客座博客作者BjörnFallqvist来自设计轻巧继续进行两部分讨论，以通过圈束剪切测试估算超弹性材料参数，并随后实施损坏模型以复制软化行为。你可以阅读第1部分在这里。
损坏模型的数学背景
为了建模超弹性材料的损伤，我们通过损伤变量修改应变能密度函数\欧米茄;即，应变能密度现在定义为\ omega \ psi。根据定义，\ omega = 1在未损坏的状态和\ omega = 0当材料完全破裂时。可以注意的是，这与统一的习惯定义不同，减去损害变量，但等效。进化法可以以这种形式编写，尽管有标志更改。
我们利用先前定义的进化法（参考。1）根据：
在哪里\ beta和b是物质参数。
该方程的物理基础源自Arrhenius定律，该定律指出，反应速率（在这种情况下，化学交叉链接的破坏）是指数的：
这里，k是反应速率常数，一个是每种化学反应的指数前因子，r通用气体常数，t绝对温度和E_B反应激活能（交联电位的深度很好）。
如果我们考虑由于施加的变形而引起的额外能量，则可以重写：
反应k是交联键断裂的速率，我们假设损害速率与此成正比。同样，我们猜想损害率必须与在一定时间断裂多少债券成正比。即，材料的当前状态\欧米茄。然后，我们最终以本节中首先定义的进化法。参数b可以看作是可用于打破键的应变能量（每个浓度单元）的一部分。该想法如图1所示（参考。2）。
图1.交联分子的结合态。为了逃避荷载状态下的电孔，打破债券所需的能量为e_b-b \ psi。图片来自参考。2。
内部耗散d_ {int}必须大于或等于零才能在热力学上有效。
因此，进化法是有效的，并受到限制\ beta \ geq 0。
在ComsolMultiphysics®中实施损坏模型
由于损坏演化定律是一阶微分方程，因此在comsolMultiphysics®软件中很容易通过插入粘合域中的ode对象来定义它。初始值\欧米茄设置为团结（无损害）。参考温度参数设置为20°C（293 K）。
图2.损坏演变的域ode定义。
损伤变量“ Omeg”用于超弹性材料定义，如前所述以前的博客文章， 和\ psi_ {adh}被定义为解决方案变量，如图3所示。
图3. ODE定义中使用的应变能密度函数的定义。
如前所述设置优化，尽管现在选择了更多点以在最小二乘目标中进行优化。将两个新的损坏模型参数添加为控制变量。见图4。
图4.设置优化，包括损害演变。
在初始分析中，我们选择使用2、6、10和13.5毫米的点。然后，在第二个分析中，我们使用所有点，使用初始分析中的优化值作为起点。提出的参数值（和结果）是从所有数据点的第二个分析中获取的。
结果：超弹性模型的优化材料参数
优化参数和力解散曲线
表1中可以看到具有损坏的模型的初始和优化的材料参数。
| 缩放参数 | 初始值 [-] | 优化值[ - ] | 损坏参数 | 初始值 | 优化值 |
|---|---|---|---|---|---|
| s_ {f1yeoh} | 9.980 | 10.62 | \ beta | 3.27e-2 [1/s] | 4.24e-2 [1/s] |
| s_ {f2yeoh} | 0.366 | 0.403 | b | 4.81E-4 [m3/mol] | 4.12e-4 [m3/mol] = 0.41/m |
| s_ {f3yeoh} | 0.260 | 0.203 | |||
| 最小二乘目标[n2这是给予的 | |||||
| 121570 |
该分析的力置换曲线如图5所示。
图5.超弹性模型具有损伤的力置换曲线。
尽管实验数据和模型预测之间存在一定的差异，但在较大的菌株上有明显的软化，损伤演变捕获了材料的软化。参数b是每个交联浓度的分数，对于每个摩尔浓度m，总应变能的大约41％用于打破交联键。
应变率依赖性
由于其速率形式，进化法会捕获应变率效应。为了进行比较，如图6所示，先前的分析以130 mm/min的末端位移速率进行。
图6.变形率的影响。
较高的变形率意味着损害的时间和进化的机会更少。对于Arrhenius的定律也是如此，在这种情况下，在这种情况下，在这种情况下，在这种情况下，它会给每个时间单位发生化学反应的概率。
磁滞和材料循环
在下一节中，表1中定义的材料参数用于分析。
在软材料中观察到的一种常见现象是滞后。即，由于材料中的能量耗散而导致的负载和卸载路径不一致。这表现为一种应力 - 应变曲线，在每个周期中都会发生变化，并且经常在一定程度的软化（或硬化）后稳定。本文介绍的损坏模型捕获了滞后，如果我们还包括分析中的卸载，很明显；见图7。
图7.磁滞曲线。卸载的速度与加载速度相同。
为了进一步说明，我们将规定的7.5毫米末端位移分配为正弦波，频率为0.25/s（即4 s的完整周期）。五个初始周期的力置换曲线如图8所示。
