您是否知道可以分析2D轴对称的扭曲和弯曲固体力学界面？从6.0版开始，ComsolMultiphysics®软件中的功能使您可以轻松地以2D轴对称性设置模型，这通常需要进行完整的3D分析。使用扩展的配方，您可以研究，例如，由于轴向力，扭转中的圆周裂纹而扭曲的各向异性材料，或弯曲的应力浓度因子 - 所有这些都是在使用2D几何学的同时。让我们看一下它的工作原理。
什么是2D轴对称？
在我们以前的博客文章中“平面应力和平面应变有什么区别？”，我们通过在平面外方向上对应力或应变场进行假设，讨论了具有平面2D近似值的3D固体对象的分析。2D轴对称是将3D部分减少到2D几何形状的另一种方法。在二维中进行建模的优点是比构建完整的3D模型在计算上更精简，同时还可以更简单地应用边界条件和更简单的网格序列。
在二维轴对称性中工作需要几何形状，并且（通常但并非总是）载荷和约束在物体的圆周周围是恒定的。如果满足这些要求，则可以仅使用2D横截面来制定运动方程。2D切片足以通过整合整个革命的控制方程来恢复完整的3D压力状态和应变状态。2D轴对称分析的典型候选者是压力容器，扬声器模块，流体搅拌机，O形圈或轴。
典型的2D轴对称分析：3D轴（左），其2D轴对称几何表示，轴向载荷在顶部（中心）施加轴向载荷，以及显示von Mises应力分布（右）的回收的3D溶液的一部分。
默认情况下，只有径向和轴向位移，你和w在2D轴对称中求解。圆周组件，v，假定为零。但是，可以包括圆周位移，v，这允许在2D轴对称性中扭曲变形。为了更好地了解扩展的工作原理，让我们首先回顾一下使用位移梯度通常如何描述变形的方式。如果您熟悉其概念，请随时跳过下一节。
位移梯度
这固体力学接口解决运动方程，或牛顿的第二定律。这方程默认部分线性弹性材料节点显示了熟悉的“质量时间加速度等于所有力的总和”以体积载荷以及应力与应变之间的线性关系表示，这是该特定材料模型的独特特征。
这方程部分线性弹性材料节点显示了运动（1）的方程和线性弹性本构方程（2），以及工程应变的定义（3）。
为了在连续力学分析中制定构成关系，有必要使用某种合适的度量在任何给定点描述材料的变形。实际上，何时有许多措施可供选择表征变形， 如工程压力（请参见上图中的（3）），绿色拉格朗日菌株， 或者对数应变，仅举几例。这些措施的有用性取决于上下文，例如使用特定材料模型或模型涉及大变形（几何非线性）时。但是，所有这些度量都可以表示为位移梯度的函数，\ nabla \ mathbf {u}（有时表示\ textrm {grad} \，\ mathbf {u}）。
但是，排量梯度是什么，它来自哪里？考虑（无限）的小“斑点”材料，这可能是任何较大结构的一部分。最初，时间T_0，斑点具有参考配置（请参见下面的灰色表面）。在以后的某个时候t，斑点可能经历了刚体运动（翻译和旋转）以及变形（拉伸或剪切），如下所示。
平面2D斑点翻译，旋转和弹性变形（纯剪切），可视化为单独的变形步骤。位移梯度用于描述两个最初相邻点之间位移的变化，例如\ textrm {p} _1和\ textrm {p} _2，斑点变形后。
在动画中，有两个点，\ textrm {p} _1和\ textrm {p} _2，已被标记。他们被认为是无限的彼此接近。最初，这一点\ textrm {p} _1有位置\ mathbf {x}，而其当前位置在时间t表示\ mathbf {x}。重点的新位置\ textrm {p} _1也可以用原始位置加位数向量来描述\ Mathbf {X} = \ Mathbf {X} + \ Mathbf {U}（\ Mathbf {X}，T）。
现在，让我们专注于紧密的点，\ textrm {p} _2。与第一点相似\ textrm {p} _2随着时间的推移也将其移位到新的位置t。唯一的区别是\ textrm {p} _2位于距离距离小的距离\ textrm {p} _1;也就是说，其初始位置是\ Mathbf {x} + \ textrm {d} \ Mathbf {x}。因此，斑点变形后，新的位置\ textrm {p} _2是
这种关系可以稍微重新安排，以表达\ textrm {d} \ mathbf {x}，这是两点之间的一小步\ textrm {p} _1和\ textrm {p} _2在变形配置中。
= \ mathrm {d} \ mathbf {x} + \ mathrm {d} \ mathbf {u} \\ [1mm]
