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亥姆霍兹亥姆霍兹

comsol多物理学^®中的物理都为麦克斯韦方程组，那么麦克斯韦麦克斯韦方程组有什么什么什么，为什么区别，为什么

为了问题，并这一些误区的的，让让常见先退退一步步并并回回看一下一下矢量场矢量场的数学数学\ textbf {e}，，，，\ textbf {d}，，，，\ textbf {h}，和\ textbf {b}。

亥姆霍兹定理麦克斯韦起点的，也也矢量的基本定理，任何。，任何。，任何\ textbf {f}都可以解耦旋度部分和部分。通过了解了解\ nabla \ times \ textbf {f}和\ nabla \ cdot \ textbf {f}，以及以及的适当的的，可以的条件。。矢量。

当然，对\ textbf {f}进行解析解比较，甚至不，而且，而且数值计算不容易容易容易

麦克斯韦麦克斯韦

麦克斯韦麦克斯韦的微分可以：：

其中，，\ textbf {e}和\ textbf {h}分别分别电场强度磁场强度强度\ textbf {d}和\ textbf {b}分别是电位和磁通;\ rho和\ textbf {j}分别分别密度和传导电流。

此外，材料材料了了\ textbf {e}到\ textbf {d}和\ textbf {h}到\ textbf {b}的唯一根据亥姆霍兹定理，很很，这些这些（足够足够的的的的\ textbf {e}，，，，\ textbf {d}，，，，\ textbf {h}，和\ textbf {b}。，对于，对于\ nabla \ times \ textbf {h}和\ nabla \ cdot \ textbf {h}，\ nabla \ times \ textbf {e}和\ nabla \ cdot \ textbf {e}也被规定

势势

通常，使用使用矢势重新方程组方程组，但麦克斯韦麦克斯韦麦克斯韦麦克斯韦麦克斯韦一定是，需要，需要，需要使用唯一

在静力学静磁场，，\ nabla \ times \ textbf {e} = \ textbf {0}；；不的的，\ nabla \ times \ textbf {h} = \ textbf {0}。

在这下，我们我们使用标势当当\ nabla \ times（\ nabla f）= \ textbf {0}，对于对于标量F））分别分别\ textbf {e}和\ textbf {h}，即：：

此外，在在自由存在下，\ nabla \ cdot \ textbf {b} = 0和\ nabla \ cdot \ textbf {d} = 0始终成立。

然后，我们我们矢势（对于场矢量\ textbf {f}），（（\ nabla \ cdot（\ nabla \ times \ textbf {f}）= 0）分别分别\ textbf {b}和\ textbf {d}（（（（没有电荷））的的：

与直接或矢势表示，在在数值表达使用使用有有有有，因为标势很，因为因为很很标势标势标势标势标势标势标势标势标势标势标势标势很很标势标势标势标势标势很很很很很它它它它它它可以可以可以可以可以将将减少减少知数减少减少减少减少知数倍知数知数倍知数知数未知数未知数未理论的来，它它优势优势，因为有，因为因为标势标势解析解找到

，在，在，一一大大和误解误解误解误解是，大学大学误解的学习学习的矢量计算几乎总是总是以以使用使用使用标势的的的的无旋度场无旋度场分析的的的特殊特殊情况特殊情况的的，学生在现实问题，常常问题时需要考虑旋度非零的情况进行复杂分析。。这篇篇文章博客文章

势和规范转换的唯一

许多关于使用陷阱和困难都与的唯一性。如，物理场，物理场\ textbf {e}，，，，\ textbf {d}，，，，\ textbf {h}，和\ textbf {b}都可麦克斯韦唯一解。，当解。。矢势矢势麦克斯韦代入麦克斯韦时麦克斯韦，这些，这些这些方程组，这些这些势麦克斯韦方程组时时解解。。解。。。。

在，假设，假设假设标势v和和\ textbf {a}来表示麦克斯韦，并且，并且\ textbf {e}，\ textbf {d}，\ textbf {h}和\ textbf {b}（（（（（））。v，，，，v_m，，，，\ textbf {a}，和\ textbf {f}）来来分别\ textbf {e}和\ textbf {h}的非零，以及以及方程组要求的散度\ textbf {d}。

首先，对于对于v，在在，，\ nabla \ times \ textbf {e} = \ textbf {0}，因为法拉定律没有电场。，我们。，我们可以可以\ textbf {e} = - \ nabla v。，，v的定义不，因为，因为

这里，，C是，将，将产生的静电场

因此，电标势电标势一额外的其水平，以，以唯一唯一解解，这。。。

对于对于\ textbf {a}，情况情况更。

可以可以，我们我们将标量函数函数\ psi添加添加\ textbf {a}。

由于由于\ nabla \ times（\ nabla \ psi）= \ textbf {0}，（（（（（（（唯一唯一），）\ textbf {b}。

通过标量的移动称为规范亥姆霍兹亥姆霍兹，该亥姆霍兹，该该不确定性不确定性不确定性不确定性是\ textbf {a}。我们指定散度，以以得到一个的的\ textbf {a}，这这通过一常数常数\ textbf {c}实现实现后者由边界条件确定。\ nabla \ cdot \ textbf {a}（colomb仪表：：

