您是否知道ComsolMultiphysics®软件包含符号分化引擎，每当您设置并解决非线性问题时会自动使用？此功能可确保在求解此类模型时该软件的较高鲁棒性，但确实有一些成本。今天，我们将在一些不同的例子中研究这种能力，并研究其收益和权衡。
解决一个简单的非线性问题和符号分化
首先，让我们研究一个相对简单，单一的自由，非线性问题 - 隐式方程：
我们可以说t代表系统的总温度；问代表热负荷；以及上述方程式的分母，（1+T^2/100），代表系统导电。
我们想解决参数的不同值问。解决此类非线性问题的解决方案可以通过抑制牛顿的方法，可以通过写出残差来在comsol多物理学中完成：
然后将其输入全局方程接口，如下屏幕截图所示。
这全局方程界面，用于求解我们的非线性方程。
我们可以解决此方程的一系列不同值问并绘制解决方案，如下所示。
解决单一自由的非线性问题。
出于说明目的，让我们绘制一系列值的残差t，以及针对的选择值问，在下面的图中。零交叉处的点是上述图的解。
剩余的绘图，用于参数的不同值问。的价值t从零交叉开始是非线性方程的解决方案。
让我们还绘制相同范围的残差（雅各布）的相应衍生物t和值问以下。
残留的衍生物的图，以不同的值的不同值问。
我们看到，增加了问，Jacobian是一个更非线性的函数。我们还可以（对于这种简单的情况）手动写出衍生物：
请记住，该软件可以自动通过符号分化并在牛顿步骤中使用它。
现在，是残留物的第二部分的分母使该表达有点复杂（回想一下，可以将该术语视为系统的热电阻）。事实证明，如果我们愿意，我们可以通过包装来忽略这个术语nojac（）关于分母中的术语的操作员：
r（t）=（t - q/nojac（1+t^2/100））
并修改全局方程，如下面的屏幕截图所示。
屏幕截图显示如何使用nojac（）操作员。
结果，nojac（）符号分化引擎将忽略操作员。也就是说，该操作员内的条款对雅各布没有任何贡献。残余的衍生物相对于t现在简单：
我们可以检查一下，这种简化的衍生物只是低值的良好近似值问，其效果是求解器无法收敛到解决方案的所有值问。因此，我们通过避免使用某些术语（在这种情况下）的开销（在这种情况下）的开销（在这种情况下很小）使问题变得更加简单，但是在某些情况下我们使其无法解决。
在comsolMultiphysics®中使用NOJAC（）操作员
我们还考虑其他几种可以使用的方式nojac（）操作员。
如果我们要编写我们的全局方程式：
r（t）= nojac（t - q/（1+t^2/100））
然后，衍生物将完全为零，并且根本无法解决此问题，因此这种情况并不有趣。
我们也尝试申请nojac（）仅一个学期：
r（t）= t - q/（1+nojac（t）*t/100）
现在，我们的导数是：
这非常接近确切的残差，至少在这种情况下，求解器将收敛于所有值问，即使是雅各布的近似。尽管计算成本尚未下降，但这里值得注意的是我们可以应用nojac（）操作员到我们剩余条款的任何子集。
那么，到目前为止，我们学到了什么？
- 您可以使用
nojac（）操作员省略对雅各布的贡献的条款 - 省略术语将影响非线性求解器的收敛性
- 省略术语减少了计算模型的大小
不过，最后一点并不是这个小例子那么明显。
减少大型非线性模型的大小
现在让我们看一下三个维度的较大型号。我们在1厘米立方体上解决了传热问题，并应用非常好在这部分上网格，为我们提供更大的模型；约300万自由度。
简单的传热问题的示意图，以使用极为细的网格进行调查。
我们还将材料属性成为温度的函数，并使用类似于已经看到的材料属性，我们通过用户定义的表达来定义材料导热率：
（1+（t [1/k]）^2/100）[w/m/k]
这是直接在物理接口中完成的，如下屏幕截图所示。
热导率手动定义为温度的函数。
当我们使用所有默认设置解决此问题时，该模型将需要抑制牛顿方法的四个迭代来求解，花费大约135秒的墙壁锁定时间，并在典型的台式计算机上使用12 GB的内存超过12 GB。在解决方案过程中，我们还会在日志中收到一条消息：
发现非对称矩阵。
此消息是材料特性中温度依赖项的结果。也就是说，材料属性中的非线性项使雅各布矩阵非对称，因此模型将需要更多的记忆来解决。现在让我们将整个材料属性表达式包装在nojac（）操作员：
nojac（1+（t [1/k]）^2/100）[w/m/k]
重新设计了该模型，我们看到该模型仍然收敛，并需要大约10 GB来解决，但是现在需要进行五个默认阻尼牛顿方法的五次迭代。也就是说，内存需求已经下降，但是收敛的迭代次数已经上升。最有趣的是，壁式解决方案时间为125秒，比以前少一点！为什么是这样？求解器需要更多的迭代来收敛，但是每次迭代需要更少的时间，因为雅各布矩阵是对称的，并且需要使用较少的数据。
因此，在这种情况下，使用nojac（）尽管需要更多的迭代来收敛到解决方案，但操作员既减少壁锁解决方案时间并减少了所需的内存！另请注意，我们收敛到同一解决方案，因为使用更新的材料属性表达式仍然正确评估了材料属性本身。
避免非本地耦合术语
让我们再说一个例子：粉碎一个含有可压缩气体的薄壁容器，如下图所示。这可以用壳结构力学模块中可用的配方。
一个薄壁的储罐，其中包含带有外部压碎负荷的可压缩气体。
经过利用对称性，我们可以将模型减少到完整模型的1/8。我们应用分布式载荷，该载荷近似于压碎，以及代表内部压缩气体的压力载荷。为了表示可压缩气体，我们使用计算变形容器体积的方法，类似于我们的示例中所做的事情压缩充满空气密封的密封。也就是说使用集成耦合操作员，我们在储罐的整个表面上施加均匀的压力载荷，并根据整个储罐的变形计算这种压力。
这种非局部耦合的效果是，储罐的每个部分的变形会影响压力，压力会影响到处的变形，因此我们的Jacobian矩阵变得非常密集。当使用默认设置解决此问题时非常好网格设置，该模型需要大约12 GB的内存和400秒来解决这个约22,000度的自由模型。
屏幕截图显示了压碎罐模型中的修饰压力。
但是，只需包装nojac（）操作员关于我们的施加压力，我们省略了非本地耦合，并且记忆要求和解决方案时间降低了。这样，我们只需要3 GB的内存和10秒即可收敛到同一解决方案！
总结思想
默认情况下，该软件将始终采用确切的Jacobian，因为这为我们提供了收敛的最大可能性。通常，我们宁愿牺牲一些时间和记忆来尽可能鲁棒。但是，我们看到我们确实具有省略Jacobian矩阵中选定术语的能力和灵活性。如果我们想使用此功能，我们必须明确修改材料属性，修改基础管理方程式，或在模型中写下我们自己的变量表达式，因此这是一个高级用户功能。
当然，使用此功能将近似雅各布，这有时会减慢甚至预防收敛性，因此在这种情况下不要使用它。但是，如果模型确实与nojac（）使用运算符，然后它仍然会收敛到与完整的Jacobian评估相同的解决方案，并且可能会使用更少的时间和内存，因此当您构建复杂的多物理模型时，它是一个很好的功能。
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