如何在模拟研究中使用声学拓扑优化

今天，GN听证会的客座博客雷内·克里斯滕森（RenéChristensen）讨论了声学拓扑优化的重要性以及如何将其应用于comsol多物理学。

拓扑优化是一种强大的工具，它使工程师能够找到与其应用程序相关的问题的最佳解决方案。在这里，我们将仔细研究拓扑优化，因为它与声学有关，以及我们如何最佳分发声学媒体以获得所需的响应。几个示例将进一步说明这种优化技术的潜力。

拓扑优化的目标功能

许多工程任务围绕优化某个应用程序的现有设计或将来的设计。在改进设计方面，在给定行业中工作多年的最佳实践和经验至关重要。但是，优化问题通常是如此复杂，以至于无法知道设计迭代是否在正确的方向上推动事物。这是哪里优化随着数学学科的发挥作用。

在进行之前，让我们回顾一些重要的术语。在优化中 -参数优化，，，，形状优化，或我们的情况拓扑优化- 总是至少有一个所谓的目标功能。通常，我们希望最大程度地减少此功能。对于声学问题，我们可能希望最大程度地减少特定区域的声压，而对于结构力学问题，我们可能希望最大程度地减少结构部分中的应力。我们指出这个目标是

和F成为目标函数。A设计变量\ chi在整个优化过程中有所不同，以达到最佳解决方案。它在设计域表示ω_d，通常不构成整个有限元空间ω，如下图所示。

设计域通常是整个有限元域的子集。

请注意，由于设计变量在有限元离散的设计域上随空间的变化而变化，因此就是这样的向量。对于这种特殊情况，我们将简单地将其作为变量解决。

优化问题可能具有多个目标函数，因此，工程师可以决定每个目标应承担的重量。请注意，由于目标可能在优化期间相互反对，因此在设置问题时应特别注意。

除了目标函数外，通常还会有一些约束与优化问题有关。这些约束反映了所讨论问题的一些固有的大小和/或权重的限制。与优化comsol多物理学中的接口，我们可以以系统的方式输入设计变量，目标函数和约束。

静态结构力学示例

通过拓扑优化，我们有一个迭代过程，在整个设计域中，设计变量变化。设计变量在整个域上是连续的，并且在域上从零到一个值接近一个值：

理想情况下，我们希望设计变量能够结算零或一个值的接近值。这样，我们获得了几乎离散的设计，其中两个不同的（二进制）状态分布在设计域上。对这两个状态的解释将取决于与我们优化有关的物理学。由于大多数文献都介绍了在结构力学的背景下拓扑优化，因此我们将首先研究这种类型的物理学，并在下一节中解决其声学对应物。

用于静态结构力学的comsol多物理学中的拓扑优化是comsol博客上讨论的先前主题。乐动体育赛事播报为了简要概述：研究了所谓的MBB梁，目的是通过最大程度地减少给定负载和边界条件的总应变能来最大化刚度。设计域构成了整个有限元域。对结构的总质量应用了约束。在设计空间中，Young的模量通过设计变量插值\ chi作为

为了帮助二进制设计，我们可以使用带有惩罚（SIMP）插值的所谓的固体各向同性材料

在哪里p是惩罚因素，通常在三到五个范围内具有价值。通过这种插值（以及密度的隐式线性插值），X求解器避免使用较不优惠的刚度与重量比率。我从下面的上一篇博客文章中重新创建了由此产生的MBB光束拓扑。

优化的MBB梁的娱乐。

在此图中，黑色表示用户定义的Young模量的材料e₀。同时，白色对应于零刚度，表明不应该有材料。

在COMSOLMultiphysics®中执行声学拓扑优化

现在，让我们继续讨论声学优化的讨论，在声学介质中，我们具有频率依赖性解决方案。设计变量现在与声学物理学有关。而不是二进制无效物质材料的分布，我们的目标是拥有二进制空气固体分布，其中“固体”是指具有高密度和大量模量的流体，从而模仿了固体结构。

我们定义了描述标准介质的惯性和压缩行为的四个参数和“实心”介质：空气的密度\ rho_1和大量模量k₁，“实心”介质的密度更高\ rho_2以及更高的散装模量k₂。密度\ rho和散装模量k在设计域中，通过设计变量在优化期间两种状态之间将有所不同 - 类似于我们的结构力学示例中年轻的模量的方差。但是，对于声学分析，需要不同的插值，以使相关的值对零价值设计变量倾向于零，而是在空气和固体之间变化，因此

和

获得这些特征的最简单方法是在两个极值之间的线性插值。这不一定是最佳方法，因为中间值\ chi不会受到惩罚，因此最佳设计可能不会是二进制的。因此，制造是不可行的。在文献替代方案中，给出了插值方案。在此处介绍的情况下，使用了所谓的材料特性（RAMP）插值的合理近似（请参阅参考。1）。

