如何在光学中新新的的的的特征特征特征

快速快速（FFT）是是一种有用并且的数值数值方法方法方法方法。方法方法。方法方法方法^®软件的的的版本版本了与此相关的的的：空间fft特征。在篇，我们我们讨论将一一用用于光学应用展示展示了了一些应用应用

术语和

首先，我们我们一些和定义。区分区分：傅里叶傅里叶：傅里叶（ft），，，（dft）和fft fft fft。的的的的的

式，，X和\ xi分别是空间傅里叶空间中变量。物理空间变量为t时，变量\ xi称为频率。在中，，\ xi被被空间空间，通常通常和焦距成（我们将后面），而X是用于的光学结构位置物理物理坐标坐标

在在的博客如何如何comsol多物理学中中实现傅里叶傅里叶变换”和“”如何由计算解实现傅里叶”中，我们我们了如何如何^®中进行变换我们可以一种种，通过通过数值种种辛普森法辛普森法的直接执行傅里叶变换公式。本后面的，我们的的，我们我们我们可以可以

dft是ft的的离散，它它对一的的点运算运算运算。。在^®中，它它为为

FFT是是一计算dft的有效算法

请注意，ft和dft的的是的的定义，但但符号约定不不，即\ exp（i（\ Omega T - {\ Mathbf K} \ CDOT {\ MATHBF X}））。当这些定义和时衍射衍射，请注意注意不要要弄错。符号符号不不

如何如何使用fft特征

接下来，我们将演示如何在^®中将新空间fft特征用于用于。可以分别使用使用使用使用使用使用使用分别设置设置设置设置执行设置设置：

• 步骤1：准备准备
  • 通过右键→→更更多据据据据添加空间fft数据（这这了傅立叶）
  • 选择合适的集物理，然后空间，然后进行进行
  • 将空间空间设置设置手动
  • 将采样采样设置为为的
  • 从空间空间中中使用补并并X填充设置为为的
  • 在傅里叶空间中中频率
  • 取消选屏蔽DC
• 步骤2：使用fft（）算子算子
  • 在绘图绘图中X轴轴的空间频率

矩形函数矩形函数

矩形是中的的之一，因为因为的代表代表了一一个硬边光阑。。当当当当有有有硬边硬边有硬边硬边硬边硬边硬边光阑光阑硬边光阑光阑光阑光阑光阑。光阑光阑光阑个个个个个个如下：：

式，，\ Mathcal f代表傅里叶算子，，A是一常数，，{\ rm sinc}（x）= \ sin x/x是正弦函数

让让看看如何使用^®新新空间FFT特征计算计算ft。

矩形函数（左）及及英尺（右）的的设置示例

矩形函数矩形函数定义>函数下的函数。如果创建创建按钮，就就在结果下数据库节点自动该创建一个新数据集默认默认默认，范围默认默认默认默认情况默认和和和和分辨率也分辨率也分辨率也也也也是是是是自动自动自动执行设置执行设置执行的执行的。执行执行执行的。。空间数据零确定。傅里叶范围范围由空间范围和空间空间fft结果fft结果结果结果结果结果的的的的的因因物理物理物理空间空间空间空间范围的的，包括包括上图中显示显示设置设置的参数值

参数	表达式	示例值
实际上的总	x_0	2
傅里叶空间采样	n_x	16
补零	N_Z	8
傅里叶空间总	n_x/x_0	8
傅里叶空间	\ frac {n_x} {x_0} \ cdot \ frac {1} {n_x+2n_z}	1/4
ft归一化归一化	x_0/n_x	1/8

通过，下图，下图下图矩形函数rect1（x），其ft的的绝对ABS（fft（rect1（x））由fft特征特征。傅里叶空间总范围范围n_x/x_0= 16/2 = 8，即 -4到 -4。4。。看到空间的总数为n_x+2n_z= 32。

