跟踪多物理模型中的元素顺序

每当您在comsol多物理学中构建有限元模型时，都应意识到所使用的元素顺序。这对于多物理模型尤其重要，因为对于不同物理学使用不同元素订单有一些明显的好处。今天，我们将回顾元素顺序背后的关键概念，并讨论它如何应用于某些常见的多物理模型。

什么是元素顺序？

每当我们解决有限元问题时，我们都将真实的解场近似于域上的部分微分方程（PDE）。这有限元方法首先将建模域细分为较小，更简单的域称为元素。这些元素由一组点来定义，传统上称为节点，每个节点都有一组形状功能或者基础功能。每个形状功能都与某些功能相关联自由程度。传统上，所有这些离散的自由度的集合被称为溶液向量。

注意：您可以在我们以前的博客文章中阅读更多有关从管理PDE到解决方案向量的过程“简要介绍弱形式“ 和 ”离散弱形式“。

一旦计算了溶液向量，使用解决方案向量和所有元素中所有基础函数的插值来构建对解决方案场的有限元近似。这元素顺序指使用的基础函数的类型。

现在，让我们可视化comsol多物理学中最常用的元素之一：二维拉格朗日元素之一。我们将查看一个与单个四边形（四面）元素啮合的正方形域，该元素在每个角落都有一个节点。如果我们正在计算标量字段，则Lagrange元素在每个节点上具有一个单一的自由度。您可以在下图中可视化一阶拉格朗日元素的形状函数。

一阶正方四边形拉格朗日元素的形状功能。

一阶形状函数在一个节点上是每个统一的，而其他所有节点则是零。该元素上的完整有限元解决方案是每个形状函数的总和，其相关的自由度。现在，我们将将一阶形状功能与二阶形状函数进行比较。

单一二阶正方形拉格朗日元素的形状功能。

观察到二阶四边形拉格朗日元件在侧面和元素中心的中点具有节点点。它总共具有九个形状函数，并且每种形状函数在一个节点上都是统一性，而其他地方为零。

现在，让我们看看当我们的单一四边形元素代表一个不是完美的正方形而不是具有弯曲侧面的域时，会发生什么。在这种情况下，通常使用所谓的等元素，这意味着几何形状具有与解决方案相同的形状函数。该几何近似如下所示，对于一阶和二阶情况。

具有弯曲侧的域。应用单一和二阶的四边形元素。

正如我们在上图中看到的那样，一阶元件简单地将弯曲的侧面近似为直侧。二阶元素更准确地近似这些弯曲边界。这种差异被称为几何离散误差，更详细地讨论了较早的博客文章。等型一阶和二阶拉格朗日元素的形状函数如下所示。

带有弯曲侧的域的单个一阶等级拉格朗日元素的形状函数。

具有弯曲侧的域的单一二阶等矩阵拉格朗日元件的形状函数。

我们可以从上面的两个图像观察到一阶元素将域的所有侧面近似为直线，而二阶元件近似弯曲的形状更准确。因此，如果我们正在建模具有弯曲侧的域，则需要沿任何弯曲域边界使用几个线性元素，以便我们可以准确地表示域本身。

对于任何现实世界中的有限元模型，当然总是会有一个以上描述几何形状的元素。此外，请记住，无论元素顺序如何，您都需要进行网状精炼研究，也称为网格收敛研究。也就是说，您将使用越来越细的网格（较小和较小的元素）来解决相同的问题，并查看解决方案的收敛方式。您终止了这个网状细化程序实现了所需的准确性之后。在应用程序示例中介绍了网状细化研究的一个很好的例子椭圆膜的应力分析。

无论元素顺序如何，所有实体良好的单物理有限元问题都将趋向相同的答案。但是，不同的元素订单将以不同的速率收敛，因此需要各种计算资源。让我们探讨为什么不同的PDE具有不同的元素顺序。

单物理模型中的元素顺序

出于讨论的目的，让我们仅考虑一组管理常见的单物理问题，这些问题没有时间变化。我们可以将所有这些PDE分为两个广泛类别之一：

1. 泊松型：泊松型PDE用于描述固体力学，电流，静电和磁静态，薄膜流以及由达西定律或理查兹等式管理的多孔介质中的传热。这样的管理PDE都是所有形式：
   \ nabla \ cdot（-d \ nabla u）= f

