解决方案方法是确保设计效率以及减少所需原型的总数的宝贵工具。在今天的博客文章中，我们向您介绍一种称为Multigrid方法的特定类型，并探索它们在Comsol多物理学中使用的想法。
解决方案方法的概述
这微分方程仅当做出几个简化的假设时，描述的真实应用才能接受分析解决方案。尽管我们从这种方法中获得的见解很有价值，但它们不足以确认我们的设计是有效的或减少获得完整理解所需的原型数量。
基于与工程问题关联的部分微分方程（PDE）的模型的数值解决方案方法克服了此类限制，并允许您将问题表示为代数方程系统。线性代数问题矩阵形式作为au = f， 在哪里你是向量解，通常是数值解过程计算问题的中心部分。一旦我们确定一个和F，我们要做的就是“找到”你。
当涉及线性代数问题的解决方案方法时，它们可以是直接的或者迭代。直接方法找到溶液的近似值a^{ - 1} f = u经过基质分解在许多取决于未知数的操作中。分解价格昂贵，但是一旦计算出来，解决新的右侧的求解相对便宜F。大约解决方案你仅当执行分解算法所需的所有操作时才可用。
迭代方法以近似的初始猜测然后继续通过一系列迭代。这意味着，与直接方法相反，我们可以在任何迭代中停止迭代算法，并可以访问近似解决方案你。过早停止迭代过程将导致近似的解决方案的精度。
直接还是迭代？
在直接或迭代解决方案方法之间进行选择时，有几个因素需要考虑。
第一个考虑因素是使用的应用程序和计算机。由于直接方法在CPU的内存和时间密集型方面很昂贵，因此对于中小型2D和3D应用程序，它们更可取。相反，迭代方法的内存消耗较低，对于大型3D应用程序，它们的表现要优于直接方法。此外，重要的是要注意，迭代方法更难调整，并且更具挑战性，以便为多物理问题引起的矩阵工作。
如您所见，当我们必须对当前问题的最佳求解器做出决定时，许多不同的变量就会发挥作用。我的建议是使用仿真软件，该软件允许您访问一流的解决方案方法。这意味着您将能够使用正确的工具来解决您的应用程序，因为您的选择将基于所涉及的物理和可用的计算资源。确实是模拟您的应用程序的好时机，因为解决方案方法的改进速度超过了硬件的速度，而硬件在过去几十年中的功能爆炸（请参阅下面的图）。图中提到的所有解决方案方法均在COMSOL多物理学中可用。
与时间相比，该图突出了解决方案方法（实心）和硬件（虚线）的性能率的提高。图例：带状GE（高斯消除，直接方法），高斯 - 塞德尔（迭代方法），最佳SOR（连续过度放松，迭代方法），CG（结合梯度，迭代方法），Full MG（Multigrid，迭代方法）。资料来源：2005年，总统信息技术咨询委员会撰写的题为“计算科学：确保美国的竞争力”的报告。
我的同事在Comsol Multiphysics中开发求解器不断利用这些改进，以确保我们为您提供高性能方法。该博客文章的其余部分将重点讨论多方方法背后的主要思想，因为它们是最强大的方法。
为什么需要使用跨部方法
为了向您介绍这种解决方案方法背后的基本想法，我将向您展示数值实验，以表明迭代方法的固有局限性，该迭代方法是构建了多方面方法的。为了简洁起见，我将仅分析他们的定性行为（我建议您阅读一个杂化教程威廉·布里格斯（William L.
让我们开始以近似的初始猜测开始迭代傅立叶模式。他们可以写成\ sin（x·\ cdot k·\ cdot \ pi）， 在哪里k是个波数和0 \ leq x \ leq 1。
傅立叶模式与k = 1,3,6。这kth模式包括k域上的半正弦波。对于少量值k，有很长的波浪。对于较大的值，有短振荡波。
下面的定性图表明，对于平滑波而言，收敛性较慢，振荡波更快。光滑波对这些简单的迭代方法的性能是有害的 - 一种内在的限制。通常，近似的初始猜测将包含几种傅立叶模式，并且在第一次迭代后将开始放慢速度。这是因为振荡组件有效地从误差中有效消除，而光滑的组件则占上风，并且在每次迭代时几乎保持不变。换句话说，融合正在停滞不前。这就是简单迭代方法表现不佳的原因。它们的收敛太慢，对于小波数。
三种不同初始猜测的迭代编号绘制的代数错误的最大规范的日志（k = 1,3,6）。
通过修改它们以提高所有傅立叶模式的效率，可以克服简单迭代方法的局限性。让我们看一下多格里德方法如何利用这种限制。
例如，我们在解决方案过程中也使用粗网格。有一些充分的理由这样做...
首先，与平滑波相关的误差似乎将具有相对较高的波数，这意味着收敛将更有效。其次，通过嵌套的迭代过程计算粗网格上原始网格的最初猜测是更便宜的。显然，需要开发限制和延长方法，以从一个网格到另一个网格。最后，当收敛开始停滞时，残留的校正程序也可以受益于粗网格的处理，从而导致粗网格校正的想法。
我们将在后续博客文章中分享有关嵌套迭代和粗网格校正的更多详细信息。敬请关注！
进一步阅读
编者注：此博客文章已于4/15/16更新。
评论（0）