非线性问题的递增

正如我们在“求解非线性有限问题”博客的，并不并不所有的的非线性通过通过阻尼阻尼阻尼阻尼阻尼阻尼阻尼阻尼阻尼阻尼阻尼阻尼通过通过通过可法求解法求解法求解法求解。。尤其是尤其是选择了了一一个个不不不合适合适的的条件条件或者求解器持续而收敛。此我们介绍种可靠的非线性问题解决。。

非线性问题示例

让我们考虑弹簧施加的系统系统，弹簧具有：

只要我们合适初始条件（之前令令U_0 = 0），便便该在在“求解非线性有限问题”博客中，我们注意收敛外选择，譬如，譬如任条件条件条件U_0 \ le-1，，都都解器。对于这个自由度的问题地地判断出它它它的半径半径收敛收敛收敛收敛但但但但但但若若是处理处理处理普遍的的的有限有限有限元元元元问题问题问题时将将会困难困难困难困难首先对类问题一些物理判断。

借助载荷递增鲁棒性

在此会一个施加载荷，P_F，设定初始条件U_0，并并求解如果我们载荷载荷p = 0会发生第一定表明，一表明一载荷的将不会产生产生形变。。所以若是施加施加施加一一一个个个个无限无限但是但是但是大于大于大于P_1newton-raphson法会法会法会法会假设法会法会法会法会法会法会条件条件条件U_0 = 0开始求解，最终最终一解解U_1。同样较为地认为认为，我们可以将到到到P_2使得p_1 ，并并得到个解U_2，只要载荷小即。该该，最后算法算法算法算法载荷载荷P_F，以及以及即从从从从载荷载荷和开始开始解解解解解直至达到期望的总载荷载荷。下图展示展示了了这个过程。。。粗

这个也被称作的的延拓法0开始从从从逐渐载荷方法方法方法方法方法的的的的的的种可靠可靠的的的的阻尼阻尼阻尼阻尼阻尼阻尼阻尼阻尼阻尼阻尼阻尼阻尼阻尼阻尼阻尼的的的的的的的

newton-raphson迭代迭代算法算法算法算法算法算法算法迭代迭代迭代的的起始点起始点的的问题问题，还问题问题问题问题问题问题问题还还拥有了了一一种种无解无解问题的的的算法之前讨论过的f（u）= 2- \ exp（-u）u，该问题在案例，我们中，对于，对于出，对于p> \ exp（-1）时都但使用小小载荷，那么载荷载荷载荷是稳定的的。。实际上在在在我们我们假设场景场景中中中中中中中中p \ le \ exp（-1）都存在解，尽管尽管只从从p = 0和U_0 = 0开始产生分支感兴趣。出出f（u）的：：

现在假设不知道载荷在在p = \ exp（-1）处，并检验comsol求解p = 0.2、0.3、0.4时会什么。如果出出p = 0.2，0.3时f（u）的，观察，观察发现p = 0.4comsol中中解器解器自动在在次成功下下一一次次的的期望载荷之间的区间区间执行执行一搜索搜索。即求即求即求即求会值的中间解当将延拓法（或参数扫掠）用于在解稳态问题，都会时，都会那样的话，求解器的话，求解器求解器的话的话的话的话的话的话能够能够找到找到找到系统的接近失效失效的的载荷载荷

归纳和结论

newton newton法鲁棒性法鲁棒性法鲁棒性法鲁棒性法鲁棒性的概念。。由于一个个无无载荷载荷载荷的的的的系统系统系统存在已知解知解知解知解知解知解知解知解知解知解知解知解知解知解知解知解知解知解知解我们还到可以近似求出求出破坏载荷，载荷载荷是您设定求解稳态有限元元问题时应该应该理解。。

comsol日志文件

让来非线性有限元的日志。我们将设定求解求解上上上文中中中中中描述描述的关于关于非线性弹簧弹簧弹簧在在在拉伸拉伸拉伸过程中中刚度将：：

1中中稳态求解器解器解器开始开始于2013.07.15 11：26:46参数参数化解器非线性非线性求求解器解器的数量数量数量数量数量数量数量数量数量数量数量数量数量数量数量数量数量数量：p = 0.2 p = 0.2找到找到找到对对矩阵矩阵相关u（mod1.ode1）：1迭代数错误＃＃res #jac #sol 1 0.18 1.0000000 1 2 1 2 1 2 2 0.013 1.0000000 0.22 3 2 4 3 6.5e-005 1.005 1.005 1.0000000 0.015 4 3 6 6 6 6参数p = 0.3 p = 0.3迭代数错误的＃＃res #jac #sol 1 0.025 1.0000000 0.21 7 4 9 2 0.00069 1.0000000 0.031 8 5 11 p = 0.4 p = 0.4迭代数0.76 12 7 16 3 0.2 0.8154018 0.43 13 8 18 4 0.31 0.31 0.4194888 0.42 14 9 20 5 0.86 0.86 0.86 0.0836516 0.9 15 10 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 225 p = 0.325迭代数1.0000000 0.13 19 13 28 3 0.0003 1.0000000 0.018 20 14 30参数p = 0.375迭代数迭代数0.94 0.0302834 0.95 26 18 39 ...部分文件略略... p = 0.368359迭代数的稳态求解器解器1：求解：0 s物理：471 MB虚拟：569 MB

求解器报告：未项错误未能为个个解解解解解解解解解个个个个个个使用使用最大最大最大参数参数步长。即使即使即使使用使用使用使用最最最最小阻尼

除了求现在参数化求解器，日志求解器开头部分和以前一致。当p = 0.2和p = 0.3时，求解器求解器求解当当p = 0.4，求求自动求出中间解简洁的省一些一些中间步骤步骤步骤可以一新参数重新并并更地系统在在接近破坏载荷时时的的行为行为表现表现表现