图8.五个初始循环的磁滞曲线。
可以观察到明显的软化，并且加载液压路径不一致。由于损害进化定律的原始形式，曲线没有稳定。如果我们决定分配具有相同频率的6000 N的正弦力，也可以看到这一点。在图9中，板端处的位移不断增长。
图9.恒定振幅的正弦力的位移。
材料的位移在图10中的时间1、13、25和37 s显示。
图10.骑自行车期间1、13、25和37 s的位移。
如果我们希望在骑自行车后实施材料曲线的稳定，我们可以通过使用指数衰减功能修改损伤率方程来做到这一点：
\ begin {cases}
\-\beta \omega e^{(\frac{b \omega \psi}{RT})},\qquad \qquad \qquad \qquad \quad \omega > \omega_t\\ -\beta \omega e^{（\ frac {b \ omega \ psi} {rt}）}} e^{（{ - \ \ omega_ {t，rate} | \ omega- \ omega- \ omega_t |}）}，\ Quad \ quad \ quad \ omega \ leq \ leq \ leq \ leq \ omega_t
\ end {cases}
在哪里\ omega_t是材料损伤状态的阈值，不应发生损坏。
因素\ omega_ {t，rate}控制损害衰减低于阈值的速度的速度。需要此表单，因为仅将速率设置为零以下的阈值值会导致不连续性收敛问题。使用与图8相同的分析，但\ omega_t = 0.6， 和\ omega_ {t，rate} = 1000，循环滞后曲线如图11所示。
图11.五个初始循环的磁滞曲线，\ omega_t = 0.6， 和\ omega_ {t，rate} = 1000。
现在可以在第二个周期中看到材料响应的明确稳定。
拟议的损害进化法具有三个参数（\ omega_ {t，rate}只能设置为1000），并包含以下效果：
- 滞后
- 单调载荷期间的材料软化/破裂
- 循环材料软化
- 应变率依赖性
- 蠕变
结论和最终想法
我们已经证明了如何使用圈接头剪切测试确定材料参数固体力学和优化comsol多物理学中的接口。通过直接在用户定义的应变能函数上操作，可以轻松地以类似的方式实施任何基于费率的损害法。
我们还看到，用于优化的点数量以及我们使用的点数将影响结果。给定相同的初始值，对所有数据点进行优化导致曲线拟合度较差。如先验所述，在第二个分析中，将优化的最终值用作初始值。第二次分析中还包括具有最高记录力的数据点，以稍微改善拟合度。相对于均匀间隔的点，更容易优化，因此，如果曲线的最小二乘拟合是有问题的，则可能会尝试选择较少均匀间隔的点以获得良好的初始参数值。
由于其易于实施，本文实施的损害进化法引起了人们的吸引力。它在施加的变形（应变）速率和应力以及循环和单调软化以及蠕变效应之间建立了依赖性。
材料响应曲线的稳定已被证明可以通过包括损伤演化的阈值值来复制。这可以被认为是渗透阈值，并且该网络已被破坏到一定程度，以至于聚合物链之间没有足够的连通性来在交联之间完全传递机械载荷并破坏它们。然后，其他变形模式控制了宏观行为，例如细丝纠缠和熵刚度。阈值的包含在要循环的材料的应用中主要是感兴趣的。对于单调载荷，材料将在足够大的变形（例如本博客系列中模拟的测试）中破裂的情况下，两种机制之间的区别是模糊的，并且可以在现象学意义上使用损害定律。
替代阈值定义可能是应变能量密度，尽管这并不容易适合微观结构的物理表示，并且选择阈值值并不简单。
对于某些类别的材料，例如生物组织，也希望实施可逆的粘弹性行为。例如，可以通过用其弹性对应物代替超弹性配方中的等速线第一不变，并为粘性变形分配进化定律，请参见。（（参考。2）。然后，最终以具有不同时间尺度的材料公式，可进行可逆和不可逆的变形。
由于演化速率表达式的温度变量，可以将热效应包括在损伤模型中。但这主要是在恒定温度下的蠕变应用中引起的，因为也可以预期材料参数取决于此。
关于作者
BjörnFallqvist是设计轻巧基于数值分析的产品开发。他于2016年获得了皇家理工学院的博士学位，与开发构成模型一起捕获生物细胞的机械行为。他的主要专业兴趣和专业化是在物质表征和使用各种材料模型捕获物理现象的领域。
参考
- B. Fallqvist，M。Kroon，“复合生物聚合物网络的组成型建模”，斯德哥尔摩：理论生物学杂志，卷。395，2016。
- B. Fallqvist，M。Kroon，“一种用于交联肌动蛋白网络的化学机械本构模型和对其粘弹性行为的理论评估”，2，，2，，2斯德哥尔摩：机械生物学的生物力学和建模，卷。12，2013。
评论（1）
Valery Anpilov
2020年9月8日非常有用的信息！