊处理特殊了本讨论讨论。。弱形式形式偏微偏微偏微分分方程方程方程会自动自动设置设置设置设置设置为设置设置设置为设置设置为为因此因此因此因此因此因此因此不需要需要包含包含包含等等等等等等号号号号。。。。号。。。需要。需要弱计算计算，用户此外此外也自己输入输入形式。。默认默认的的的弱弱弱弱弱形式弱C = F = 1，并且并且个负号，如负号负号：

comsol多物理学（（（（（（））

弱方程的

所有这些中什么什么？现实世界并总是而而顺畅的的。。它它可以可以可以显示显示材料数据，数据粗糙粗糙粗糙粗糙表面表面表面表面，，，，点源以及以及以及以及，，，但弱方程是非常不不不，因为不，因为涉及的项项都是单元单元上积分积分的积分积分上的的优势，comsol软件软件软件用户获得世界应用的解。

总结，弱方程：：

• 是积分的。网格决定研究中的方程的数量
• 允许为世界，因为因为它们源自的物理守恒定律
• 提出提出关于可解性唯一性的可靠性数学理论理论