   请注意，这是二阶PDE，因此对于所有这些类型的方程式，二阶（二次）元素是Comsol多物理学中的默认选择。

2. 运输型：使用传输型PDE来描述化学物种运输以及流体和多孔培养基中的传热。这里的管理方程式与Poisson的方程式非常相似，带有一个额外的术语 - 速度向量：
   \ nabla \ cdot（-d \ nabla u + \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ cdot {v} u）= f

   额外的速度项会导致更接近一阶PDE的管理方程式。速度场通常是通过求解来计算的Navier-Stokes方程，这本身就是描述流体流动的一种运输方程。通常，对于此类问题，有一个很高的péclet编号或者雷诺数。这是默认选择是为这些PDE使用一阶（线性）元素的原因之一。

   请注意，对于雷诺数较低的流体流量问题，默认值是使用所谓的P2 + P1元素通过二阶离散化解决流体速度，并通过一阶离散化解决压力。P2 + P1元素是爬行流，布林克曼方程和自由和多孔媒体流接口。也是如此两相流，级别集和两相流相场接口。此外，任何类型的运输或流体流量界面都使用稳定化来更快，更牢固地解决问题。有关稳定方法的概述，请查看我们先前的博客文章“了解稳定方法“。

那么，我们如何检查特定物理接口使用的元素顺序的默认设置？在模型构建器中，我们首先需要去节目菜单和切换离散化。这样做之后，您会看到一个离散化物理接口设置中的部分，如下屏幕截图所示。

屏幕截图显示如何查看物理接口的元素顺序。

请记住，只要您仅使用单个物理学，只要您记得要执行网格融合研究，您就会使用哪个元素顺序无关紧要。具有不同元素顺序的解决方案可能需要大量的内存和时间来解决的时间，但是它们都会以足够的网格细化来融入相同的解决方案。但是，当我们开始处理多物理问题时，事情变得更加复杂。接下来，我们将研究两种多物理建模的特殊情况，您应该在其中了解元素顺序。

共轭传热：在固体中进行传热，并在流体中传热

Comsol多物理学包括在传热和流体流之间进行预定义的多物理学耦合，该耦合旨在模拟周围流体冷却或加热的物体温度。这共轭传热接口（以及功能等效的非等温流接口）可与传热模块和CFD模块对彼此而言层流和湍流。

这共轭传热界面由两个物理接口组成：传播热量接口和流体流界面。这流体流界面（无论是层流还是湍流）使用线性元件顺序来解决流体速度和压力场。这传播热量界面求解流体中的温度场以及固体中的温度场。在固体和流体域中，在整个温度场中都使用相同的线性元件离散化。

现在，如果您通过手动添加各种物理界面来设置共轭传热问题，则需要小心。如果您从固体中的传热接口并添加一个流体中的传热接口的域特征，默认情况下将用于温度字段的二阶离散化。通常不建议这样做，因为它需要比一阶温度离散化更多的内存。流体流场的默认一阶离散化证明了整个模型中使用一阶元素合理的。

还值得一提的是相关的多物理耦合：局部热非平衡接口可与传热模块一起使用。该界面旨在解决流经多孔基质介质的流体的温度场以及流体流动的基质的温度。也就是说，在空间中的每个点，有两个不同的温度：流体和实心基质温度。该界面还针对两个温度都使用一阶离散化。

闭幕致辞

我们已经讨论了Comsol多物理学中离散序的含义，以及为什么它与经常出现的两个不同的多物理案例相关。如果您将自己的多物理模型放在一起，则需要牢记元素订单。

此外，最好解决如果您构建一个多物理模型，并以元素订单不同意我们在此处概述的内容。事实证明，在许多情况下，最糟糕的事情是您的模型只需要更多的内存并更慢地收敛到解决方案。在网状细化的极限中，不同物理学中元素订单的任何组合都会给出相同的结果，但是收敛可能非常缓慢且振荡。如果您确实观察到对溶液的任何空间振荡（例如，看起来不断流动或波浪状的应力场），请检查元素订单。

今天的博客文章被设计为Comsol多物理学中多物理问题元素选择的实用指南。关于混合（混合）有限元方法稳定性标准的更深入的讨论可以在许多文本中找到，例如有限元分析的概念和应用罗伯特·库克（Robert D. Cook），大卫·S·马尔克斯（David S.