非线性问题问题载荷

正如如之前“求解非线性稳态问题”博客所，并不是所有所有的问题可通过通过通过通过通过通过通过通过通过通过通过通过阻尼通过可法求解法求解法求解法求解法求解法求解尤其是尤其是当选择选择选择一一一不不不不合适合适合适合适的的的求解器持续迭代无法。此我们介绍种可靠的非线性非线性问题解决方案

非线性问题

让我们再次对施加应力的的，弹簧具有具有：：

只要只要合适初始条件（（之前U_0 = 0），便便求解。。“求解非线性有限元”博客博客，我们我们在外选择选择初始，譬如，譬如U_0 \ le-1，，都都求失效现在对于单一的的问题轻松地判断判断出它它它的的收敛的的的收敛它的但但但但但但若是若是是处理处理处理普遍普遍的的的的有限有限有限元元元元元元时时问题首先首先此问题进行一些物理判断

借助载荷载荷改进

在在我们向一系统施加，p_f，设定设定初始U_0，并并进行。我们载荷施加p = 0会发生牛顿第一定，一第一定一无系统将不不会产生产生形变变所以所以若是施加施加施加一一一个个个个个无限无限P_1newton-raphson法会法会法会法会合理地法会法会法会法会法会初始U_0 = 0开始，最终，最终将一个U_1。同样可以合理，我们地地地到将载荷增加P_2使得P_1 ，并并得到个个U_2，只要只要足够可重复重复，最后重复该算法载荷最终最终p_f，以及以及。。即。从。载荷载荷解解解解解解解载荷达到达到期望的总载荷载荷。展示展示展示了了了这这个个过程过程

这这算法也称作载荷载荷延拓法0开始从种种开始载荷载荷方法的的载荷的载荷的的的的可靠更为可靠可靠可靠可靠可靠的的使用使用阻尼使用使用阻尼使用使用使用阻尼可靠可靠可靠可靠可靠可靠可靠更为更为

newton-raphson迭代迭代算法这个这个这个这个迭代迭代迭代迭代好好的的起始点起始点的之前讨论过f（u）= 2- \ exp（-u）u，该该在本案例案例，我们，对于判定，对于判定，对于p> \ exp（-1）时都无解如果使用小小小，那么那么的会稳定稳定稳定的。。实际上实际上在在我们我们我们的的的场景场景场景的场景的的p \ le \ exp（-1）都存在双，尽管尽管只只对p = 0和U_0 = 0开始开始分支感兴趣。下面出f（u）的：：

现在现在我们不载荷峰值峰值p = \ exp（-1）处，并并comsol求解p = 0.2、0.3、0.4时时什么。如果我们出p = 0.2，0.3时f（u）的，观察，观察发现p = 0.4comsol中中延拓求解器自动自动在次的载荷值载荷值和下一次次的的期望载荷载荷载荷的区间区间执行执行一一次次搜索搜索。。即求值值中间解。当延拓法（（参数参数）用于用于上求问题，都会解稳态，都会算法那样，求解器。，求解器求解器。。那样。能够能够能够能够找到找到系统的接近失效接近失效载荷，这

归纳和

newton newton法鲁棒性法鲁棒性法鲁棒性法鲁棒性法鲁棒性法鲁棒性的概念。由于一一个无载荷载荷载荷载荷的的的的的系统系统系统存在存在存在存在已已已已已已已已已已已已已我们我们了解到近似的的破坏载荷也，载荷载荷是您设定非线性稳态有限有限元问题时应该理解理解技术技术

comsol日志日志

让我们一下有限元问题的的文件我们将并并并上上文文文中中中中的描述关于关于关于关于非线性非线性弹簧弹簧弹簧在在在在拉伸拉伸拉伸将：：

1中中的求求求开始开始开始开始2013.07.15 11:26:46参数参数参数求解器非线性求求解器解器解器求解求解：1 p = 0.2 p = 0.2找到找到找到找到找到找到对称矩阵矩阵矩阵u（mod1.ode1）：1迭代数错误＃＃res #jac #sol 1 0.18 1.0000000 1 2 1 2 1 2 2 0.013 1.0000000 0.22 3 2 4 3 6.5e-005-005 1.005 1.005 1.00000 0.015 4 3 6 6 6 6 6 6 6 6错误的＃#res #jac #sol 1 0.025 1.0000000 0.21 7 4 9 2 0.00069 1.0000000 0.031 8 5 11 p = 0.4 p = 0.4迭代数0.76 12 7 16 3 0.2 0.8154018 0.43 13 8 18 4 0.31 0.31 0.4194888 0.42 14 9 20 5 0.86 0.86 0.86 0.0836516 0.9 15 10 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 225 p = 0.325迭代数1.0000000 0.13 19 13 13 28 3 0.0003 1.0000000 0.018 20 14 30参数p = 0.375迭代数0.94 0.0302834 0.95 26 18 39 ...部分文件略的的稳态求求解器求：0 s：471 mb虚拟：569 mb：471 mb

求解器同时一：未未未能个个一解个个解一一个一一一一找到一找到使用使用最大最大最大参数步步长长。即使即使即使使用使用使用最最最最

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