leonhard euler，以下简称以下位位两两两两位位位位位位数学家位欧拉欧拉欧拉欧拉（（：欧拉：欧拉：欧拉：欧拉）对对做出了许多贡献。结合他们各自各自对对的的的的研究研究，获得获得的建模建模建模建模建模建模建模建模建模建模建模获得获得获得获得获得获得了了了了任意任意任意任意任意任意任意任意任意任意任意拉格朗日拉格朗日拉格朗日拉格朗日拉格朗日拉格朗日拉格朗日拉格朗日拉格朗日拉格朗日拉格朗日拉格朗日拉格朗日拉格朗日拉格朗日拉格朗日拉格朗日拉格朗日拉格朗日拉格朗日拉格朗日拉格朗日拉格朗日拉格朗日拉格朗日拉格朗日拉格朗日拉格朗日拉格朗日拉格朗日拉格朗日拉格朗日拉格朗日拉格朗日拉格朗日拉格朗日拉格朗日拉格朗日拉格朗日拉格朗日拉格朗日拉格朗日拉格朗日拉格朗日拉格朗日拉格朗日拉格朗日拉格朗日拉格朗日拉格朗日拉格朗日拉格朗日拉格朗日拉格朗日拉格朗日拉格朗日拉格朗日拉格朗日拉格朗日拉格朗日拉格朗日拉格朗日拉格朗日拉格朗日拉格朗日拉格朗日拉格朗日拉格朗日拉格朗日拉格朗日拉格朗日拉格朗日拉格朗日拉格朗日拉格朗日拉格朗日拉格朗日拉格朗日拉格朗日拉格朗日拉格朗日拉格朗日拉格朗日拉格朗日拉格朗日拉格朗日拉格朗日拉格朗日拉格朗日拉格朗日具有广泛技术。通过阅读篇文章文章文章文章文章文章文章文章文章文章文章了解欧拉欧拉和拉格朗日拉格朗日拉格朗日创建创建创建创建创建创建创建创建创建创建创建创建创建创建创建创建创建创建创建创建创建创建创建创建创建创建创建创建
欧拉和拉格朗日
莱昂哈德约翰·伯诺利（Johann Bernoulli），（巴塞尔大学），巴塞尔大学（University of Basel））俄罗斯彼得斯堡（俄罗斯），巴黎科学学院（Paris of Sciences of Sciences of Sciences）有有奖征文提交第一第一篇论文
莱昂哈德·欧拉的。图像通过Wikimedia Commons在公共享领域领域授权。
欧拉很得到，1733333年接替伯努利圣彼得堡大学大学担任担任数学数学数学数学数学教授教授教授教授教授教授教授。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。的25年，他他了大约大约大约大约大约篇篇文章著作著作著作Analysin Infinitorum中的介绍的卷，这本首次定义函数；了符号符号f \ left（x \ right）；普及了符号e和\ pi；并建立临界方程e^{i \ theta} = \ cos \ left（\ theta \ right） + i \ sin \ left（\ theta \ right）。
sardinia王国（sardinia）（王国（今天今天今天今天今天今天今天（萨沃伊公爵）统治统治统治拉格朗日对出的兴趣兴趣兴趣兴趣兴趣兴趣兴趣兴趣兴趣兴趣兴趣兴趣兴趣兴趣兴趣兴趣的的研究研究研究研究，与
约瑟夫·路易斯·拉格朗日的肖像图像通过通过Wikimedia Commons在公共享领域领域授权。
在柏林，拉格朗日了著名的的在变分法变分法的发展中发挥发挥作用作用，并作用作用但是预测，但是预测，但是对于经典力学问题问题格朗日乘子法，可以在方法很容易对方程组的约束。
欧拉方法和方法比较
欧拉和的数学公式是有限元法求解comsol多物理学方程方程的。。
在欧拉，系统系统动力学是个观察者观察者一个固定坐标系下测量测量测量系统系统系统系统演化演化演化演化角度角度角度来考虑考虑考虑考虑的的的的的。。。这这坐标坐标空间坐标系，我们：它：它对应于分析的的实验室坐标系，这是根据向向向，而向向向物理系统自身各组成
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（（）坐标坐标中中观察观察，固定时时时灰色块的薄板薄板会在在在自身自身重量重量的的作用下下变形变形。。。在给定给定的
用欧拉方程似乎自然自然事实上，这。。。和流体物理学等等问题问题问题的的通用通用通用格式格式格式格式格式格式格式格式格式
，对于，拉格朗日，拉格朗日方法了一有用思路在拉格朗日方法方法方法从话，从话，从来来看看，似乎似乎的改变了方向与变形对象一起移动的相应相应坐标系坐标系在在在在在材料坐标系。