在这里，位移梯度\ nabla \ mathbf {u}被定义为张量，它映射了小步骤\ textrm {d} \ mathbf {x}（在初始配置中）到点之间的位移变化\ textrm {p} _1和\ textrm {p} _2当身体变形时。密切相关的术语i + \ nabla \ mathbf {u} = \ textrm {d} \ mathbf {x}/\ textrm {d} \ mathbf {x}叫做变形梯度（经常表示F），这是一项在许多连续机械书籍中也出现的措施。
从更实用的角度来看\ nabla \ mathbf {u}是含有位移场的衍生物的张量\ mathbf {u} =（u，v，w）^\ textrm {t}关于初始配置（也是材料框架坐标）。对于3D笛卡尔系统，位移梯度简单
\剩下[
{\ begin {array} {ccc}
\ frac {\ partial u} {\ partial x}＆\ frac {\ partial u} {\ partial y}＆\ frac {\ partial u}
\ frac {\ partial v} {\ partial x}＆\ frac {\ partial v} {\ partial y}＆\ frac {\ partial v}
\ frac {\ partial w} {\ partial x}＆\ frac {\ partial w} {\ partial y}＆\ frac {\ partial w}
\ end {array}}
\正确的]
在2D轴对称性中，使用了圆柱系统，在这种情况下位移梯度被定义为
\剩下[
{\ begin {array} {ccc}
\ frac {\ partial u} {\ partial r}＆\ frac {1} {r} {r} \ frac {\ partial u} {\ partial \ phi} - \ phi} - \ frac {v}} {\ partial z} \\
\ frac {\ partial v} {\ partial r}＆\ frac {1} {r} {r} \ frac {\ partial v} {\ partial \ phi}+phi}+\ frac {u}} {\ partial z} \\
\ frac {\ partial w} {\ partial r}＆\ frac {1} {r} {r} \ frac {\ partial w} {\ partial \ phi}＆\ phi}＆\ frac {\ partial w}
\ end {array}}
\正确的]
这里，r，，，，\ phi， 和z分别是径向，圆周和轴向坐标。
添加扭曲…
那么，如何重新定义位移梯度以将简单的2D分析扩展到有时称为2.5D分析的分析？
默认情况下，假定2D轴对称固体的圆周方向上的位移为零。这是因为有许多用例仅涉及径向和轴向位移，并添加位移组件v在因变量列表中增加了一定的计算成本。因此，为了研究2D轴对称的扭曲，必须明确添加圆周位移。可以轻松地使用包括周向位移复选框设置窗口固体力学界面。
复选框轴向对称近似截面在2D轴对称模型（左）中启用圆周位移。When the Include circumferential displacement check box is selected, many nodes in the Model Builder show additional user inputs, such as fields to apply loads in the azimuthal direction (right).
选择包括周向位移复选框做三个重要的事情：
- 添加圆周位移组件v作为新的因变量
- 显示新的用户输入，例如，在圆周方向上应用负载，弹簧或阻尼器
- 修改位移梯度的定义
最后一步使我们能够在平面外方向上解析剪切应变（即，\ varepsilon_ {r \ phi}和\ varepsilon _ {\ phi {z}}}）在典型的2D轴对称分析中，假定为零。唯一的限制是，位移字段必须在对象的圆周周围保持恒定。换句话说，关于\ phi假定为零（\ partial（…）/\ partial \ phi = 0）。因此，重新定义的位移梯度是
\剩下[
{\ begin {array} {ccc}
\ frac {\ partial u} {\ partial r}＆ - \ frac {v} {r}＆\ frac {\ partial u} {\ partial z}
\ frac {\ partial v} {\ partial r}＆\ frac {u} {r} {r}＆\ frac {\ partial v} {\ partial z} \\
\ frac {\ partial w} {\ partial r}＆0＆\ frac {\ partial w} {\ partial z} \\