一个亥姆霍兹线圈，计算计算得到得到\ textbf {a}（场（等值线幅值）和）\ textbf {b}场（箭头切面表示切面表示切面切面切面。。每个绕组个绕组绕组铜铜铜铜导线导线导线，这些这些铜\ textbf {a}场场流动方向平行\ textbf {a}场用用计算库仑\ nabla \ cdot \ textbf {a} = 0。

电磁学学的

到目前，我们已经了条件没有，因此，因此，也感应，也也，也也也没有位位位移电流密度。下下这些磁场。

现在，放宽放宽为零的，法拉第法律（法拉第法律）

之后，插入\ textbf {b} = \ nabla \ times \ textbf {a}：

如果我们以下，则则法拉：：

但是，重复重复中的规范转换，我们，为了，为了为了更改更改\ textbf {e}定义，不仅不仅必须\ textbf {a}而且还必须v;即

使

那么，，\ textbf {a}和v都取决于规范，并并有助于电场\ textbf {e}独立独立\ psi。

另外值得的，在-安培-安培定律定律中，电场电场通过传导位移电流- \ sigma \ textbf {e} + \ frac {\ partial \ textbf {d}}} {\ partial t}影响影响。像在第定律，- \ frac {\ partial \ textbf {b}} {\ partial t}如何如何\ nabla \ times \ textbf {e}的源项，动态动态电场磁场是耦合的（（称为全全耦合耦合电磁电磁电磁电磁电磁电磁电磁电磁

另另非常的结果，电势结果结果是电场对对\ textbf {e}产生部分依赖规范贡献。意味意味着对于对于你，只只根据的分：：

因此，“势差”势差概念概念的分析电路电路，“势差”概念概念概念的的使用通常不适用适用适用适用，在不适用，在l的选择；，拾波线圈拾波线圈定位。

选择规范有种。库伦规范产生产生，（，并且可能相对论，但是，势，势不能测量。只有电场\ textbf {e}可通过的影响来，而且，而且定义，它它且不受规范选择影响

亥姆霍兹矢量

一种让人特别感兴趣的规范是当我们选择使得电势消失，即：

该规范动态公式，因为在极限，它，使，使，使\ textbf {e}未定义它用于矢量亥姆霍兹，该亥姆霍兹亥姆霍兹亥姆霍兹用用RF模块的频域和电磁接口，以及AC/DC模块中中频域和接口。种情况下，因因变量变量变量\ textbf {e}；在种情况，因因变量变量\ textbf {a}。。的来，在在中它产生显着的的的\ textbf {e}（t，\ textbf {r}）= re（\ textbf {e}（\ textbf {r}）e^{j \ omega t}）：

因此，，\ textbf {e}和\ textbf {a}的的仅在于个全局全局- J \ Omega。

查看磁场接口，频域频域可：：

在频率的的情况情况情况情况情况情况情况情况的的数值上上上

然后，当当部分与电场电场\ textbf {e} = - j \ omega \ textbf {a}（有关）在在数值变得，规范，规范v也会的消失消失。，对，对\ nabla \ cdot \ textbf {a}的，，\ textbf {a}在数值也变得，并且并且也再确定确定确定

所有这些看作耦耦在静态结果结果。，需要结果。，需要需要一个单独单独v）。

这意味亥姆霍兹方程限于应用在或或位流流密度在数值数值上上上情况情况

a-v公式

在，对于，对于\ textbf {a}和v，推荐推荐的，因为因为允许在极限优美解耦（分离的但的的耦合\ textbf {a}和v）。。必须采取外在来处理规范不确定。是，对，对\ nabla \ cdot \ textbf {a}指定指定个，AC / DC模块中中的磁场和接口可同时\ textbf {a}和v。

结语

至至，我们已经了亥姆霍兹于麦克斯韦，以及，以及用标势和矢势表示\ textbf {e}，，，，\ textbf {d}，，，，\ textbf {h}，和\ textbf {b}的结果。：：

• 只有矢量场旋度散度都，矢量场都已都已能唯一；
• \ textbf {e}，，，，\ textbf {d}，，，，\ textbf {h}，和\ textbf {b}通过通过和材料定律唯一；
• 在在方程组中引入\ textbf {a}和和v是，但，但但了\ nabla \ cdot \ textbf {a}，并并提供v的参考参考，否则否则不唯一确定
• 施加施加\ nabla \ cdot \ textbf {a}上的条件v（（（），这一致（（\ textbf {e}独立独立所选规范
• 势\ textbf {a}和v都都\ textbf {e}有，因此，因此你只能用依赖路径的u = \ int_l {\ textbf {e} \ cdot} d \ textbf {l}测量。
• 特定的V = 0可可\ textbf {a}或\ textbf {e}的亥姆霍兹，这这对于波感应以及具有足够强电磁耦合其他其他其他有用的非常非常非常
  • 然而，低频低频在上上，需要数值使用使用同时\ textbf {a}和v的公式。

在本一个博客，我们我们将如何静磁学学实施实施个外在外在的特定规范以及何时何时\ textbf {a}和v。，我们将电荷守恒，即即即方程组中中方程组方程组方程组中中麦克斯韦麦克斯韦方程组方程组麦克斯韦麦克斯韦电流为螺旋状螺旋状，它，它它它它如何限制中中数值模拟关键因素。敬请关注关注