comsol多物理学®（PDE）场解场解分分偏微分问题，但的，但也求解常微分（ode）。方程方程方程方程方程方程方程方程方程方程方程方程方程方程方程方程方程方程方程方程方程方程方程方程。。。。。。。。。例如例如例如例如例如例如非常简单简单简单使用使用软件呈现呈现功能功能功能功能功能功能功能
计算卫星轨道
在对绕的进行建模，我们时时时先写出卫星受到受到引力表达式：
其中，，\ phi是一个。
我们将地球中心的笛卡尔系。到到略呈非球形这一一一
其中，，\ mu _ {\ oplus}是地球的标准参数，r是地球到的距离，J_2是地球位势模型的球谐的项，，P_2是第二个勒让德多项式。
势能中第二解释了赤道隆起并了了卫星进动。
我们可以使用comsol多物理学中中的个函数函数函数函数legendre（）函数写出势能。还可以内置算子内置算子和（）在势能包含，但但本的例子它们非常非常小小
如果假设只引力引力，那么那么位置常微分方程可以：
求解这个需要位置的条件条件\ mathbf {{x}} _ 0和速度\ Mathbf {\ dot {x}} _ 0。卫星位置通常以开普勒轨道单元的形式出对于的椭圆，由轨道，由由偏心率轨道\ Epsilon，半长轴一个，交角\ Epsilon，升交点经度\欧米茄以及近心点角\欧米茄定义一椭圆。真正距离距离\ nu定义开始沿椭圆的位置。升交点的经度，对应于对应于对应于对应于对应于s-x-z-z真欧拉角欧拉角近点角近点角近点角近点角近点角近点角近点角近点角近点角近点角近点角近点角近点角近点角近点角近点角近点角近点角近点角近点角近点角近点角近点角旋转坐标系特征完成当好坐标系标系后，如所示，它示，它它示示了了了一一组组组九九个个个矩阵分量分量
旋转坐标系特征的屏幕。
例如，如果如果将真近点角\ nu_0，（赋于升交点向上穿过时），就就更多多来计算卫星轨道中的位置和速度。，我们我们矩阵来来坐标系中对于对于中心中心的位置位置。。。由此此此此
我们可以使用全局常方程和微分方程方程接口输入坐标中的方程，如方程方程屏幕截图所示。把把把t到加到的就得到时间导数，加导数导数导数就会得到得到二阶x_stt等价于加速度的X分量。方面方面，当处理引力的时时，是，是d（）算子完成，所以，所以D（潜力，X_S）是引力的X分量。
求解关于中心的卫星的的常微分方程变量和的单位是设置。。。
求解该的方程定义半径和势的表达式。
这组和方程可以任何类型的瞬态求解器求解，但无论类型，我们我们研究研究研究相对容差。根据需求需求，可能首选的的求解器，因为因为：在：在在瞬态求解期间隐式触发方程中的变化
可视化轨道
方程了，我们就绘制卫星的高度变化变化变化变化变化变化变化变化变化变化变化变化变化的的还还想想绘制轨道上的的航天器视化。。有一个我们的航天器的cad模型，如如示图图组组矢量，用一矢量矢量矢量旋转坐标系特征描述，这这单位矢量叉积平行轨道平面的。。
航天器的简单卡德模型，显示显示在上是向向向卡德坐标系的矢量。
在绘制，我们要的第一是创建的可视化可视化图像。。。为参数化表面数据集，根据纬度经度球体表达式。。
参数化表面数据集，可用生成的的的，例如，例如球体。。
我们现在可以使用图像绘图功能映射数据集图像由于参数化表面是纬度纬度和经度经度经度设置的的等量矩形投影的图像到上，如如所。。。
在参数化表面数据集绘制的图像。。
接下来，我们我们想轨道路径。通过通过通过点轨迹绘图类型完成，它允许输入轨迹随的的位置位置标注绘图类型我们和绘制路径变化的表达式。
使用点标注工具可视化和速度速度
最后，我们来一航天器地球运动比例视化图。这通过变换三维数据集，该该允许根据组向量和和平移向量适当和航天器的一般转换来来来来来
变换三维数据集用于重新。。
宇宙飞船地球轨道上。。
结束语
文我们如何求解计算卫星行星运动的常微分。引力势函数势函数中包含包含包含包含包含更更更多多项项以以查看它们非常非常非常简单简单简单简单大气阻力和其他导致轨道衰减的因素。
或者，为了，我们，我们可以用随时间变化的显式方程的替换。，无论不过，无论该，都轨迹轨迹
动手尝试
单击下面按钮，进入comsol“案例”，尝试尝试轨道上：
NASA GODDARD太空飞行中心图像由RetoStöckli（陆地，浅水，云层）。罗伯特·西蒙（Robert Simmon）的增强（海洋颜色，合成，3D地球仪，动画）。数据和技术支持：MODIS土地组；MODIS科学数据支持团队；MODIS气氛组；MODIS海洋组其他数据：USGS EROS数据中心（地形）；USGS陆地遥感弗拉格斯塔夫田（Antarctica）；国防气象卫星计划（城市灯）。
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