\ end {array}}
\正确的]
所有涉及的条款v通常，对于标准的2D轴对称病例，通常会被忽略。此处描述的扩展可用于所有研究类型。
包括圆周位移将有可能研究通常需要进行完整3D分析的情况。下面显示了两个这样的示例。第一个示例显示了由各向异性材料制成的管，例如具有不平衡上篮的纤维复合材料。在这种情况下，弹性矩阵包含耦合键，这会导致管子在轴上拉动时扭曲。第二个示例显示了一个具有圆周裂纹的容器。它充满了内部压力和圆周力，这导致裂缝受到开口和非平面剪切模式的影响。
用于通常需要完整3D模型的分析的示例：由于各向异性材料特性（左）引起的带有张力扭转耦合的管的归一化圆周位移（左），以及von Mises应力分布，用于厚壁容器，并在开口和开口和裂缝中加载裂缝平面外剪切模式（右）。
周向模式扩展
上述限制仅允许恒定位移\ phi可以稍微提起方向以进行本征频率和频域分析。对于某些问题，例如扭转振动，可以合理地假设该解决方案在周围具有一定的周期性。这个想法便利地用复杂值的ansatz表示，用于位移：
这是假设线性响应的有效解决方案，无论如何，这是频域分析的最常见的基础假设。多于，m是定义位移字段中周期数的方位角模式编号。使用此ansatz，位移梯度变为
\ begin {bmatrix}
\ frac {\ partial u} {\ partial r}＆ - \ frac {v} {r}＆\ frac {\ partial u} {\ partial z}
\ frac {\ partial v} {\ partial r}＆\ frac {u} {r} {r}＆\ frac {\ partial v} {\ partial z} \\
\ frac {\ partial w} {\ partial r}＆0＆\ frac {\ partial w} {\ partial z} \ end end {bmatrix} - i \ frac {m}
0＆u＆0 \\
0＆v＆0 \\
0＆W＆0
\ end {bmatrix}
这种类型的2D轴对称扩展也称为周向模式扩展，并且可以在第二个复选框中激活轴向对称近似部分（请参阅上面的屏幕截图）。模式编号必须指定为用户输入。
有两个值得注意的特殊情况：
- M = 0，对应于常数v移位
- M = 1，可以描述2D轴对称中的弯曲变形
请注意，comsol多物理会自动修改轴向对称条件（U = V = 0）在对称线上，以便允许弯曲变形。
下图显示了本征模的示例，可以使用圆周模式扩展进行研究。通过改变模式数，可以在相应的完整3D分析中找到所有在相应的3D分析中发现的本征模 - 但前提是基本的轴对称假设成立。
| M = 0 |  |
| M = 1 |  |
| M = 2 |  |
圆柱体的前三个本征模，一端固定在不同的模式数字上，m。在此示例中M = 0产生扭转和轴向模式，M = 1仅显示弯曲模式，并且M = 2显示高阶扭转模式。
通常，圆周模式扩展只能用于本征频率和频域研究。在固定和时间依赖性研究中，周向位移，v，保持恒定，对应于模式编号M = 0。但是，如果您以频率为频域分析0 \，\ textrm {hz}，您将获得一个固定的解决方案，因为所有惯性术语均为零，并且所有载荷都变得独立于频率。使用此技巧，可以在2D轴对称性中计算静态弯曲变形。下图显示了一个示例，其中轴受到弯曲力（模式编号M = 1）和轴向应力，\ sigma_z将较薄和较厚的轴切片之间的过渡区域中的分析预期应力进行比较。
受2D轴对称模型的弯曲力的轴。该图显示了应力浓度因子，或更精确地显示实际应力之间的比率，\ sigma_z，以及从基本弯曲理论获得的圆角区域的预期正常应力。
该模型的链接 - 包括在这种情况下如何施加负载的详细信息 - 可以在下面找到。
其他结构力学界面呢？
延长平面外自由度以求解更复杂的位移场的2D公式的总体想法不是唯一的。这壳例如，接口还支持圆周模式扩展。和飞机2D等效固体力学接口称为平面模式扩展，可以在2D固体机制设置窗户。它允许用户在平面外方向上建模类似波浪的位移。
这平面模式扩展复选框固体力学具有2D平面应变公式。
同样，其他一些物理接口支持使用类似类型的扩展名来解决更高级的3D字段。例如，在流体接口中，该选项称为旋流。
2D轴对称的设置层流和压力声学，频域接口。这旋流和方位角模式编号设置允许在周围方向求解更复杂形状的字段。
自己尝试
是否想尝试在此博客文章中讨论的2D轴对称性的扭曲和弯曲建模？单击下面的按钮以访问MPH文件。
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