为什么为什么2n_z？那是因为补零，，N_Z8/32 = 0.25。。傅里叶。空间两侧空间数据物理数据的数据的侧侧傅里叶空间空间空间傅里叶空间空间空间空间空间空间空间分辨率分辨率空间分辨率空间分辨率空间空间分辨率分辨率空间情况。。n_x/x_0。。，我们需要乘以得到峰值峰值峰值峰值，我们峰值，我们将对对各各各各种使用公式使用公式公式公式公式公式公式公式公式公式公式公式公式使用公式

矩形函数A= 1及及英尺的，由，由FFT和前面显示的设置确定

在这中，采样数被有意较低的，以便的低{\ rm sinc}（\ pi \ xi）是用个好的近似值出来。。更更的的（例如x_0= 3，n_x= 128，N_Z= 512），我们得到以下，这这的的的的的的结果结果加以进行比较当然。，这比较，这

A= 1时，由由的的FFT确定的的函数英尺绝对绝对和由积分确定确定英尺绝对值的

在光学光学应用应用

现在，我们我们学习为（一维）设置设置设置空间fft特征。，让让将用于的一些实际应用

在光学，将光电场与与（频率频率信号）相关联相关联相关联的的时频傅频傅里叶里叶变换更为人空间空间空间空间空间空间空间空间空间用于用于用于用于用于电场个变换）方法这例子例子，空间空间傅里叶变换一平面平面中电场的空间空间形状与与另一一平面平面平面平面空间空间）联系起来让一一电场电场或矢量个的个分量分量，它它一的的一的的入射入射入射入射到到到一一个个平面平面中的的的的的，例如

光学（变换）方法方法的系。

让让来征扰动后平面内的e（x，y，0）。。，根据的，使用使用四传播计算了一个的平面平面\ hat {e}（x’，y’，l）。下表了种方法。由由由由的简单简单相位函数\ Mathcal {F} [\ CDOT]表示。

理论	（（公式简单））	应用
1.夫琅禾费衍射	\ hat {e}（x’）= {\ mathcal f} [e（x）]	夫琅禾费衍射下标量远场远场标量远场远场远场距离衍射衍射*很很，用于用于，傅里叶光学等等
2.菲涅耳菲涅耳衍射	\ hat {e}（x’）= {\ mathcal f} [e（x）\ exp（-ikx^2/（2l））]	菲涅耳衍射**下的近场至，适用于适用于（Na）透镜透镜系统应用应用应用
3.角谱法***	\ hat {e}（x’）= {\ mathcal f}^{ - 1} [{\ Mathcal f} [e（x）] \ exp（ik \ sqrt {1- \ alpha^2}））]	（（（（（孔径孔径），）
4.部分相干（Schell模型）****	i_ {pc}（x’，l）= {\ mathcal f}^{ - 1} [{\ Mathcal f} [i_c（x）] {\ Mathcal F} [\ gamma（x）]^\ ast]	非干扰低干扰，LED和和，使用和和在夫琅禾费或菲涅耳菲涅耳衍射近似下下互相互相干函数干函数干函数干函数模型

脚注：

*夫琅禾费衍射
**菲涅耳衍射
***\α是方向
****I_ {PC}是部分强度，，我知道了是，并且，并且\伽玛是互相

夫琅禾费

夫琅禾费用计算计算夫琅禾费，从禾费条件禾费物体衍射衍射远场

以下是完整：：

该公式用计算，，的远场和焦平面内（参考参考1）。物体一均匀照明的。孔径出口电场的是一一一二维矩形函数衍射衍射，可能可能熟悉，类似于的的网状后面时样子。。。，需要。，需要X轴数据缩放\ lambda l，因为因为频率缩放缩放f = x’/\ lambda lft计算维维维维使用使用长，fft可以很很

方形（左）及其衍射（右）。

模拟方形孔径设置：：

菲涅耳菲涅耳

第二第二，菲涅耳菲涅耳，可可于计算以及干扰。这个近似值：

请，，X轴数据数据按\ lambda l进行进行。这个应用菲涅耳透镜中，其中，其中了波动，频域，频域接口计算的。使用菲涅耳衍射衍射通过数值积分由由焦平面计算焦平面中中的的的场场场场。。。。。。。如如如如如如下图下图下图下图所下图下图下图下图下图下图下图所示场场场的的的场场场中的焦平面焦平面中的结果。

