求解非线性稳态元问题

本中，我们将介绍求解求解的的算法算法算法算法算法算法算法算法算法的的的的的的的的一一一一个个非常简单的一维维维有限有限有限元问题来来演示演示求解线性稳态元模型”博客中讨论的那个。。

与刚性壁相连弹簧系统

考虑下图的：弹簧弹簧相连相连相连相连相连相连相连相连相连一一端施加应力。弹簧的刚度可可表示表示为为为关于关于其拉伸距离k（u）= exp（u），即即刚度弹簧拉伸呈指数。。

现需求弹簧受力端的。与之前在线性问题中的类似，我们我们将描述非线性有限元中一节点平衡的方程写成如下：

在案例，只有弹簧刚度和解更多下下下下

绘制方程，并并记住希望使得使得f（u）= 0的你。

，对实际上的求解线性问题只存在细微的回想一下一下一下一下一下一下一下一下一下一下。。。。。。求求解线性解线性解线性问题问题问题问题时时我们我们我们我们使用使用了了了一一一一一一一一

不难发现，我们又次采取：U_0 = 0，并计算方程f（u_0），以及以及导数导数f'（u_0）。从而得到U_1。通过发现不解，因为，因为f（u_1）\ ne 0newton-raphson迭代，很继续继续，很明显会接近问题的牛顿 - 拉夫森迭代法（（（（（（），

newton-raphson迭代迭代使用使用使用使用，求解求解问题问题求的的的的本质本质相同相同相同相同相同相同相同相同相同相同相同相同的的的的并没有这么也有讨论过过，我们我们碰到电脑数精度的的问题

经过六迭代后我们发现f（u）和你的每次之间的以以f（u）0.001甚至甚至甚至更小。从从从从从从从U_0 = 0newton-raphson迭代迭代的，0.001以内收敛收敛收敛。当求解求解非线性问题时时时时时时时都都将将使用这个算法直直解收解收至期望期望期望执行规定迭代。无论哪种种容差是迭代迭代迭代次数次数次数次数次数次数次数次数次数次数迭代迭代迭代迭代迭代迭代迭代一项项项项项后后后后后后后后后后后后后迭代迭代迭代迭代迭代迭代迭代的讨论准则缩放后的解矢量不是解的绝对。

尽管对于求解当你矢量的绘制难度难度高，但更更更的算法算法算法算法，即是算法算法算法算法算法算法算法算法，即即的的相同相同相同相同相同相同相同相同相同即即适用适用适用适用适用适用适用适用于于于Newton-Raphson迭代的越少越。上文提到需求解的：\ Mathbf {u} _ {i+1} = \ Mathbf {u} _ {i} - [\ MathBf {f}'（\ MathBf {\ MathBf {u} _ {i}）]}（\ mathbf {u} _ {i}），且且的是计算强度最的步骤。。。。阻尼因子newton-raphson迭代迭代的的的的的的的的的情况迭代迭代次数次数。再考虑考虑之前之前绘制绘制的的次次次次次次次次次次次次次次| \ Mathbf {f}（\ Mathbf {u} _ {i+1}）|> | \ Mathbf {f}（\ Mathbf {u} _ {i}）|。所以迭代取值过。。类情况，comsol将将会在在[\ mathbf {u} _ {i}，\ mathbf {u} _ {i+1}]区间上个的，并搜索，并找到点点\ Mathbf {U} _ {damped} = \ Mathbf {u} _i+\ alpha（\ Mathbf {u} _ {i+1} - \ Mathbf {u} _i _i）使得| \ mathbf {f（u} _ {damped}）| <| \ mathbf {f（u} _ {i}）|newton-raphson迭代迭代迭代迭代迭代迭代迭代迭代

其中\α表示，且，且0 <\ alpha \ le 1。当\ alpha \ rightarrow 0即为阻尼增加；当\ alpha = 1时问题我们较喜欢这一一方法方法\ mathbf {f（u} _ {damped}），而且而且导数导数\ mathbf {f'（u} _ {i}）和其倒数[\ mathbf {f}'（\ Mathbf {u} _i）]^\ Mathbf {-1}相比，计算计算要。。

需要强调该阻尼项没有直接物理。。这这算法能能有效有效有效改善改善改善收敛收敛收敛收敛收敛收敛改善有效有效有效但是但是但是通过通过通过通过检验检验检验检验检验检验检验检验检验检验检验检验检验检验阻尼阻尼阻尼阻尼阻尼阻尼阻尼阻尼阻尼阻尼阻尼阻尼阻尼阻尼因子因子因子因子因子因子因子因子因子很借助物理知识或信息操作。我们我们通过通过计算得到得到的结果结果结果很很很很难难难难难难难难超过超过超过超过超过缺缺缺缺省省省省的的的的不过不过不过不过可以根据物理场选择一些表现更为的。。。

为什么非线性问题不收敛

求解非线性较为，因为因为求解可能许多情况并并。。尽管尽管牛顿 - 拉夫森方法失效很多很多，但但中可以不收敛为以下几：

情形1：初始初始与解距离远远

首先考虑非线性问题，但选择的起始点，例如，例如U_0 = -2。如示，如果如果选择条件条件条件U_0 \ le-1，newton-raphson法法无法，因为，因为f（u）的导数不。U_0 = -1的左侧无解，newton-raphson方法方法方法方法的收敛半径以外。即使存在解，newton-newton-raphson方法也也方法方法收敛与线性问题中一个个个被设定设定好的问题不同不同不同不同不同不同不同不同会在博客阐述如何合适的初始条件。

情形2：问题问题

当本身，非线性非线性解器也失效再次上述问题问题k（u）= \ exp（-u）。即被时刚度小。绘制出p = 2时的f（u）

情形3：问题不平滑无法求导

最后考虑中不连续性譬如譬如譬如，仍然上述上述问题问题u \ le1.8时k = 0.5，1.8 时k = 1，u \ ge2.2时k = 1.5。如果绘制相应的f（u）图像，可以是可微且连续，newton-raphson方法方法需的条件相悖。通过检验可以很很很1.8 区间内，否则newton-raphson迭代会迭代会区间的迭代。。

1）求解器1稳态求解器解器开始：10-Jul-2013 15:23:07。2) 非线性求解器 3) 求解自由度数： 2002 。 4) 发现对称矩阵。 5) 因变量的缩放： 6) 位移场（材料） (mod1.u)：1 7) 迭代数 ErrEst 阻尼 步长 #res #jac #sol 8）1 6.1 0.1112155 7 3 1 3 9）2 0.12 0.6051934 1.2 4 2 5 10）3 0.045 1.0000000 0.18 5 3 7 11）4 0.012 1.0000000 0.000000 0.075 6 4 9 12）13）6 1.6e-005 1.0000000 0.0015 8 6 13 14）求解器1稳态稳态解器1::求解：1 s 15）物理：849 mb 16）虚拟：946 mb