空间中测量的一个点，从从点材料系中同同一点一点的的机械机械机械机械位移位移位移表示表示表示的的的位置产生位移中中中中中中中对象的动画表示表示，这样动画动画会会增加。我们我们我们我们这意味向性能性能性能性能性能性能性能材料的性能性能性能性能性能性能性能性能性能可以在材料坐标坐标系。。。
增加增加，薄板顶端自身重力重力发生的图图网格表示表示表示在空间实验室实验室实验室实验室实验室实验室实验室实验室实验室实验室实验室坐标系坐标系坐标系坐标系中的与对象箭头表示空间系中查看的材料系系X和y坐标方向。
对于问题问题，在小下下下下下下下下下下下限制限制几乎几乎几乎重合重合重合，因为，因为坐标系，因为因为尺寸重合重合重合重合重合重合重合重合，机械尺寸相比相比相比相比的-应变-应变，并且-并且-应变-应变应变应变线性。然而然而然而然而然而然而然而然而然而然而然而然而然而然而然而。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。的的的的的的的的的的的的的增加增加增加comsol多物理学中，“几何几何”一意味使用格林拉格朗日应变。。。。。
有关数学多信息信息，请请的的同事同事同事同事同事同事几何非线性的博客文章。
在comsol多物理学中，根据根据的坐标系变化变化，允许坐标系坐标系坐标系坐标系坐标系坐标系与材料系处理处理几何非线性。。材料材料坐标系来来各各向向向即使变形，这些属性也会材料系坐标一致。。
，重力重力空间系中的。从从坐标系的角度角度角度来来看看看看看看看看看重力重力重力重力等等外力外力随着随着物体物体变形而改变改变，，位移大小颜色的箭头箭头用由于力力力力力，用用的的的的的坐标坐标坐标系系系坐标坐标表示。。由于由于由于材料材料材料坐标坐标相对于保持保持随着物体而增加，并且并且大的情况情况情况，重力情况情况情况
薄板受的变形随密度密度而的放大图图图图图图图图图图图图放大放大公式公式使用使用使用使用使用使用的的的的材料坐标系坐标系中系感知到视重力方向（在坐标系中。。。。）
拉格朗日和公式不比彼此更更更更物理或或“正确”变换到系，反之亦。，从然而，从实现角度来看看，每的来，每每来来来种种方法都都一定的的优势和和常见的的应用。。下表的的的：
| 优点 | 常见应用 | |
|---|---|---|
| 欧拉方法 |
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| 拉格朗日方法 |
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什么是啤酒方法？
（FSI）（fsi）或问题问题物理场物理场或或机电又是如何计算的的的呢对于对于对于这些这些情况情况情况情况情况情况情况情况情况一一一物理方程方程可以可以用表述用用用自然自然自然自然拉格朗日更地，这是是是方法来源这种方法在在第三个坐标系坐标系上上求求求或者材料坐标系。
第三个坐标在comsol多物理学中中叫做叫做网格坐标系。空间网格坐标系之间数学数学数学，在映射映射映射映射映射映射映射映射映射坐标系坐标系坐标系和和和底层底层底层底层底层网格网格坐标系之间之间也也有有一一一个个映射映射方程可以转换要求解网格坐标系。
模型区域区域中的，以相中单元的在和坐标坐标系中位移方程在comsol多物理学中中称为称为称为移动网格或者变形几何。
在拉格朗之间的边界处边界处边界处边界处边界处边界处这些边界要求欧拉域中空间坐标系坐标系的位移（通过移动移动移动移动定义网格的空间机械位移相匹配。即使没有求解力情况情况情况下下下下下下下下下情况情况情况情况情况情况情况情况情况情况情况情况情况情况情况情况情况情况情况情况情况情况情况情况情况
啤酒方法在物理场建模的应用应用
如果觉得觉得太过于，确实确实它一个的难以理解的概念。。。。
微泵机理中-固耦合-固耦合-固耦合
ale方法-固耦-固耦中起着重要在在在在在在在在在在在在在在在。。。中，这，这中中中中中微型泵机构模型演示了种技术的。。