菲涅耳菲涅耳模型焦平面的电场模电场模FFT特征用菲涅耳公式，并并与其他方法比较比较

菲涅耳衍射FFT特征特征后。。，y轴轴是，，X轴轴是按缩放的的

角谱法

第三应用，角谱法，实现，实现起来，因为因为需要两次ft，就就：

式，，

\α和\ beta是方向余弦

在前面博客文章，我们我们介绍如何大型光学器件即可以可以波动光学，接口来计算周围的，然后，然后然后小小弗劳恩霍夫或或，或者，或者或者光束光束接口来模拟。然而。。。然而。。这两方法仅适用于适用于适用于慢速低慢速镜头镜头镜头镜头镜头镜头镜头镜头镜头镜头镜头慢速适用于适用于适用于慢速慢速慢速慢速慢速慢速慢速慢速慢速，na）镜头的的似波矢波矢，光束光束接口接口对计算域网格划分划分

模拟模拟数值透镜的唯一唯一方法角谱法（asm）。。种传播方法传播传播传播传播传播衍射同同类型的的数值数值方法方法。一旦一旦一一个中场中中中场是是，因为因为满足方程。方法结合光学模块计算计算某个个域中，然后中中中的的中的

nana镜头（na = 0.66）的的的的使用几何接口接口模块，对对相了了，使透，使使，0.66μm，的的的的的下具有衍射衍射极限衍射极限。。。。。透镜被波动，频域，频域接口可以出的解比较我们将如何使用角谱法将场从该该透镜透镜的的焦平面传播

使用射线光学和（左）设计设计NA = 0.66镜头。波动，频域，频域（右）模拟透镜全波模拟。的平面的线的

NA = 0.66透镜透镜的轮廓比较菲涅耳衍射公式波动，频域，频域接口的解角谱法。。，对于，对于这个，菲涅耳菲涅耳这个衍射衍射公式不不不不（为了为了11μm而10μm。）

为了执行次ft，我们我们次次次次存储集中。。是因为fft（）算子只后处理，不是，比如通用，比如比如在在物理中中使用整合。目前，在在版本的的fft（）（（（），我们被为通用为为为算子次次次次次的的的设置设置中通过通过数值积分积分积分来使用使用使用使用fft（）算子算子用于处理的第二次次次次次边界常微分和微分代数与分布式常微分节点的定义在出射出射出射，ft执行执行次次次ft，并次次次次次平面出射平面出射你，如下图：：

ASM中中第一ft的边界常微分和微分代数设置的。请，我们我们半径半径半径透镜透镜通过对对对空间进行了，进行

ASM中中次ft设置的的屏幕。次次次次次次次次次次次A在y轴数据数据由归一化y坐标，，\ alpha = y/（d/2），，，，X轴轴数据归一化归一化归一化归一化归一化因子来自来自来自变量d（\ alpha/\ lambda）。另请，空间空间名称名称Y2是是空间fft数据数据任意选择的

值得一提的，ft ft ft，ft ft，ft的逆ft ft ft到逆到到常数之间区别区别区别。。。看到。。。。看到。种技术于高高透镜，na高

结束结束

在这博客，我们我们了如何的新空间fft特征基础知识如何光学的一些重要重要中使用它它我们。我们将将将将在在本本本本系列系列系列的的下下下下一篇一篇篇篇篇篇篇博客博客博客博客博客博客第四中中中个个的公式）。

参考参考

1. J. W. Goodman，傅立叶光学介绍，第三版，罗伯茨和公司出版商，2005年。
2. M. Born和E. Wolf，光学原理，第7版，麦格劳 - 希尔（McGraw-Hill），1968年。
3. A. C. Schell，“确定部分相干光圈的辐射模式的技术”，IEEE Trans。天线宣传。，卷。15，不。1，第187-188页，1967年。