就像结构优化一样，我们定义了一个设计域，可以在其中进行材料分布，同时满足约束。可以通过设计变量来定义区域或音量约束。例如，设计域的区域约束可以说为不平等约束

在哪里s_r是分配的固体特性和整个设计域之间的设计区域之间的面积比。

单瞄准式的单频示例

让我们首先看一个消音器（或“消声器”）示例。为简单起见，我们将自己限制在2D域。表征消音器时使用的典型措施是所谓的传播损失，表示TL，这是对功率输出输入功率输入的量度：

传输损失是使用所谓的三分方法计算的（请参阅参考。2）。我们将其用作我们的目标函数，试图以单个频率（在这种情况下为420 Hz）最大化它：

两个设计域在管状截面上方和下方定义。设计域受到限制，以至于最大2D区域的5％是结构，因此95％必须是空气：

设计域的初始状态为100％空气，即\ chi = 0。下面的动画显示了从初始状态到由此产生的拓扑的演变。

描述从初始状态到优化的消音器拓扑的演变的动画。

优化的结构采用“双重扩展室”（请参阅参考。3）消音器拓扑。如下图所示，在目标频率下，传输损耗增加了约14 dB。但是，在目标频率以外的所有频率上，传输损耗也发生了变化，这对于特定应用可能非常重要。因此，单频优化可能不是典型设计问题的最佳选择。

初始状态的传输损失和优化的消音器。

双向目标，双频示例

移动齿轮，现在让我们看一下如何优化两个目标功能和两个频率。在这里，我们再次考虑了一个2D房间，其中有三个硬墙和房间左侧的压力输入。房间还包括两个客观区域，ω₁和ω₂在房间右侧的每个角落定义。这两个目标如下：

1. 以频率最小化声压水平F₁和
2. 以频率最小化声压水平F₂= 1.5 f₁

带有圆形设计域ω_d以及一个结构为10％的面积约束。初始状态是\ chi = 0，使设计域100％空气。

一个正方形的2D房间，带有一个圆形设计域和两个客观域。

有了一个以上的目标函数，我们必须就不同目标的相对权重或重要性做出一些选择。在这种情况下，两个目标的重要性相等，问题被称为所谓的最小值问题：

下图显示了优化的拓扑（蓝色）以及使用相同压力尺度的两个频率的声压。请注意，优化的拓扑结构如何导致在第一个频率下出现在右上角的低压区（绿色）。同时，这种优化的拓扑确保在第二频率下较低右角的相似低压区。如果反复试验是唯一的选择，这肯定是一项具有挑战性的任务。

频F₁（左）和频率F₂（正确的）。优化的拓扑以蓝色显示。

一个单目标，多频示例

作为第三个也是最后一个示例，我们将在频率范围内优化一个目标。声源正在辐射到一个2D域，我们最初具有圆柱声场。存在两个正方形的设计域，但是由于存在对称性，因此我们仅考虑模拟中的几何形状的一半。在这种情况下，我们希望恒定的大小的轴声压力\ edline {p} _ {obj}在声音源前0.4米处的点。优化的频率范围为4,000至4,200 Hz（50 Hz步骤，总计五个频率）。我们可以通过COMSOL多物理学的全球最小二乘目标功能来实现这一目标，并将其称为：

初始状态再次\ chi = 0。优化的拓扑结构如下所示，以及初始状态和优化状态的声场。

初始状态（左）和优化状态（右）的声音压力在4 kHz处，优化拓扑在方形设计域中以蓝色显示。

由于初始状态的观察点中的声压大小低于客观压力，因此拓扑优化导致创建聚焦轴上声音的反射器。在优化之前和之后的声压大小如下所示。优化后，压力幅度接近频率范围内所需的客观压力。

压力级除以\ edline {p} _ {obj}用于初始和优化的拓扑。

声学优化的力量

声学拓扑优化为帮助声学工程师提出创新设计提供了巨大的潜力。正如我今天所展示的那样，您可以在COMSOL多物理学中有效使用此技术。有了适当的目标和约束，可以使用新的和创新的拓扑构建应用程序，这很可能是使用传统方法发现的。

我要特别感谢丹麦技术大学副教授Niels Aage，以讨论优化主题。

要了解有关在comsol多物理学中使用声学拓扑优化的更多信息，我们鼓励您从应用程序库下载以下示例：2D房间中声学模式的拓扑优化。

参考

1. M.P.本索（Bendsoe），O。Sigmund，拓扑优化：理论，方法和应用，Springer 2003。
2. T.W.Wu，G.C。Wan，消声器，“绩效研究并使用直接的混合体边界元素方法和三分方法来评估传输损失”，Trans。ASME：J. Vib。声音。118（1996）479-484。
3. Z. Tao，A.F。Seybert，“测量消音器传输损失的当前技术的评论”，SAE国际，2003年。

关于客人作家

雷内·克里斯滕森（RenéChristensen）在敏捷声学领域工作了十多年，无论是作为顾问（ICAPTURE AP）和助听器行业的工程师（Ocoton A/S，GN听证会A/S）。他对微观声学中的粘热效应的建模特别感兴趣，这也是他博士学位的主题。雷内（René）于2015年加入了GN听证会上的硬件平台研发声学团队。他在2015年担任高级声学工程师。在这个职位上，他从事助听器的设计和优化。