在求解器上：V-Cycle Multigrid

如前所述，迭代方法有效地消除了振荡误差组件，同时使光滑的误差组件几乎不受影响（平滑属性）。尤其是使用平滑属性，嵌套的迭代和剩余校正来优化收敛性。在将所有谚语难题的所有部分放在一起之前，我们需要引入残留校正并深入研究嵌套的迭代。让我们从这些元素的后者开始。

嵌套迭代

在我们的较早的博客文章，我们解释说的是\ omega^{h}在更粗的网格上显示为光滑的波浪\ omega^{2H}（（\ omega^{h}已被用来用间距表示网格H）。在同一条线上，我们可以证明平滑波在\ omega^{h}在\ omega^{2H}。当收敛开始停滞时，转到更粗的网格是一个好主意。主要的平滑波\ omega^{h}将在\ omega^{2H}，其中迭代方法的平滑属性使它们更有效。

因此，粗网格可用于产生改进的初始猜测，如以下嵌套迭代过程：

• 迭代av = f在最粗的网格上
• …
• 迭代av = f在\ omega^{4H}为了获得最初的猜测\ omega^{2H}
• 迭代av = f在\ omega^{2H}为了获得最初的猜测\ omega^{h}
• 迭代av = f在\ omega^{h}要获得溶液的最终近似值

嵌套的迭代似乎是一个很好的过程，但是一旦我们在细网格上，如果我们仍然有平滑的误差组件并且收敛开始停滞不前，会发生什么？在这一点上，残差方程汇集了，多移民方法向我们展示了如何与嵌套迭代有效地一起使用它。

注意：网格之间的信息通过两个功能传输：延长（从粗网格到细网格）和限制（从细网格到粗网格）操作员。尽管它们代表了Multigrid方法的重要组成部分，并且是一个引人入胜的主题，但为了简洁起见，我们不会在今天的博客文章中介绍它们。

残留方程和粗网格校正

当我们计算近似解决方案和规范时，解决方案是未知的代数错误e = u -v是对我们的迭代方法的衡量标准融合到解决方案。（方程也可以写为U = V + E。）由于代数误差也未知，因此我们必须依靠可以计算的测量值：剩余的r = f -av。

经过一定的代数，我们确定e和r： 这残留方程ae = r。残差方程很重要，因为它将导致我们达到残余校正的概念。也就是说，我们计算近似解决方案V_0和r，由于残差方程式直接求解，然后计算新的近似解决方案V_1使用代数错误的定义：v_1 \ leftarrow v_0 + e。

此外，使用剩余方程式，我们可以直接迭代误差，并使用剩余校正来改善近似解决方案。迭代时\ omega^{h}，如果仍然存在平滑的错误组件，收敛最终将开始失速。然后，我们可以迭代较粗的网格上的残差方程\ omega^{2H}， 还给\ omega^{h}，并纠正此处首先获得的近似解决方案。该过程称为粗网格校正，涉及以下步骤：

• 迭代V_1时间a^{h} v^{h} = f^{h}获得近似解决方案，直到达到理想的收敛性
• 计算残差r^h = f^h -a^{h} v^{h}
• 解决残差方程a^{2H} e^{2H} = r^{h}获得代数错误E^{2H}（（需要的限制性操作员r^{h}省略了）
• 正确的v^{h}和E^{2H}：e^{2H}：v^{h} \ leftarrow v^{h} + e^{2H}（（需要的延长操作员E^{2H}省略了）
• 迭代V_2时间a^{h} v^{h} = f^{h}获得近似解决方案v^{h}直到达到所需的收敛

现在，我们知道当融合开始停滞在最好的网格上时该怎么办！

以上概述的粗网格校正可以用此图表示：

涉及的粗网格校正程序\ omega^{h}和\ omega^{2H}。

我们的第一个跨越方法：V-Cycle

关于粗网格校正的一个问题仍然存在：如果我们不达到粗网格上所需的误差收敛怎么办？

让我们考虑一下。在粗网格上求解残差方程与求解新方程式没有什么不同。我们可以对残差方程进行粗网格校正\ omega^{2H}，这意味着我们需要\ omega^{4H}用于校正步骤。如果可以直接解决方案\ omega^{4H}，我们不再需要应用粗网格校正，我们的解决方案方法看起来像V，如下图所示。

V-Cycle Multigrid解决方案方法。

此解决方案方法称为V-Cycle Multigrid。显然，多移民方法本质上是递归的，并且V周期可以扩展到两个以上的级别。粗网格步骤比精细的步骤更快，而当我们向下倾斜时，错误会更快地收敛。

由于它有价值地花费更多的精力在粗网格上，这种方法称为W周期可以在计算停留更长的时间内将计算停留更长的地方引入。如果最初对最深的V循环的猜测是从浅V循环中获得的，那么我们就有所谓的完整的多移民周期（FMG）。虽然FMG是一种更昂贵的方法，但它还允许更快地收敛，而不仅仅是V-Cycle和W-Cycle。

比较V周期，W周期和FMG的图。

审查不同的多移民方法

在这里，我们以最简单的形式介绍了V-Cycle，W-Cycle和FMG。为了解决复杂的多物理问题并达到最佳性能，不单独使用Multigrid方法。它们还可以用于改善其他迭代方法的收敛性。这就是Comsol多物理学中的引擎盖下发生的情况。

Multigrid方法一起使用的技术已经使用了一段时间，并以其限制而闻名。Multigrid方法的美丽源于它们的简单性以及它们以克服限制的方式整合所有这些思想的事实，产生了一种比其元素总和更强大的算法。

下一步

• 查看本系列的上一篇博客文章：在求解器上：多族方法
• 读一个杂化教程威廉·布里格斯（William L. Briggs）

编者注：此博客文章已于4/18/16更新。