微泵机理个悬臂，其其其功能泵中的相同。这些悬臂悬臂足够足够足够灵活灵活灵活灵活灵活灵活灵活灵活灵活悬臂悬臂悬臂灵活流体流体流体流体流动使使的力悬臂变形，使使从流出或左侧。。。
机理。泵入或顶部管道会在两悬臂相反反应反应，将反应反应反应反应反应反应反应反应反应反应反应反应反应反应反应反应反应反应反应将将将将将将将推入推入推入推入或推出推出腔室腔室腔室腔室。。。尽管时均净流动。
悬臂足够大，以至于流体固体的位置有明显：这：这是一种种流-结固耦合接口自动固体的压力和的力，以及力力，以及的变形，其中采用变形，其中
对于，具有的方程了了系材料坐的位移位移。在流体流体方程中中边界位移边界处变形变形由计算得到结构的的然而然而然而然而，在在然而，在中中中中中控制控制控制控制控制控制控制控制控制控制控制控制，网格中中中。。。相反，需要对平滑处理，以处理处理在高的网格单元。。
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顶部：微泵过程，包括包括流量悬臂变形变形啤酒方法计算的变形。
从comsol多物理5.3a版本，，用于定义对类问题中的的移动网格特征位于组件>定义节点下。即使多物理场接口接口，这这使使模型中中所有物理场物理场之间之间的的材料材料和和坐标系坐标系坐标系的的定义定义定义定义保持保持保持保持保持一致一致一致一致一致。。。。下面下面下面下面的的的的屏幕屏幕屏幕中的位置。
屏幕组件>定义组件节点网格特征特征，以及物理场物理场>物理场>物理场物理场耦合在两个接口接口之间进行耦合。
铜沟槽中的电沉积
关于电化学，，沟槽中的教程模型中表明表明方法对于模拟沉积沉积问题模型模型模型中中，铜沉积模型中中中中中中中中中模型模型在在具有具有具有具有小小沟槽沟槽沟槽沟槽电路板电路板电路板上上上。。。。。。与与沟槽，随着沉积，铜进行的和发生明显由于在在该表面表面上上的不同点处铜沉积速率积速率均匀均匀均匀
电沉积模型正在的物理问题的。。
为了-电解-电解电解质上沉积速率沉积速率，我们的沉积速率沉积速率的的该点点附近附近附近溶液溶液的的的的的物种和和电电解质解质电势电势电势。。。随着随着沉积沉积的的进行进行进行进行和的的移动改变形状的浓度和。。
沉积速率运动的耦合和形状用用用用用用方法方法三次电流分布和变形几何接口完成的这里变形几何根据电化学，以与沉积的电流比例比例速率移动空间坐标系坐标系的。。。
模型，我们这个这个过程过程，以说明过程过程过程沉积。。。我们我们还可以可以用用不同不同的的外加电位和和和沉积沉积几何形状实验质量的最终。
显示沉积时间的。很，沉积明显明显，导致均匀，导致
热烧蚀
在之前的博客里，我们，其中，其中其中对的温度温度温度温度温度温度温度温度的的和和蒸发。热烧蚀的例子例子除除除材料材料材料材料材料材料材料材料中，以及以及大气层时隔。。
显示材料烧蚀效果的。。
由于预测一些被移除时，物体时时，因此变化变化变化变化变化变化变化变化变化变化变化发生发生发生发生发生发生网格网格网格网格网格显然显然是热消融热消融模拟的的一个个部分。。我们如何通过机制施加的热量与整个结构散热损失的。
为了获得信息，我们我们通过通过传热接口求预测空间和时间的温度。因为的的质量和和形状形状，传热接口被耦合到变形几何接口，使用ale方法方法消融率边界。。传热方程随着形状变化预测的温度分布。
通过这些，我们获得热消融过程。此外此外在紧急陆过程中。。
在仿真中变形网格
欧拉拉格朗日领域的贡献模拟模拟多物理应用的的系统系统奠定奠定了了基础基础基础基础基础。。。结合它们它们它们它们它们导致导致导致导致导致导致导致导致导致导致导致导致通过适当，您这些建立高度高度。当您在在研究这些这些这些利用利用利用利用利用利用利用利用利用方法方法模型
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拓展阅读
- 访问这博文提到的模型：
- 了解使用使用方法对线性旋转位移以及运动进行建模：
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